E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Esempio di spazio funzionale

(n.d.a : questa breve introduzione all'analisi funzionale l'ho scritta originariamente nel forum di Matematicamente.it alla pagina  
  )

Che ne dite di un bell'esempio "classico" di spazio funzionale ? Giusto a mo' di introduzione al grande 
capitolo della matematica che va sotto il nome di analisi funzionale.

Premettiamo che le strutture di spazio topologico, vettoriale, metrico, normato e con prodotto  

interno, di cui parleremo in questa pagina, sotto sotto, non sono altro che "estrapolazioni" delle 
proprietà dello spazio euclideo a  n  dimensioni     (basterebbe addirittura solo  R  !!).

Premettiamo subito anche che (a scanso di equivoci) le parole "spazio" ed "insieme" in matematica

sono sinonimi.

E' lo spazio euclideo il nostro vero "maestro" ! E' lo spazio della nostra esperienza, la base di tutto 

(come è giusto che sia) !!!

In questa pagina esporremo un esempio molto "istruttivo" di spazio funzionale, di un insieme, cioè, i cui 

elementi (punti) sono delle funzioni.

Consideriamo l'insieme delle funzioni numeriche reali continue da  [a,b]  ad  R  e chiamiamolo  C[a,b] .

Graficamente :

       

dove  f  e  g  sono due funzioni di questo insieme.

La prima cosa che possiamo affermare è che  C[a,b]  è uno spazio vettoriale.

La dimostrazione di questo è molto semplice e lo si può intuire pensando che due funzioni continue si 

possono sommare e sottrarre fornendo ancora una funzione continua (quindi ancora appartenente a 
C[a,b] ). Una funzione continua può essere inoltre moltiplicata per un numero fornendo ancora una 
funzione continua.

Questo è esattamente quello che avviene per i vettori "ordinari" (quelli che rappresentano forze, 

spostamenti ecc.).

Se  f  appartiene a  C[a,b] , essa è allora un vettore !!! e la possiamo "trattare" come un vettore, cioè 

essa "eredita" tutte le proprietà dei vettori.

Definiamo ora una norma dentro  C[a,b] . Definiamo cioè la possibilità di affermare che una funzione 

(come vettore) ha una lunghezza (da non confondersi con la lunghezza della curva che rappresenta 
il grafico della funzione !!! ).

Questo può sembrare strano, ma in effetti, la lunghezza di un vettore "ordinario", per essere tale, deve 

soddisfare poche regole e, se qualcosa, anche astratta, obbedisse alle stesse regole, la potremmo 
chiamare anch'essa lunghezza (in senso lato, astratto).

Possiamo definire molte norme diverse (non c'è limite alla fantasia, purché esse soddisfino quelle 

poche regole ...). Fra esse, scegliamo la seguente, perché particolarmente interessante :

       

(questa definizione può sembrare "cervellotica", ma si capirà più avanti che non lo è per nulla ...).

Graficamente :

       

La norma del vettore  f  è allora la radice quadrata dell'area verde !!!

Lo spazio  C[a,b]  dotato della norma definita sopra è allora uno spazio normato.

Uno spazio normato, per conseguenza diretta, è anche uno spazio metrico.

Uno spazio metrico è un insieme su cui è definita la possibilità di calcolare la distanza fra due suoi 

elementi (punti).

Questa distanza, in analogia con ciò che accade nello spazio euclideo dei vettori "ordinari", è data 

dalla seguente formula fondamentale :

        d(x , y) = ||x - y||

cioè la distanza fra due punti (vettori) è data dalla norma della loro differenza.


Graficamente (in  ) :


       

La metrica dello spazio  C[a,b]  indotta dalla norma definita sopra sarà allora :

         

dove   f e  g  sono due funzioni di C[a,b].

Graficamente :

       

La distanza fra le due funzioni  f  e  g  sarà allora la radice quadrata dell'area verde !!!

Si vede bene che se le due funzioni sono uguali, la loro distanza (come deve essere) è nulla.

La possibilità di definire una distanza fra due funzioni è di fondamentale importanza. Possiamo per 

esempio, data una funzione, trovare tutte quelle che distano da essa per un numero minore di un 
numero dato. Possiamo, cioè, costruire un intorno circolare (o sfera aperta) di una certa funzione 
come se essa fosse un punto !!!

Ciò è di importanza enorme. Possiamo quindi, con gli intorni circolari, creare una topologia ed 

ottenere perciò uno spazio topologico.

Il nostro spazio  C[a,b]  è quindi anche uno spazio topologico.

Il nostro spazio  C[a,b]  possiede a questo punto tutte le proprietà degli spazi vettoriali, normati, 

metrici e topologici !!!

Scusate se è poco ... ma non è ancora tutto ...

Il fatto che abbiamo costruito su  C[a,b]  una struttura metrica, cioè la possibilità di definire una distanza 

fra due funzioni, è di estrema importanza.

Tra le tante cose che una metrica ci "regala", riveste una particolare importanza la possibilità di costruire 

delle successioni di funzioni convergenti ad una funzione.

In generale, una successione di punti converge ad punto dato (detto limite della successione), quando 

la distanza dal generico punto n-esimo della successione al punto limite tende a zero al tendere all'infinito 
di  n  ( n  appartenente all'insieme dei numeri naturali).

Siccome le funzioni di  C[a,b]  sono punti di uno spazio metrico, ecco che allora possiamo costruire 

successioni di funzioni convergenti ad una funzione limite.

Successioni, cioè, per cui :

          .

Graficamente :

       

(si noti come è "bello" e comodo trattare le funzioni come fossero punti !)

Nasce a questo punto un grosso problema. Ci sono successioni che hanno la proprietà di avere i loro 

termini con distanza tendente a zero al crescere dell'indice, ma che non convergono ad un punto 
dell'insieme.

Questo succede per esempio in Q (numeri razionali). Vi sono successioni di numeri razionali che non 

convergono a numeri razionali, ma a numeri irrazionali !!

Tecnicamente, una successione per cui la distanza fra gli elementi tende a zero al crescere dell'indice si 

chiama successione di Cauchy. Una successione di Cauchy è una successione per cui (in sintesi) :

          .

Come si vede bene, una successione di Cauchy è convergente ma in essa non è definito a priori il 

punto a cui essa converge. In questo modo, una successione di Cauchy può convergere ad un 
elemento dell'insieme o convergere ad un elemento fuori dall'insieme.

Orbene, gli spazi metrici per cui tutte le successioni di Cauchy convergono ad elementi dell'insieme 

stesso si chiamano spazi metrici completi.

L'insieme R (numeri reali) considerato come spazio metrico con la metrica usuale  d(x , y) = |x - y|  è 

uno spazio completo, mentre Q (numeri razionali) con la stessa metrica non lo è.

L'essere completo o non è una proprietà di fondamentale importanza e gli spazi completi godono di 

enormi vantaggi (lo si può intuire dalle proprietà "vantaggiose" di R rispetto a Q).

Non essere completo, per uno spazio, è, purtroppo, una grossa "iattura" ... per cui si cerca di lavorare 
sempre (nei limiti del possibile) con spazi completi.

Gli spazi normati completi si chiamano spazi di Banach.

Domandiamoci allora, il nostro spazio  C[a,b]  con la metrica che ci abbiamo costruito sopra è uno 

spazio completo ?

La risposta è purtroppo no !!! e questo fa sì che lo spazio  C[a,b]  non venga comunemente usato con 

la metrica che abbiamo definito sopra, ma con un'altra (più semplice e comoda) che però ha un 
handicapp che vedremo successivamente (non ci potremmo costruire sopra il prodotto interno, altra 
cosa molto importante).

Dimostriamo ora perché lo spazio  C[a,b]  con la metrica di cui sopra non è completo.

Immaginiamo una successione di funzioni di questo tipo (la dimostrazione che daremo è solo grafica 

ed intuitiva, giusto per dare l'idea) :

       

Si tratta di una successione di Cauchy che palesemente tende alla funzione f che è discontinua in c !!!

Ma lo spazio  C[a,b]  contiene solo funzioni continue, per cui esso, con questa metrica, purtroppo non 

è completo.

Possiamo allora chiederci come "estendere" questo spazio in modo da renderlo completo (rispetto alla 

metrica definita sopra). Questo si può fare con l'introduzione delle funzioni sommabili, cioè integrabili 
secondo Lebesgue con ulteriori condizioni aggiuntive. Le funzioni sommabili possono essere anche 
discontinue per cui riusciremmo così ad evitare il problema mostrato sopra.

Questo, però, esulerebbe dallo scopo semplicemente introduttivo di queste brevi note, per cui ci 

accontentiamo di uno spazio non completo perché su questo spazio possiamo costruirci sopra (non 
tutto il male vien per nuocere ...) un'altra fondamentale struttura, quella indotta dal prodotto interno.

Il prodotto interno fra due vettori (i fisici lo chiamano di solito prodotto scalare) è una operazione che 

associa a due vettori un numero.

Per i vettori "ordinari" di    (spazio euclideo tridimensionale), il prodotto interno fornisce :

         

dove  x  ed  y  sono due vettori e  è l'angolo fra di essi.

Le applicazioni fisiche del prodotto interno sono innumerevoli (si pensi solo alla definizione di lavoro).

Il prodotto interno soddisfa alcune importanti proprietà e soprattutto è legato alla norma dalla seguente 

formula fondamentale :

         

(infatti, l'angolo fra due vettori coincidenti è nullo per cui il coseno vale  1 ) cioè il prodotto interno fra 

un vettore e se stesso è uguale alla norma al quadrato del vettore.

Chiediamoci ora : possiamo definire un prodotto interno anche per uno spazio funzionale, ed in particolare 

per il nostro spazio  C[a,b]  già dotato di struttura vettoriale e di norma ?

La risposta è sì. Basta introdurre un prodotto interno che soddisfi le proprietà tipiche dei prodotti interni 

ed in particolare che soddisfi la formula precedente ed automaticamente "erediterà" tutte le proprietà 
dei prodotti interni.

Avremo perciò, per  C[a,b]  dotato della solita norma :

         

dove  f  e  g  sono funzioni di  C[a,b] .

Infatti, se  f = g , avremo :

         

che è uguale, come doveva essere, alla norma quadrata di  f  (cioè  ).

Abbiamo così costruito uno spazio con prodotto interno.

Se uno spazio con prodotto interno è anche completo, esso prende il nome di spazio di Hilbert.

Lo spazio  C[a,b]  dotato del prodotto interno definito sopra non è uno spazio di Hilbert (purtroppo), 

perché, come abbiamo già visto, non è completo.

Il fatto di potere fare il prodotto interno fra funzioni è una "conquista" fondamentale del pensiero 

matematico !!!

Le funzioni le possiamo così "maneggiare" come vettori a tutti gli effetti e per esempio possiamo anche

verificare se due funzioni sono ortogonali. Basta che il loro prodotto interno (così come per i vettori 
"ordinari") sia nullo. Basta cioè che :

        <f , g> = 0 .

Se per due funzioni  f  e  g  si verifica questo, esse nono ortogonali !!!.

Addirittura possiamo individuare sistemi di funzioni ortonormali (cioè funzioni che, come vettori, 

sono a due a due perpendicolari e di lunghezza (norma) unitaria) e scomporre una funzione qualunque 
rispetto ad un tale sistema ortonormale, così che si potrà scrivere :

         

dove le    costituiscono il sistema di funzioni ortonormali e le    sono le 

componenti della funzione (vettore) rispetto a quel sistema ortonormale.

Gli sviluppi in serie di Fourier ed altri si basano proprio su questi concetti.

Si noti che il numero di vettori che costituiscono il sistema ortonormale, ovvero il numero delle 

componenti del vettore, è in questo caso infinito

Gli spazi funzionali hanno dimensione infinita !!!

Non entriamo oltre nei particolari perché a questo punto nascerebbero infinite problematiche (in cui 

la completezza gioca un ruolo fondamentale). E' come avere scoperto un "territorio vergine" dalle 
innumerevoli potenzialità.

A noi è qui bastato appena prenderne coscienza e renderci conto che tutto ciò è meraviglioso ed 

affascinante.

Per finire, ci potremmo chiedere : ma a che serve tutto ciò ?

Oltre alle molte implicazioni matematiche in tutte le problematiche relative alle funzioni (comprese le 

equazioni differenziali, gli sviluppi in serie, il calcolo variazionale ecc.) gli spazi funzionali giocano 
un ruolo fondamentale nella meccanica quantistica, senza i quali essa non potrebbe sussistere.

Lo stato di un sistema quantistico è descritto completamente da una funzione, la funzione d'onda   

('psi'), che è un vettore dello spazio di Hilbert delle funzioni a quadrato sommabile  (non molto 
dissimile dal nostro esempio di  C[a,b]  ma, per fortuna, completo !!).

Ad una grandezza fisica osservabile corrisponde un sistema di stati in cui il sistema
quantistico può 
trovarsi, stati corrispondenti ad un sistema ortonormale di funzioni di  .

Un sistema quantistico è in un certo stato ben definito (relativo ad una grandezza fisica) se una misura 

fatta sul sistema fornisce con certezza il valore della grandezza relativo a quello stato.

Per esempio, se un elettrone si trova nello stato corrispondente all'energia  E , ogni misura effettuata

su di lui fornirà lo stesso valore  E .


Le componenti della funzione d'onda  del sistema quantistico rispetto alle varie funzioni del sistema 

ortonormale corrispondente ad una grandezza fisica, rappresentano le probabilità di trovare il sistema 
quantistico in quei particolari stati.

E qui fisica e matematica diventano una sola cosa ...

Fine. 

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