Miscellanea
Cinematica quantistica del punto materiale
La meccanica quantistica non si basa sul concetto di traiettoria continua. Essa si basa invece
sul concetto probabilistico di funzione d'onda.
La meccanica quantistica afferma che non si può conoscere esattamente come le particelle (l'analogo
quantistico dei punti materiali classici) si muovono nello spazio. Anche eseguendo misure dalla
precisione infinita, poiché un processo di misura perturba inevitabilmente l'oggetto della misura
stessa, non si può conoscere esattamente e simultaneamente la posizione e la velocità di una
particella. La meccanica quantistica quindi non fornisce nessuna informazione deterministica sul
moto delle particelle. Essa fornisce solo la probabilità di trovare una particella in un dato punto
dello spazio in un certo istante.
01 - Principio di indeterminazione.
Il concetto di traiettoria non è quindi presente in meccanica quantistica. Questa è la principale e
rivoluzionaria conseguenza del principio di indeterminazione di Heinsenberg (1927). Secondo
questo principio il prodotto fra gli intervalli in cui sono confinati mediamente i possibili valori
(determinabili da processi mi misura) di posizione e quantità di moto (massa x velocità) è sempre
maggiore di un certo valore non nullo che è una costante universale molto piccola. Tali intervalli
sono detti indeterminazioni. Matematicamente :
dove il simbolo
indica l'indeterminazione con cui si conosce la posizione (in una dimensione) della
particella,
indica l'indeterminazione
con cui si conosce la sua quantità di moto e la
costante
(si legge "h tagliato") è definita come
,
essendo h la costante di Planck che
vale
numericamente
circa
(un numero estremamente piccolo !).
Il significato profondo del principio di indeterminazione è che una particella non può avere
contemporaneamente
e 
, cioè non può
essere localizzata con precisione nello
spazio e contemporaneamente avere una velocità precisa. In questo caso il prodotto delle precisioni
sarebbe 0 in contraddizione con il principio di indeterminazione.
Se fosse
, la particella avrebbe invece 
. Ciò significa che se una particella fosse
localizzata esattamente in un punto dello spazio essa avrebbe di conseguenza velocità completamente
indeterminata. Viceversa, se una particella avesse velocità determinata, essa potrebbe essere ovunque
nello spazio.
02 - Funzione d'onda.
Per i motivi finora descritti, una traiettoria nel senso classico del termine (curva continua) non è
concepibile in meccanica quantistica. Il principio di indeterminazione costituisce allora un punto di
partenza dal valore negativo e su di esso non si può costruire nessuna cinematica. Una teoria fisica
deve, invece, essere in grado di descrive i fenomeni fisici e formulare previsioni su di essi.
Per questo viene in soccorso il concetto di funzione d'onda. Una particella è descritta da una
funzione
che fornisce
la probabilità di trovarla (tramite un processo di misura)
in un determinato
punto dello spazio ad un certo istante.
L'apparato matematico della meccanica quantistica poi fornisce una equazione, dovuta a Schrödinger,
che descrive deterministicamente come la funzione d'onda evolve nel tempo. Possiamo affermare
allora che la realtà è probabilistica, ma la probabilità è deterministica.
Noi non sappiamo esattamente dove si trova una particella in un certo istante, ma sappiamo che
probabilità abbiamo di trovarla in un certo punto dello spazio quell' istante e sappiamo anche come
questa probabilità evolve nel tempo.
Su queste idee si può costruire una cinematica quantistica.
03 - Cinematica quantistica.
Consideriamo per semplicità una particella in grado di muoversi solo su di una linea retta (moto
unidimensionale). La probabilità di trovare la particella in un certo punto x della retta nel tempo
t è data dalla funzione d'onda :
.
Si tratta di una funzione da R² ( R = insieme dei numeri reali) a C ( C = insieme dei numeri
complessi) il cui quadrato del modulo dà la densità di probabilità di trovare la particella in un
certo elemento infinitesimo dx in un certo istante. Si ha esattamente :
dove dp rappresenta la probabilità di trovare la particella nell'elemento dx . Graficamente (in un
dato istante) :
Se si integra la probabilità dp su un segmento finito
, cioè :
,
si trova la probabilità p di trovare la particella in quel segmento in un dato istante :
Se si integra la probabilità dp su tutta la retta, si ottiene la certezza di trovare sicuramente la
particella su tutta la retta in un dato istante, si ottiene perciò 1 . Quindi :
.
Graficamente (in un dato istante) :
Questa è la cosiddetta condizione di normalizzazione a cui devono sottostare le funzioni d'onda.
Abbiamo così le basi per costruire una cinematica quantistica in termini di funzione d'onda e quindi
di probabilità. Per fare questo, basta considerare l'evoluzione temporale della funzione d'onda.
Riguardo all'evoluzione temporale della funzione d'onda, dobbiamo affermare che qui, nell'ambito
della cinematica, non ne tratteremo le cause fisiche (le forze che la determinano). Considereremo
queste cause fisiche come date a priori per cui supporremo completamente nota la funzione d'onda
anche nella sua componente temporale.
Sia allora data una funzione d'onda
e siano 
tre istanti di tempo successivi. Avremo
allora tre differenti funzioni d'onda
nella sola coordinata spaziale x .
Queste funzioni rappresentano tre diverse distribuzioni di probabilità. Per esempio :
In questo caso, guardando il grafico, notiamo che la particella ha un "massimo" di probabilità che si
sposta verso destra al crescere del tempo. Si noti anche che, in questo esempio, la probabilità si
"schiaccia", cioè la particella, al variare del tempo, può essere trovata in zone dello spazio sempre
maggiori.
La stessa "cinematica" può essere vista in un grafico tridimensionale nel seguente modo :
Abbiamo così "creato" una cinematica quantistica. Le possibilità di "propagazione" della particella
sono infinite e dipendono dal tipo di forza che agisce su di essa.
04 - Particelle con velocità determinata.
Consideriamo infine il caso di una particella dotata di quantità di moto definita. A causa del
principio di indeterminazione, in questo caso la particella può trovarsi in un qualunque punto
dello spazio. Questo significa che la funzione d'onda della particella deve avere modulo costante
in modo che non vi sia differenza di probabilità da un punto all'altro dello spazio e tale modulo
non deve dipendere ovviamente dal tempo. E' chiaro che in questo caso la funzione d'onda non
è normalizzabile.
D'altra parte, una particella dotata di quantità di moto p possiede, secondo de Broglie,
un'onda associata di lunghezza d'onda :
.Questo fatto è alla base dell'ipotesi ondulatoria della materia.
Una funzione d'onda che soddisfi quanto sopra affermato deve essere :
dove k è una costante il cui valore non ci interessa qui determinare ed exp() indica la funzione
esponenziale " e elevato a .... " (naturalmente i indica l'unità immaginaria).
Dimostriamo l'esattezza dell'affermazione.
Una tale funzione d'onda ha il quadrato del modulo pari a :
e quindi costante come deve essere.
Esprimendo la funzione esponenziale in seno e coseno e limitandoci al solo coseno otteniamo :
.Sostituendo in p la formula di de Broglie abbiamo :
.Se uguagliamo l'argomento del coseno a
otteniamo :
ovvero :
.
La funzione d'onda coincide quindi con un'onda "spaziale" di lunghezza d'onda corrispondente alla
lunghezza d'onda di de Broglie come doveva essere.
Fine.
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