E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Cinematica classica del punto materiale

La meccanica classica si basa sul concetto di punto materiale e di traiettoria continua

Per punto materiale si intende un punto geometrico di  dotato di massa  . Un corpo fisico 
reale è approssimabile da un punto materiale solo se le sue dimensioni sono trascurabili nella descrizione 
del suo moto.

Il punto materiale, nel suo moto, descrive una traiettoria continua che è, dal punto di vista matematico, 
una curva continua di  .

In questa pagina descriviamo le caratteristiche matematiche fondamentali di tali traiettorie non prendendo
in considerazione le cause che generano il moto (di queste si occupa la dinamica).

01 - Grandezze cinematiche. 

Il punto materiale  è individuato dal raggio vettore    che corrispondono alla tripla   
per cui scriveremo :

        .

Graficamente :

       

Al variare del tempo    il punto materiale 
  percorre una traiettoria continua :

       


che corrisponde alla curva continua la cui rappresentazione parametrica è :

          .


Per semplificare la trattazione facciamo le seguenti ipotesi restrittive :


        - 1 -    la variabile 
  vari crescendo nell'intervallo aperto   

        - 2 -    le tre funzioni   , ,   siano continue  e dotate di derivate continue di ogni 

                  
ordine

        - 3 -    la traiettoria sia percorsa dal punto materiale secondo un verso costante

        - 4 -    le derivate prime delle tre funzioni suddette non siano mai contemporaneamente nulle 

Le traiettorie dei moti reali possono non soddisfare queste regole. Però è sempre possibile individuare 
in ogni moto reale parti di traiettoria in cui valgono le suddette regole. Le altre parti di traiettoria (dove 
non valgono le suddette regole) vanno considerate a parte.

Consideriamo ora due punti (d'ora in poi ometteremo l'aggettivo "materiale")    e  corrispondenti 
ai due raggi vettori    e  ed agli istanti successivi    e  :

       

Definiamo il vettore velocità media  nel seguente modo :


       

e notiamo che tale vettore tende a diventare tangente alla traiettoria tanto più i due istanti  
  e   
sono vicini :

       

Questo fatto ci porta con naturalità alla definizione del vettore velocità istantanea (più brevemente, 

semplicemente velocità)  come derivata del raggio vettore rispetto al tempo :

         

(il punto indica la derivata prima rispetto al tempo).

Il vettore velocità è quindi tangente alla traiettoria :


       

Il vettore 
  può essere normalizzato all'unità per cui definiamo il vettore tangente  alla curva in un 
suo punto come :

       

(l'utilizzo della lettera  t  non genera ambiguità) dove il simbolo    indica la norma (intensità) di un

vettore.

Graficamente :


       

Ribadiamo il fatto che la norma di 
  è  1  cioè :

        .

Analogamente a quanto fatto per definire il vettore velocità, definiamo il vettore accelerazione  nel 

seguente modo :

        .


Graficamente :


        

Il vettore velocità 
  ed il vettore accelerazione   applicati nel punto    individuano un piano, il 
cosiddetto piano osculatore :

       

A partire dal punto 
  si definisce il cosiddetto vettore binormale    in questo modo :

        .

(il simbolo    indica il prodotto vettoriale) Si tratta di un vettore unitario perpendicolare al piano 
osculatore con verso definito secondo la regola della vite destrorsa :

       

(per comodità grafica ci siamo posti direttamente sul piano osculatore).


A questo punto definiamo il vettore normale  in modo che :

        .

Il vettore normale risulta essere quindi un vettore unitario perpendicolare al vettore tangente ed al vettore 
binormale (quindi giacente sul piano osculatore) con il verso indicato dalla regola della vita destrorsa :

       

I vettori 
,    ,    formano in ogni punto della traiettoria un triedro.

In generale, il vettore accelerazione 
, che giace sul piano formato dai vettori  ed  , ha una 
direzione non coincidente con la direzione di uno dei suddetti. Possiamo allora scomporre il
vettore 
  nelle due componenti secondo i vettori  ed  in modo che :

         

dove    è la componente secondo 
 , detta tangenziale, e    è la componente secondo  , detta 
normale.

Graficamente :

        

Le componenti 
  e    sono date dalle seguenti formule :

         


(dove il simbolo    indica il prodotto interno (scalare) fra due vettori).

La definizione analitica delle due componenti dell'accelerazione è, nel caso generale, formalmente 
complessa. Ci limiteremo a ricavare le formule nel semplice ma importante caso dei moti piani
per i quali le traiettorie giacciono completamente su un unico piano (il piano osculatore).

02 - Moti piani.

Consideriamo il seguente moto piano (indichiamo direttamente sul grafico le grandezze in gioco) :


        

Abbiamo evidentemente :


        

e :

        

da cui ricaviamo direttamente con semplici calcoli :


        

e :


         .

Consideriamo infine il caso in cui la componente tangenziale 
  sia nulla. In questo caso possiamo 
scrivere :

         

da cui ricaviamo che :

        = costante .

E' questo il caso in cui la velocità del punto materiale ha in ogni punto intensità costante. In questo 

caso l'accelerazione ha solo una componente normale e si chiama accelerazione centripeta.

Fine. 

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