E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Le funzioni sono anche vettori

I vettori sono oggetti assai familiari che tutti abbiamo conosciuto a scuola perché sono utilissimi per 
descrivere forze, spostamenti, velocità ecc.

I vettori, come li abbiamo sempre conosciuti, sono rappresentabili da segmenti dotati di freccia. Li
chiameremo vettori ordinari.

Pochi però sanno che i vettori possono descrivere benissimo anche oggetti astratti, quali le funzioni,
che apparentemente nulla hanno a che fare con i vettori ordinari.

Lo scopo di questa pagina è mostrare che esistono altri tipi di oggetti matematici che hanno le stesse 
proprietà dei vettori ordinari e che per questo chiameremo essi stessi vettori.

Per comprendere appieno questa pagina occorre essere in possesso delle nozioni fondamentali sul 
calcolo integrale. Si rimanda il lettore non "esperto" ad una preventiva lettura delle seguenti pagine :

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/IntroduzioneMatematica/Introduzione.htm

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Sintesi/Funzioni.htm

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Sintesi/Derivate.htm

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Sintesi/Integrali.htm

01 - Proprietà generali dei vettori.

Con i vettori ordinari possiamo fare diverse operazioni, alcune banali altre più complesse.

L'addizione  a + b  fra vettori si esegue tramite la regola del parallelogramma :

       

La sottrazione  a - b  fra vettori può essere considerata come la somma del primo più l'opposto del 
secondo :

       

Un vettore  a  può essere moltiplicato per un numero  k  (si dice anche per uno scalare k ) 
ottenendo così il vettore  ka :

       

(se  k = 2  si ottiene un vettore doppio, se  k = 3  triplo ecc. ma con la stessa direzione e verso, se 
k = -2  si ottiene un vettore doppio con la stessa direzione ma di verso opposto ecc.)

Fra due vettori si può fare il prodotto interno (i fisici lo chiamano anche prodotto scalare). Si tratta
di un'operazione che fra due vettori ottiene un numero (uno scalare). Il prodotto interno fra i vettori  
a  e  b  si indica col simbolo  <a , b>  (oppure  a · b ). Esso si può rappresentare graficamente come 
l'area :

       

che si ottiene moltiplicando la lunghezza del vettore  a  per la lunghezza della proiezione ortogonale del 
vettore  b  sulla retta che giace sul vettore  a . 

Non ci soffermiamo sul perché di una tale apparentemente "strana" definizione. Diremo solo che tale
operazione ha ottime giustificazioni "pratiche" (per calcolare per esempio il lavoro che compie una forza
che subisce uno spostamento si effettua appunto il prodotto interno fra il vettore che rappresenta la
forza per quello che rappresenta lo spostamento, cioè si fa  L = <F · s> ).

Il prodotto interno soddisfa anche alcune proprietà che no indicheremo per motivi di semplicità.

Nel caso in cui l'angolo  α  fra i due vettori fosse retto ( 90° ), il prodotto interno sarebbe nullo perché
la proiezione ortogonale di  b  su  a  sarebbe un punto, quindi avrebbe lunghezza nulla. Graficamente :

       

Abbiamo quindi verificato una proprietà estremamente importante :

        se due vettori sono perpendicolari il loro prodotto interno è nullo (e viceversa).

Un altro caso altrettanto importante si ha facendo il prodotto interno di un vettore per se stesso
In questo caso  <a , a> = a ² , ovvero il prodotto interno di un vettore per se stesso eguaglia il 
quadrato della lunghezza del vettore (la lunghezza di un vettore si chiama anche intensità, modulo
valore assoluto o norma del vettore). Graficamente :

       

perché la proiezione ortogonale di  a  su  a  è  a  stesso.

Le operazioni qui mostrate sono le operazioni che ci servono per le considerazioni che verranno.

02 - Spazi vettoriali, basi, dimensioni.

Un insieme di vettori su cui si possono fare operazioni del tipo di quelle che si possono fare sui 
vettori ordinari, così come abbiamo mostrato sopra, si chiama spazio vettoriale.

Se trovassimo degli "oggetti" che non sono propriamente dei vettori ordinari (segmenti dotati di
freccia) ma che sui quali si potessero fare operazioni dello stesso tipo di quelle mostrate sopra,
anche quegli "oggetti" potrebbero essere considerati vettori alla stessa stregua di quelli 
ordinari.

Magia della matematica !!! La matematica astrae regole ed operazioni da un insieme di oggetti
spesso "pratici", "ordinari", le studia e le classifica e poi estende quelle regole ad oggetti che
non hanno nulla a che fare con i precedenti, di tipo diverso, ma che come essi si "comportano".

In conclusione, se trovassimo oggetti dalle stesse proprietà dei vettori ordinari, li potremmo 
chiamare anch'essi vettori.

Le funzioni matematiche sono oggetti che, sotto particolari condizioni, si comportano esattamente
come i vettori ordinari. Quindi le funzioni formano spazi vettoriali.

Prima però di proseguire in questa direzione occorre sottolineare alcune importantissime proprietà
degli spazi vettoriali ordinari.

Per uno spazio vettoriale si può sempre definire una base rispetto alla quale riferire ogni vettore dello
spazio vettoriale stesso.

Senza addentrarci nei particolari, mostriamo questo con un esempio grafico per i vettori ordinari del 
piano ed i vettori ordinari dello spazio.

       

Una base serve allora per scomporre un vettore nelle sue componenti. Osservando gli esempi si 
può scrivere per i vettori del piano :

       

e per i vettori dello spazio :

        .

Notiamo anche che ogni componente può essere scritta come prodotto di un numero per il 
corrispondente vettore di base. Per esempio :

         

e che quindi le due formule riportate sopra possono essere scritte come :

       

e :

        .

Il numero di vettori che costituisce una base di uno spazio vettoriale si chiama dimensione dello 
spazio stesso. Il piano ha quindi dimensione  2  e lo spazio dimensione  3 .

Ecco come si definisce "esattamente" (anche se abbiamo mostrato questo in modo molto intuitivo
per non appesantire troppo la trattazione) il concetto di dimensione !!!

Sottolineiamo infine che particolare importanza hanno le basi formate da vettori perpendicolari fra loro 
e di lunghezza unitaria, le cosiddette basi ortonormali (nell'esempio grafico abbiamo disegnato basi
proprio di questo tipo).

Rispetto ad una base ortonormale, ogni componente di un vettore può essere ricavata semplicemente
facendo il prodotto interno del vettore della base corrispondente alla componente scelta per il vettore 
in questione. Si ha cioè :

        .

Graficamente, nel caso dei vettori del piano e per la componente numero  1  :

       

a causa del fatto che    ha lunghezza unitaria.

Anche questa è una formula di estrema importanza.

03 - Funzioni come vettori.

Proviamo ora a mostrare che anche per le funzioni possono essere definite operazioni analoghe
a quelle definite sopra per i vettori ordinari e che per questo motivo possiamo dire che le funzioni
sono dei vettori
.

Iniziamo con i polinomi di grado  n .

Limitandoci al caso di  n = 3  (per motivi di semplicità), definiamo le operazioni di somma, sottrazione 
e moltiplicazione per un numero (uno scalare). Tralasciamo per il momento il prodotto interno. Facciamo 
ciò direttamente con i seguenti esempi :

       

       

       

dove abbiamo usato le ben conosciute regole dell'algebra elementare. 

Si noti che il risultato di queste operazioni è sempre un polinomio di  grado 3 .

Si noti anche un polinomio di  grado  2  può essere considerato come un polinomio di  grado  3  
a cui manca il monomio di  grado  3  , ovvero il cui coefficiente è nullo. Esempio :

        .

Per questo motivo fanno parte dell'insieme dei polinomi di grado  n  anche i polinomi di grado  n - 1 ,
n - 2  ecc. 

Si noti anche che i polinomi di grado  0  sono semplicemente i numeri, infatti, per esempio :

       

essendo :

        .

L'insieme dei polinomi di  grado  3  è allora uno spazio vettoriale. Di conseguenza anche l'insieme 
dei polinomi di grado  n  è uno spazio vettoriale ed ogni  polinomio di grado  n  è un vettore di tale 
spazio.

Vediamo ora se è possibile definire una base nello spazio vettoriale dei polinomi di grado  n . 

Limitandoci ancora al semplice caso di  n = 3  si possono scegliere i seguenti  4  vettori :

       

(si rammenta che    è un polinomio di grado  1  e che  1  è un polinomio di grado  0 ).

Essi costituiscono una base dello spazio vettoriale dei polinomi di  grado  3  perché ogni polinomio
di  grado  3  può essere rappresentato dalla seguente combinazione (che si dice lineare) :

        ,

basta dare opportuni valori ai coefficienti  a  ,  b ,  c ,  d .

Se una base dello spazio vettoriale dei polinomi di  grado  3  è formata da  4  vettori, allora la 
dimensione di questo spazio è  4 . Questo è un risultato assolutamente affascinante, anche 
l'insieme dei polinomi ha una dimensione !!!

Per lo spazio vettoriale dei polinomi di grado  n  avremo un risultato analogo. La sua dimensione
sarà  n + 1  ed una sua base sarà :

        .

Vediamo ora lo spazio vettoriale dei polinomi di grado qualunque.

In questo caso non abbiamo fissato un grado per cui dobbiamo considerare tutti i polinomi di qualunque
grado essi siano.

Ogni polinomio può essere sommato ad ogni altro polinomio ed il risultato è ancora un polinomio. 
Ugualmente i polinomi possono essere sottratti fra loro o moltiplicati per uno scalare (un numero) 
qualunque ed il risultato è ancora un polinomio.

Possiamo allora concludere che l'insieme dei polinomi di qualunque grado è uno spazio vettoriale. 

E' possibile definire una base per questo spazio ? Che dimensione avrà questo spazio ?

Considerando che se fissassimo una base di questo tipo :

       

 avremmo solo la possibilità di "costruire" tutti i polinomi di grado  n  , che ne sarà di quelli di grado  > n  ? 

Arriviamo così alla conclusione che non esiste una base formata da un numero finito di vettori con i 
quali "generare" tutti i polinomi di qualunque grado. 

Lo spazio in questione ha infinite dimensioni !!!

Abbiamo ancora una volta ottenuto un risultato "eccitante", l'esistenza cioè di spazi vettoriali ad infinite 
dimensioni. La matematica non finirà mai di stupirci ...

Che tipo di infinito abbiamo ottenuto ? (esistono infatti diversi tipi di infinito ...). La risposta è molto
semplice, si tratta di un infinito numerabile perché i vettori di questa base sono numerabili, "contabili",
anche se in numero infinito.

04 - Lo spazio  L² .

Che ne è dell'ultima operazione definita per i vettori ordinari, il prodotto interno ?

Proviamo ora a costruire uno spazio vettoriale di funzioni dotato di prodotto interno. Consideriamo le
funzioni reali definite per ogni valore reale che abbiano però la proprietà di essere tali per cui esse
stesse elevate al quadrato formino un'area rispetto all'asse delle  x  che abbia un valore finito.

Ricordiamo che tale area è l'integrale del quadrato della funzione per cui se è data la funzione  y = f(x)
si ottiene :

         

dove il valore  S  è un numero finito.

Tali funzioni si dicono a quadrato sommabile. Per esempio (graficamente) :

       

Le funzioni a quadrato sommabile costituiscono uno spazio vettoriale perché su esse sono  
definibili le solite operazioni (addizione, sottrazione e moltiplicazione per uno scalare).

Su queste funzioni possiamo in aggiunta definire anche il prodotto interno nel seguente modo. 
Prendiamo due funzioni  f(x)  e  g(x)  e calcoliamo l'integrale da meno infinito a più infinito  
del loro prodotto. Il risultato che troviamo diciamo che è il prodotto interno fra i due vettori 
(le due funzioni). Scriviamo allora :

        .

Questo è la formula del prodotto interno fra due funzioni,  f  e  g  , a quadrato sommabile.

Lo spazio vettoriale di tali funzioni dotato del prodotto interno così definito si chiama spazio  L² .

Il prodotto interno fra le due funzioni uguali  f  sarà :

        .

Noi sappiamo che il prodotto interno di un vettore per se stesso è uguale al quadrato della norma 
(lunghezza) del vettore stesso per cui :

         

(la norma del vettore  f  si indica anche con  ||f|| ).

Lo spazio  L²  è di fondamentale importanza per la meccanica quantistica, anzi ne è la base matematica.

Fine. 

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