Miscellanea
Campi conservativi classici
Il concetto di campo è uno dei cardini della fisica. Diciamo che nello spazio vi è un campo se ponendo
(idealmente) una particella (punto materiale) di massa
in
tutti i
suoi punti,
essa risente di una forza.
Siccome la forza è una grandezza vettoriale, il campo in questo caso si dice vettoriale :
Se la forza che agisce sulla particella in un punto è variabile nel tempo, il campo si dice variabile. In caso
contrario, il campo è costante. Prendiamo qui in considerazioni solo i campi costanti nel tempo in quanto,
come vedremo più avanti, tali sono i campi conservativi.
Dal punto di vista della meccanica classica, un campo vettoriale costante nel tempo è descritto
matematicamente da una funzione vettoriale da
a
che
indicheremo come :
(le tre funzioni qui introdotte siano continue su tutto
e con derivate continue di ogni ordine).01 - Campi conservativi.
Un campo vettoriale si dice conservativo se il vettore
è definito come :
dove
è una funzione
da
ad 
che è detta energia potenziale.
L'operatore
è il gradiente che vale simbolicamente :
.La forza è quindi definita come :
per cui si ha :
.Esempi di campi conservativi sono il campo gravitazionale newtoniano, il campo elettrostatico
coulombiano, il campo elastico dell'oscillatore armonico.
02 - Principali proprietà dei campi conservativi.
Vediamo ora le proprietà di un campo conservativo che sono tali da da giustificarne il nome.
Introduciamo la ben nota formula che lega la forza con l'accelerazione (2° legge della dinamica) :
.
Introduciamo anche la funzione :
(essendo
la velocità della particella) che è detta energia (totale) della
particella. Il termine 
è detto energia cinetica della particella per cui l'energia
corrisponde alla somma di energia cinetica ed energia potenziale, per cui sinteticamente :
dove
indica l'energia cinetica.Vediamo ora come varia l'energia
fra due punti infinitamente
vicini. Esprimiamo il differenziale 
dell'energia ed eseguiamo i semplici calcoli :
introduciamo il differenziale dell'energia potenziale
ed otteniamo
:
dove
è
il raggio vettore della particella ed il prodotto interno
(scalare) 
è detto elemento di lavoro
.Siccome :
si ha :
.Sostituendo nella formula che fornisce
come l'abbiamo lasciata,
otteniamo :
cioè :
.La variazione dell'energia in un campo conservativo è quindi nulla. Questa è la principale proprietà
dei campi conservativi ed è quella che dà il nome a questi campi. I campi conservativi sono quelli in cui
l'energia definita come
si conserva.
Se
avremo 
e quindi :
.
Questo significa che in un campo conservativo la variazione di energia cinetica eguaglia la variazione
dell'energia potenziale cambiata di segno.
Consideriamo ora il lavoro compiuto dalla forza del campo lungo uno spostamento aperto
andando
dal punto
al punto 
:
Esso vale :
.
Si vede subito che il lavoro da
a
non dipende dal cammino, ma solo dal punto iniziale e
quello finale. Esso eguaglia semplicemente la differenza delle energie potenziali nei due punti.
Questa è un'altra fondamentale proprietà dei campi conservativi :
In particolare, se il cammino è chiuso, il lavoro è nullo :
.
Si dice in questo caso che la circuitazione della forza è nulla :
03 - Dinamica della particella.
Consideriamo ora il moto di una particella di massa
immersa in un campo conservativo descritto
dall'energia potenziale
. Essa, in ogni punto dello spazio, è soggetta alla forza
per cui si muove
secondo la nota equazione :
.
Nota la forma matematica della forza, quindi, siamo in grado di ricavare, almeno in linea di principio, la
legge oraria del moto della particella. Poiché, per definizione di campo conservativo, abbiamo :
possiamo scrivere :
(i due punti indicano la deriva seconda rispetto al tempo) e, poiché la funzione
è nota, possiamo
porre per comodità :
.
Si tratta di un sistema di tre equazioni differenziali alle derivate totali del second'ordine nelle tre
funzioni incognite
. Un tale sistema, per essere risolto, necessita di conoscere al tempo iniziale
la posizione
iniziale 
della particella nonché la sua
velocità iniziale 
. Queste sono le condizioni iniziali del problema.
La soluzione analitica di un tale sistema non è in generale possibile. Presentiamo allora qui un metodo
di risoluzione approssimata basato sulle differenze finite che permette una costruzione della soluzione
(le tre funzioni suddette) per punti. Tale metodo fornisce una precisione tanto maggiore quanto minore
è l'intervallo di tempo
fra un punto ed
il successivo. Il metodo ha il vantaggio di essere molto semplice ma lo svantaggio di avere l'errore di approssimazione che si propaga "velocemente" da
punto a punto.
Considerando il grafico :
la derivata prima può essere approssimata dalle formula :
(dove
indica la derivata prima in
).
Naturalmente formule analoghe valgono per 
e per 
.
Con questa approssimazione è possibile costruire le soluzioni punto per punto a partire dalle condizioni
iniziali con un procedimento iterativo che può essere eseguito al computer in modo molto efficiente.
Lo indichiamo sinteticamente nella seguente tabella :
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