E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Campi conservativi classici

Il concetto di campo è uno dei cardini della fisica. Diciamo che nello spazio vi è un campo se ponendo 
(idealmente) una particella (punto materiale) di massa    in tutti i suoi punti, essa risente di una forza
Siccome la forza è una grandezza vettoriale, il campo in questo caso si dice vettoriale :

       


Se la forza che agisce sulla particella in un punto è variabile nel tempo, il campo si dice variabile. In caso 

contrario, il campo è costante. Prendiamo qui in considerazioni solo i campi costanti nel tempo in quanto, 
come vedremo più avanti, tali sono i campi conservativi.

Dal punto di vista della meccanica classica, un campo vettoriale costante nel tempo è descritto 

matematicamente da una funzione vettoriale da  che indicheremo come :

         

(le tre funzioni qui introdotte siano continue su tutto
  e con derivate continue di ogni ordine).

01 - Campi conservativi.

Un campo vettoriale si dice conservativo se il vettore    è definito come :

       

dove   è una funzione da 
  ad    che è detta energia potenziale. L'operatore    è il gradiente 
che vale simbolicamente :

        .

La forza è quindi definita come :

         

per cui si ha :

        .

Esempi di campi conservativi sono il campo gravitazionale newtoniano, il campo elettrostatico 

coulombiano, il campo elastico dell'oscillatore armonico.

02 - Principali proprietà dei campi conservativi.

Vediamo ora le proprietà di un campo conservativo che sono tali da da giustificarne il nome.

Introduciamo la ben nota formula che lega la forza con l'accelerazione (2° legge della dinamica) :

         .

Introduciamo anche la funzione :


          

(essendo    la velocità della particella) che è detta energia (totale) della particella. Il termine    
è detto energia cinetica della particella per cui l'energia    corrisponde alla somma di energia cinetica 
ed energia potenziale, per cui sinteticamente :

         

dove    indica l'energia cinetica.

Vediamo ora come varia l'energia 
  fra due punti infinitamente vicini. Esprimiamo il differenziale 
dell'energia ed eseguiamo i semplici calcoli :

       

introduciamo il differenziale dell'energia potenziale 
  ed otteniamo :

       

dove    è il raggio vettore della particella ed il prodotto interno (scalare)    è detto 
elemento di lavoro  .

Siccome :

       

si ha :

        .

Sostituendo nella formula che fornisce    come l'abbiamo lasciata, otteniamo :

         

cioè :

        .

La variazione dell'energia in un campo conservativo è quindi nulla. Questa è la principale proprietà 
dei campi conservativi ed è quella che dà il nome a questi campi. I campi conservativi sono quelli in cui 
l'energia definita come    si conserva.

Se  avremo     e quindi : 

        .

Questo significa che in un campo conservativo la variazione di energia cinetica eguaglia la variazione 
dell'energia potenziale cambiata di segno.

Consideriamo ora il lavoro compiuto dalla forza del campo lungo uno spostamento aperto  andando 
dal punto    al punto  :

       

Esso vale :

          .

Si vede subito che il lavoro da  
  a  non dipende dal cammino, ma solo dal punto iniziale
quello finale. Esso eguaglia semplicemente la differenza delle energie potenziali nei due punti. 
Questa è un'altra fondamentale proprietà dei campi conservativi :

       

In particolare, se il cammino è chiuso, il lavoro è nullo :

        .

Si dice in questo caso che la circuitazione della forza è nulla :

       

03 - Dinamica della particella.

Consideriamo ora il moto di una particella di massa 
  immersa in un campo conservativo descritto 
dall'energia potenziale  . Essa, in ogni punto dello spazio, è soggetta alla forza    per cui si muove 
secondo la nota equazione :

       
.

Nota la forma matematica della forza, quindi, siamo in grado di ricavare, almeno in linea di principio, la 
legge oraria del moto della particella. Poiché, per definizione di campo conservativo, abbiamo :

       


possiamo scrivere :

   
    

(i due punti indicano la deriva seconda rispetto al tempo) e, poiché la funzione 
  è nota, possiamo 
porre per comodità :

          .

Si tratta di un sistema di tre equazioni differenziali alle derivate totali del second'ordine nelle tre 

funzioni incognite 

Un tale sistema, per essere risolto, necessita di conoscere al tempo iniziale    la posizione iniziale  

della particella nonché la sua velocità iniziale  . Queste sono le condizioni 
iniziali del problema.

La soluzione analitica di un tale sistema non è in generale possibile. Presentiamo allora qui un metodo 
di risoluzione approssimata basato sulle differenze finite che permette una costruzione della soluzione 
(le tre funzioni suddette) per punti. Tale metodo fornisce una precisione tanto maggiore quanto minore 
è l'intervallo di tempo   fra un punto ed il successivo. Il metodo ha il vantaggio di essere molto 
semplice ma lo svantaggio di avere l'errore di approssimazione che si propaga "velocemente" da 
punto a punto.

Considerando il grafico :

       


la derivata prima può essere approssimata dalle formula : 

   
     

(dove    indica la derivata prima in 
  ). Naturalmente formule analoghe valgono per     e per  .

Con questa approssimazione è possibile costruire le soluzioni punto per punto a partire dalle condizioni 
iniziali
con un procedimento iterativo che può essere eseguito al computer in modo molto efficiente.

Lo indichiamo sinteticamente nella seguente tabella :        

 dati iniziali    ,     ,     ,  
 1      
 2      
 2      
 3   ,   ,   ,
 vai a 1      


I segni di uguale ( = ) hanno qui l'usuale significato "informatico", cioè di sostituire alla variabile indicata a 
sinistra il valore riportato a destra.

Fine. 

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