E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Dinamica quantistica

Le proprietà fisiche di un sistema quantistico sono definite dalla sua funzione d'onda. Limitiamoci 
al caso di una sola particella di massa    costretta a muoversi su di una retta (moto unidimensionale).

La funzione d'onda in questo caso è    dove    è la posizione della particella sulla retta e 
è il tempo.

La funzione d'onda, ad un dato istante  , rappresenta per definizione la probabilità di trovare (con un
processo di misura) la particella nell'intervallo infinitesimo di spazio  in quell'istante. Più esattamente :

          

dove    è la suddetta probabilità.

Consideriamo la funzione d'onda  al tempo  . Il grafico della densità di probabilità in 
quell'istante, , sia per esempio :

        

Come evolverà la funzione d'onda negli istanti successivi ? 

       

Ciò dipende dalle forze che agiscono sulla particella. 

Vediamo come si può descrivere matematicamente l'evoluzione temporale della funzione d'onda,
evoluzione che avviene a causa delle forze che agiscono sulla particella. Questo significa costruire 
una dinamica quantistica.

01 - Il propagatore.

Se la particella possiede al tempo    la funzione d'onda    ed al tempo    la funzione 
d'onda  , possiamo pensare che il sistema (la particella) è evoluto dal primo stato (funzione 
d'onda) al secondo. Simbolicamente :

        .

Matematicamente possiamo immaginare che sulla funzione d'onda iniziale  agisca un operatore 
che indicheremo con    (l'accento circonflesso denota qui gli operatori) e che chiameremo operatore 
di evoluzione o propagatore. Potremo allora scrivere :

        .

Questa equazione operatoriale può essere chiamata equazione della propagazione.

Abbiamo così espresso molto sinteticamente ed "elegantemente" il concetto di evoluzione della funzione 
d'onda : 

        sulla funzione d'onda al tempo  0  "agisce" il propagatore fornendoci la funzione d'onda al 
        tempo  t .

Vediamo di esprimere meglio l'operatore . 

Prima di tutto esso deve essere un operatore lineare. Questo dipende dal fatto che uno stato quantistico 
può essere sempre immaginato come una sovrapposizione di stati diversi ciascuno dotato di una propria 
probabilità di verificarsi tramite un processo di misura. Quanto affermato va sotto il nome di principio di
sovrapposizione. 

Esprimiamo l'operatore    in forma esponenziale :

       

dove    è un operatore che supponiamo non contenga esplicitamente il tempo, ovvero che non 
dipenda dal tempo come da un parametro. La supposizione che    non contenga esplicitamente il tempo
non implica limitazioni fisiche gravi alla trattazione perché ciò corrisponde alla presenza di un campo 
conservativo agente sulla particella (analogamente a quanto avviene in meccanica classica) e tali campi
costituiscono l'oggetto principale di studio della meccanica quantistica non relativistica a cui qui ci 
stiamo attenendo. 

Scriveremo allora :

        .

D'altra parte l'operatore    può essere sviluppato in serie di Taylor :

         

dove    è l'operatore identità. Applicando     a    avremo quindi :

        .

Sviluppiamo ora in serie di Taylor la funzione d'onda  a partire dall'istante  :

          

dove le derivate parziali rispetto al tempo vanno calcolate in  .

Confrontiamo i due sviluppi in serie :

       

e :

         .

Ponendo :

          

le due serie coincidono. Ricaviamo allora l'equazione fondamentale :

        

che è analoga alla precedente :

         .

Le due equazioni sono quindi due modi matematicamente alternativi di indicare la stessa "cosa".

Il problema è ora di trovare il significato fisico dell'operatore  .

02 - Operatore hamiltoniano.

E' chiaro che l'operatore    deve contenere le "informazioni" sulla forza che agisce sulla particella e 
che ne determina l'evoluzione della funzione d'onda. L'operatore    rappresenta l'analogo quantistico
della funzione hamiltoniama classica (in meccanica quantistica conviene rifarsi all'hamiltoniana invece  
che alla lagrangiana).

L'hamiltoniana classica di una particella in un campo conservativo è :

        

dove    è la quantità di moto della particella ed    è la sua energia potenziale. Sinteticamente 
porremo :

       

dove    è l'energia cinetica e    è l'energia potenziale.

Per quanto riguarda la forma matematica dell'operatore hamltoniano, ci si rifà al principio di 
corrispondenza secondo il quale gli operatori quantistici sono formalmente identici alle relative
grandezze classiche. Possiamo allora scrivere :

         

dove    è l'operatore energia cinetica e    è l'operatore energia potenziale. Proseguendo
con l'analogia classica, scriviamo :

        

dove    è l'operatore quantità di moto che vale (riportiamo qui il risultato omettendone la dimostrazione) :

        .

dove    ("acca tagliata") vale  ,  essendo    la costante di Planck, ed    è l'unità immaginaria.

L'operatore    corrisponde (sempre utilizzando il principio di corrispondenza) alla semplice moltiplicazione 
per la funzione energia potenziale per cui abbiamo :

        .

Per quanto detto sopra, siamo ora in grado di esprimere esattamente l'hamiltoniano. Avremo perciò :

         .

Ma ritorniamo ora all'operatore  .

Eseguendo il limite classico della meccanica quantistica (cioè tramite un insieme di considerazioni che 
si basano sul limite    e che qui non riporteremo per semplicità di trattazione) si trova proprio che :

         .

L'equazione della propagazione diventa allora :

       

e la corrispondente equazione differenziale :

       

che è detta equazione d'onda ed è dovuta a Schrödinger. Queste equazioni sono alla base della meccanica 
quantistica (l'equazione della propagazione è dovuta a Heisenberg) e rappresentano le basi di due formalismi
analoghi ed alternativi su cui si costruisce la meccanica quantistica (un terzo è fornito dalla cosiddetta meccanica 
matriciale).

Esplicitando l'hamiltiniano, l'equazione d'onda diventa :

       

e l'equazione della propagazione :

       

(ci limitiamo per il momento a questo livello di "dettaglio").

03 - Modelli matematici della propagazione.

E' chiaro che nessuna delle due equazioni a cui siamo pervenuti è risolubile in generale analiticamente. 
Sono possibili soluzioni analitiche solo in pochi casi concreti.

E' fondamentale allora predisporre delle metodiche di calcolo numerico che forniscano soluzioni 
approssimate alle suddette.

Dal punto di vista numerico, la prima equazione (si tratta di una equazione differenziale alle derivate 
parziali del secondo ordine) presenta le solite grosse difficoltà tipiche di questo tipo di equazioni. Le 
difficoltà dipendono dal fatto che i metodi alle differenze finite che approssimano le derivate  
propagano gli errori con grande "intensità".

In generale, nel calcolo numerico, alle derivate si preferiscono gli integrali. Un integrale è di norma 
preferibile ad una derivata perché gli errori nell'approssimarlo possono essere controllati semplicemente 
aumentando i punti di integrazione. Considerando poi che vi sono tecniche di integrazione numerica 
(metodi di Gauss e derivati) altamente performanti, per problemi complessi la scelta è quindi obbligata.

La seconda equazione sarebbe quindi preferibile se fosse possibile trasformarla in forma integrale.

La teoria degli operatori ci fornisce questa possibilità. In generale ad un operatore    può essere 
associata una funzione    in modo che :

        .

La funzione    è detto nucleo dell'operatore  .

L'equazione operatoriale    può essere quindi espressa in forma 
integrale.

Un'altra "grossa mano" ci perviene dal teorema di Trotter secondo il quale, se il tempo    è piccolo, 
possiamo scrivere :

        .

Questo teorema estende agli operatori esponenziali l'evidente proprietà elementare delle potenze ma con 
al condizione restrittiva che   sia piccolo (tendente a  0 ).

La nostra equazione operatoriale può essere quindi scritta :

        .

In questa forma, si può passare agli integrali e di conseguenza si può realizzare un programma di calcolo 
numerico al computer che, a partire dalla funzione d'onda iniziale, fornisca (approssimata) la funzione 
d'onda dopo il tempo  . 

Siccome, a causa del teorema di Trotter, il tempo    deve essere piccolo, il metodo deve essere iterato
per ottenere la funziona d'onda ad un tempo qualunque. Siccome ogni integrale può essere reso molto 
preciso (come dicevamo sopra), i risultati ottenibili sono molto soddisfacenti.

Omettiamo lo sviluppo dei calcoli per trasformare l'equazione operatoriale in forma integrale e forniamo 
solo alcuni risultati già elaborati che abbiano ottenuto utilizzando il programma di calcolo numerico disponibile 
alla pagina :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Schroedinger/schroedinger.htm .

Nei diagrammi che seguono, la funzione d'onda iniziale è in nero così come ad ogni iterazione. La funzione 
energia potenziale è in blu e la funzione d'onda relativa all'ultima iterazione è in rosso. Si parte sempre da
una funzione d'onda che rappresenta una distribuzione di probabilità gaussiana.

In ascissa c'è la posizione    della particella ed in ordinata la densità di probabilità  .

        - 1 -    Particella libera.

                   Si noti lo "sparpagliamento" della funzione d'onda.

       

        - 2 -    Barriera rettangolare di potenziale.

                   Si noti l'effetto tunnel. La particella "passa" oltre la barriera.

       

        - 3 -    Buca di potenziale.

                   La particella può trovarsi anche fuori dalla buca ed entra in una specie di "risonanza".

       

        - 4 -    Campo uniforme.

       

        - 5 -    Oscillatore armonico.

                   In ogni iterazione la funzione d'onda mantiene la forma originale di gaussiana e la funzione 
                   d'onda si trova ad "oscillare" attorno al centro.

       

        - 6 - Scalino di potenziale.

       

Fine. 

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