E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

, perché ?

Ci proponiamo in questa pagina di mostrare come la famosissima formula di Einstein   
sia derivabile matematicamente dai principi generali della meccanica e della teoria della relatività. 

Come abbiamo già visto alla pagina  MuovNelloSpaTemCurvo.htm , l'azione per una particella che 
si muove fra gli eventi  A  e  B  nello spazio-tempo è :

        .

Per semplicità supponiamo che lo spazio-tempo sia piatto (galileiano). In questo caso l'elemento   
è dato dalla formula :

       

dove i significati delle lettere sono i soliti.

In assenza di campo gravitazionale lo spazio-tempo è piatto e, come già sappiamo, una  particella  
si muove in esso di moto rettilineo uniforme (principio d'inerzia). Ignoriamo anche ogni altro tipo 
di interazione.

Vediamo allora di ricavare l'energia di questa particella.

Per rendere i calcoli più semplici, ci limitiamo al caso bidimensionale :

       

dove l'elemento di linea al quadrato si riduce a :

         

da cui si deduce :

       

e, ponendo  , più semplicemente : 

        .

L'azione per la particella, applicando la formula appena trovata, è :

        .

Siccome in meccanica l'azione è l'integrale della lagrangiana     :

       

(vedi la pagina  ../MeccanicaClassica/EquazioniDelMoto.htm  )

possiamo, confrontando, scrivere :

        .

Abbiamo così la lagrangiana di una particella nello spazio-tempo piatto.

Proviamo ora a determinare la costante  k . Per fare questo consideriamo il fatto di fondamentale 
importanza che, quando le velocità in gioco sono molto piccole rispetto alla velocità della luce  c  
(e questo succede per un grande numero di fenomeni fra i quali tutti quelli che sono sotto i nostri 
occhi), la velocità della luce  c  può essere considerata pressoché infinita e le leggi della meccanica 
classica sono valide con ottima approssimazione (la meccanica relativistica tende alla meccanica 
classica per  c  tendente all'infinito).

Poniamoci cioè nella situazione :

         

(dove  <<  indica "molto minore").

La lagrangiana di una particella libera (non soggetta a forze) in meccanica classica è :

         

(vedi la stessa pagina indicata sopra).

D'altra parte, se  , possiamo sviluppare in serie di Taylor la lagrangiana relativistica  
  e confrontare le due espressioni dopo avere troncato lo sviluppo di Taylor per 
esempio al secondo termine.

Lo sviluppo così troncato della lagrangiana relativistica produce (a conti fatti) :

       

(dove    indica "circa uguale").

Confrontando questa formula con quella della lagrangiana classica otteniamo (non considerando il temine 
costante  perché fisicamente ininfluente (una lagrangiana è sempre definita a meno di una costante 
additiva)) :

         

per cui la lagrangiana relativistica della particella libera diventa infine :

         

che possiamo più convenientemente scrivere come :

        .

Questa formula è di fondamentale importanza e costituisce la base della meccanica relativistica.

Si noti che la lagrangiana, in relatività, è una grandezza sempre negativa. Le implicazioni di ciò sono
molto interessanti e ci fanno pervenire alla conclusione che l'integrale dell'elemento     lungo una
linea d'universo rettilinea è massimo (dovendo essere per tale linea l'azione è minima).

Dalla lagrangiana si derivano direttamente l'impulso (quantità di moto) della particella e la sua energia.

Le formule sono :

       

e :

       

dove  p  è l'impulso ed  E  l'energia della particella.

Applicandole direttamente si perviene alla formula che dà l'energia :

        .

Essa fornisce l'energia di una particella libera in moto con velocità  v .

Se la particella fosse ferma (rispetto al sistema di riferimento galileiano scelto a priori) avremmo : 

        .

Questa è l'energia della particella a riposo (sempre rispetto al sistema di riferimento galileiano 
scelto a priori).

Il risultato trovato è rivoluzionario (rispetto alla meccanica classica) perché indica appunto che 
una particella libera a riposo possiede una energia positiva (ed enorme !!)

Secondo la meccanica classica una particella libera a riposo, essendo l'energia cinetica :

        ,

deve avere, poiché  , energia nulla. 

Ecco dimostrata la arcifamosa formula dell'energia di Einstein !!!

Fine. 

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