E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Cinematica quantistica del punto materiale

La meccanica quantistica non si basa sul concetto di traiettoria continua. Essa si basa invece 
sul concetto probabilistico di funzione d'onda

La meccanica quantistica afferma che non si può conoscere esattamente come
le particelle (l'analogo  
quantistico dei punti materiali classici) si muovono nello spazio. Anche eseguendo misure dalla 
precisione infinita, poiché un processo di misura perturba inevitabilmente l'oggetto della misura 
stessa, non si può conoscere esattamente e simultaneamente la posizione e la velocità di una 

particella. La meccanica quantistica quindi non fornisce nessuna informazione deterministica sul 
moto delle particelle. Essa fornisce solo la probabilità di trovare una particella in un dato punto 
dello spazio in un certo istante.

01 - Principio di indeterminazione.


Il concetto di traiettoria non è quindi presente in meccanica quantistica. Questa è la principale e 

rivoluzionaria conseguenza del principio di indeterminazione di Heinsenberg (1927). Secondo 
questo principio il prodotto fra gli intervalli in cui sono confinati mediamente i possibili valori 
(determinabili da processi mi misura) di posizione e quantità di moto (massa x velocità) è sempre 
maggiore di un certo valore non nullo che è una costante universale molto piccola. Tali intervalli  
sono detti indeterminazioni. Matematicamente :

       


dove il simbolo  indica l'indeterminazione con cui si conosce la posizione (in una dimensione) 
della 
particella,   indica l'indeterminazione con cui si conosce la sua quantità di moto e la costante    
(si legge "h tagliato") è definita come  , essendo  h  la costante di Planck che vale numericamente
circa (un numero estremamente piccolo !).

Il significato profondo del principio di indeterminazione è che una particella non può avere 

contemporaneamente e , cioè non può essere localizzata con precisione nello 
spazio e contemporaneamente avere una velocità precisa. In questo caso il prodotto delle precisioni 
sarebbe 0  in contraddizione con il principio di indeterminazione.

Se fosse 
  , la particella avrebbe invece  . Ciò significa che se una particella fosse 
localizzata esattamente in un punto dello spazio essa avrebbe di conseguenza velocità completamente 
indeterminata. Viceversa, se una particella avesse velocità determinata, essa potrebbe essere ovunque 
nello spazio.

02 - Funzione d'onda.

Per i motivi finora descritti, una traiettoria nel senso classico del termine (curva continua) non è 
concepibile in meccanica quantistica. Il principio di indeterminazione costituisce allora un punto di 
partenza dal valore negativo e su di esso non si può costruire nessuna cinematica. Una teoria fisica 
deve, invece, essere in grado di descrive i fenomeni fisici e formulare previsioni su di essi.

Per questo viene in soccorso il concetto di funzione d'onda. Una particella è descritta da una 

funzione che fornisce la probabilità di trovarla (tramite un processo di misura)
in un determinato 
punto dello spazio ad un certo istante.

L'apparato matematico della meccanica quantistica poi fornisce una equazione, dovuta a Schrödinger
che descrive deterministicamente come la funzione d'onda evolve nel tempo. Possiamo affermare 
allora che la realtà è probabilistica, ma la probabilità è deterministica.

Noi non sappiamo esattamente dove si trova una particella in un certo istante, ma sappiamo che 
probabilità abbiamo di trovarla in un certo punto dello spazio quell' istante e sappiamo anche come 
questa probabilità evolve nel tempo.

Su queste idee si può costruire una cinematica quantistica.

03 - Cinematica quantistica.


Consideriamo per semplicità una particella in grado di muoversi solo su di una linea retta (moto 
unidimensionale). La probabilità di trovare la particella in un certo punto  x  della retta nel tempo 
t  è data dalla funzione d'onda :

        .

Si tratta di una funzione da  R²  ( R = insieme dei numeri reali) a  C  ( C = insieme dei numeri 

complessi) il cui quadrato del modulo dà la densità di probabilità di trovare la particella in un 
certo elemento infinitesimo  dx  in un certo istante. Si ha esattamente :

       

dove  dp  rappresenta la probabilità di trovare la particella nell'elemento  dx . Graficamente (in un 
dato istante) :

       

Se si integra la probabilità  dp  su un segmento finito , cioè :

        ,

si trova la probabilità  p  di trovare la particella in quel segmento in un dato istante :  

       

Se si integra la probabilità  dp  su tutta la retta, si ottiene la certezza di trovare sicuramente la 
particella su tutta la retta in un dato istante, si ottiene perciò  1 . Quindi :

        .

Graficamente (in un dato istante) :

       

Questa è la cosiddetta condizione di normalizzazione a cui devono sottostare le funzioni d'onda.

Abbiamo così le basi per costruire una cinematica quantistica in termini di funzione d'onda e quindi 
di probabilità. Per fare questo, basta considerare l'evoluzione temporale della funzione d'onda

Riguardo all'evoluzione temporale della funzione d'onda, dobbiamo affermare che qui, nell'ambito 
della cinematica, non ne tratteremo le cause fisiche (le forze che la determinano). Considereremo 
queste cause fisiche come date a priori per cui supporremo completamente nota la funzione d'onda
anche nella sua componente temporale

Sia allora data una funzione d'onda 
e siano    tre istanti di tempo successivi. Avremo 
allora tre differenti funzioni d'onda  nella sola coordinata spaziale  x .
Queste funzioni rappresentano tre diverse distribuzioni di probabilità. Per esempio :

        

In questo caso, guardando il grafico, notiamo che la particella ha un "massimo" di probabilità che si 

sposta verso destra al crescere del tempo. Si noti anche che, in questo esempio, la probabilità si 
"schiaccia", cioè la particella, al variare del tempo, può essere trovata in zone dello spazio sempre 
maggiori.

La stessa "cinematica" può essere vista in un grafico tridimensionale nel seguente modo :


       

Abbiamo così "creato" una cinematica quantistica. Le possibilità di "propagazione" della particella 

sono infinite e dipendono dal tipo di forza che agisce su di essa.

04 - Particelle con velocità determinata.

Consideriamo infine il caso di una particella dotata di quantità di moto definita. A causa del 

principio di indeterminazione, in questo caso la particella può trovarsi in un qualunque punto 
dello spazio. Questo significa che la funzione d'onda della particella deve avere modulo costante 
in modo che non vi sia differenza di probabilità da un punto all'altro dello spazio e tale modulo 
non deve dipendere ovviamente dal tempo. E' chiaro che in questo caso la funzione d'onda non 
è normalizzabile.

D'altra parte, una particella dotata di quantità di moto  p  possiede, secondo de Broglie

un'onda associata di lunghezza d'onda :

          .

Questo fatto è alla base dell'ipotesi ondulatoria della materia.

Una funzione d'onda che soddisfi quanto sopra affermato deve essere :


       


dove  k  è una costante il cui valore non ci interessa qui determinare ed  exp()  indica la funzione 
esponenziale  " e  elevato a .... " (naturalmente  i  indica l'unità immaginaria). 


Dimostriamo l'esattezza dell'affermazione.


Una tale funzione d'onda ha il quadrato del modulo pari a :

         

e quindi costante come deve essere.

Esprimendo la funzione esponenziale in seno e coseno e limitandoci al solo coseno otteniamo :


        .

Sostituendo in  p  la formula di de Broglie abbiamo :

          .

Se uguagliamo l'argomento del coseno a    otteniamo :


        

ovvero :

        .

La funzione d'onda coincide quindi con un'onda "spaziale" di lunghezza d'onda corrispondente alla 

lunghezza d'onda di de Broglie come doveva essere. 

        

Fine. 

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