E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Un funzionale continuo non limitato su un insieme limitato chiuso

Un funzionale (reale) è una funzione da uno spazio vettoriale (reale) ad  (se lo spazio vettoriale è definito su  , si parla di funzionali complessi, ma noi, qui, ci occuperemo di funzionali reali).

I funzionali più "famosi" sono le funzioni da  ad    ed in particolare quelle da    ad  .

"Lavorando" usualmente, come avviene spesso per un matematico (o per un fisico), con i funzionali su    (o semplicemente su  ), si "rischia" acquisire una "mentalità" sbagliata su certe "questioni" di grande importanza.

Tali erronee "mentalità" hanno addirittura "radici" profonde che risalgono allo "studio di funzione" così come lo si impara nelle scuole medie superiori.

Una questione molto importante è la limitatezza di un funzionale continuo. 

La "mentalità" comune, ma, come vedremo, sbagliata, è che un funzionale continuo su un insieme limitato e chiuso debba essere di conseguenza limitato. Questo è sicuramente vero se l'insieme limitato e chiuso in questione è un sottoinsieme di  , ma può essere non più vero se lo spazio vettoriale di riferimento non è  . In particolare, se lo spazio vettoriale di riferimento è ad infinite dimensioni !!!

Il teorema di Weierstrass assicura che un funzionale continuo su un compatto possiede un massimo ed un minimo (quindi è limitato).

I sottoinsiemi di    che siano limitati e chiusi sono anche compatti.

In  , quindi, i funzionali sui limitati e chiusi sono limitati.

In uno spazio ad infinite dimensioni, invece, questo non è vero in generale.

Consideriamo lo spazio  .

Esso è uno spazio di Hilbert ad infinite dimensioni composto dalle successioni :

di numeri reali tali per cui la norma è :

        .

Il prodotto interno è ovviamente 

essendo :

e :

        .

La distanza è data da :

        .

Come si intuisce bene, lo spazio    è una generalizzazione con    dello spazio di Hilbert  .

Con un certo abuso di notazione, poniamo per comodità :

        .

Il sistema :

costituisce una base ortonormale di  .

Evidentemente, la base :

è numerabile.

La distanza fra due qualunque distinti vettori di base è :

          con  .

Osserviamo il grafico :

In esso abbiamo indicato la sfera aperta :

centrata in    e raggio    e le sfere aperte :

con centri in    e raggio  ( ).

Il suddetto grafico ha valore prettamente "esemplificativo" anche perché le sfere    sono infinite (numerabili)  !!!

Siccome     ( ), se :

le suddette sfere sono tutte disgiunte, cioè si ha :

          con  .

Costruiamo ora il seguente funzionale continuo su tutto  .

Sia :

definita da :

          con 

        altrove.

Si tratta di un funzionale continuo che sulla frontiera della sfera aperta  assume valori non limitati in quanto le sfere    sono infinite (numerabili) e nel centro di ognuna (cioè per i vettori di base  ) il funzionale fornisce  .

Il funzionale continuo    sulla chiusura della sfera aperta  (insieme evidentemente limitato e chiuso) è quindi non limitato.

L'esempio qui riportato dimostra che per spazi vettoriali a dimensione infinita il "senso comune" ereditato da    può essere erroneo.

L'esempio riveste un ruolo ancora più importante grazie al fatto che ogni spazio di Hilbert a dimensione infinita e separabile è isomorfo ed isometrico ad  .

Siccome ogni spazio di Hilbert (reale) a dimensione finita è isomorfo ed isometrico ad  e per questo caso ogni funzionale continuo su un limitato chiuso è limitato (grazie al teorema di Weierstrass), rimane solo il caso degli spazi di Hilbert a dimensione infinita non separabili. Come potrebbero andare le cose, relativamente alla problematica qui trattata, per questi spazi ?

Fine.

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