Miscellanea
Cinematica classica del punto materiale
La meccanica classica si basa sul concetto di punto materiale e di traiettoria continua.
Per punto materiale si intende un punto geometrico di
dotato di massa 
. Un corpo fisico reale è approssimabile da un punto materiale solo se le sue dimensioni sono trascurabili nella descrizione
del suo moto.
Il punto materiale, nel suo moto, descrive una traiettoria continua che è, dal punto di vista matematico,
una curva continua di
.In questa pagina descriviamo le caratteristiche matematiche fondamentali di tali traiettorie non prendendo
in considerazione le cause che generano il moto (di queste si occupa la dinamica).
01 - Grandezze cinematiche.
Il punto materiale
è individuato dal raggio vettore 
che corrispondono alla tripla 
per cui scriveremo :
.Graficamente :
Al variare del tempo
il punto materiale
percorre una traiettoria continua :
che corrisponde alla curva continua la cui rappresentazione parametrica è :
.
Per semplificare la trattazione facciamo le seguenti ipotesi restrittive :
- 1 - la variabile
vari crescendo nell'intervallo aperto 
- 2 - le tre funzioni
, 
, 
siano continue e dotate di derivate continue di ogni
ordine
- 3 - la traiettoria sia percorsa dal punto materiale secondo un verso costante
- 4 - le derivate prime delle tre funzioni suddette non siano mai contemporaneamente nulle
Le traiettorie dei moti reali possono non soddisfare queste regole. Però è sempre possibile individuare
in ogni moto reale parti di traiettoria in cui valgono le suddette regole. Le altre parti di traiettoria (dove
non valgono le suddette regole) vanno considerate a parte.
Consideriamo ora due punti (d'ora in poi ometteremo l'aggettivo "materiale")
e 
corrispondenti
ai due raggi vettori
e 
ed agli istanti successivi 
e 
:
Definiamo il vettore velocità media
nel seguente modo :
e notiamo che tale vettore tende a diventare tangente alla traiettoria tanto più i due istanti
e
sono vicini :
Questo fatto ci porta con naturalità alla definizione del vettore velocità istantanea (più brevemente,
semplicemente velocità)
come
derivata del raggio vettore rispetto al tempo :
(il punto indica la derivata prima rispetto al tempo).
Il vettore velocità è quindi tangente alla traiettoria :
Il vettore
può essere normalizzato all'unità per cui definiamo il vettore tangente
alla curva in un
suo punto come :
(l'utilizzo della lettera t non genera ambiguità) dove il simbolo
indica la norma (intensità) di un
vettore.
Graficamente :
Ribadiamo il fatto che la norma di
è 1 cioè :
.Analogamente a quanto fatto per definire il vettore velocità, definiamo il vettore accelerazione
nel
seguente modo :
.
Graficamente :
Il vettore velocità
ed il vettore accelerazione applicati
nel punto
individuano un piano, il
cosiddetto piano osculatore :
A partire dal punto
si definisce il cosiddetto vettore binormale 
in questo modo :
.(il simbolo
indica il prodotto vettoriale) Si tratta di un vettore unitario perpendicolare
al piano
osculatore con verso definito secondo la regola della vite destrorsa :
(per comodità grafica ci siamo posti direttamente sul piano osculatore).
A questo punto definiamo il vettore normale
in modo che :
.
Il vettore normale risulta essere quindi un vettore unitario perpendicolare al vettore tangente ed al vettore
binormale (quindi giacente sul piano osculatore) con il verso indicato dalla regola della vita destrorsa :
I vettori
,
,
formano in ogni punto della traiettoria un triedro.
In generale, il vettore accelerazione
, che giace sul piano formato dai vettori
ed
, ha una
direzione non coincidente con la direzione di uno dei suddetti. Possiamo allora scomporre il
vettore
nelle due componenti secondo i vettori
ed
in modo che :
dove
è
la componente secondo ,
detta tangenziale, e 
è la
componente secondo
, detta
normale.
Graficamente :
Le componenti
e
sono date dalle seguenti formule :
(dove il simbolo
indica il prodotto interno (scalare) fra due vettori).
La definizione analitica delle due componenti dell'accelerazione è, nel caso generale, formalmente
complessa. Ci limiteremo a ricavare le formule nel semplice ma importante caso dei moti piani,
per i quali le traiettorie giacciono completamente su un unico piano (il piano osculatore).
02 - Moti piani.
Consideriamo il seguente moto piano (indichiamo direttamente sul grafico le grandezze in gioco) :
Abbiamo evidentemente :
e :
da cui ricaviamo direttamente con semplici calcoli :
e :
.
Consideriamo infine il caso in cui la componente tangenziale
sia nulla. In questo caso possiamo scrivere :
da cui ricaviamo che :
= costante .E' questo il caso in cui la velocità del punto materiale ha in ogni punto intensità costante. In questo
caso l'accelerazione ha solo una componente normale e si chiama accelerazione centripeta.
Fine.
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