Miscellanea : un elementare sistema economico di scambio (2' parte)

E-school di Arrigo Amadori

Miscellanea

Un elementare sistema economico di scambio (2' parte)

Continuiamo l'analisi iniziata alla pagina :

../1/SistEconElemDiScamb.htm

analizzando il sistema economico ivi introdotto nella rappresentazione .

Il sistema economico di cui si sta trattando è così rappresentato :

indica la merce dell'agente

è la dotazione iniziale di

è la dotazione iniziale di ,

dove sono quantità non negative.

Le suddette grandezze sono soggette al vincolo di conservazione :

Sono definite le seguenti funzioni di utilità :

= utilità della merce dell'agente

= utilità della merce dell'agente .

Tali funzioni sono soggette alle seguenti condizioni generali che hanno carattere euristico :

- ,

con , ovvero le sono continue ed hanno derivate prime e seconde continue per numeri reali positivi

- si può perciò estendere il dominio al punto ed affermare che

- .

Le ultime due condizioni esprimono il fatto che le sono funzioni crescenti con derivata prima decrescente e che si tratta di funzioni fortemente concave.

L'utilità dell'agente è :

e l'utilità dell'agente è :

01 - Scambio elementare.

Lo scambio elementare consiste nella trasformazione :

ovvero nella trasformazione che fa "passare" dalle dotazioni iniziali a certi altri valori delle merci naturalmente in obbedienza alle condizioni poste sopra.

Uno scambio, tenendo conto del vincolo di conservazione, può essere rappresentato graficamente nel seguente modo :

Si noti che vale :

Lo cambio avviene in modo che si abbia :

dove il numero positivo così definito è detto prezzo.

Chiamiamo tale relazione vincolo di scambio.

Se lo scambio fosse del tutto casuale sarebbero possibili, applicando solamente i vincoli di conservazione e di scambio, tutte le infinite trasformazioni per cui i punti "finali" sono indicate dagli insiemi in colore :

(le frecce indicano la trasformazione di cui sopra)

Per rendere lo scambio più attinente alla "realtà" introduciamo il vincolo di bi-convenienza :

che esprime il fatto che sono possibili solo quegli scambi per cui le utilità degli agenti , crescono entrambe (senza però raggiungere entrambe necessariamente il massimo possibile !!! come richiesto dal sistema marginalista).

Ovviamente, l'insieme dei punti si riduce rispetto agli insiemi indicati sopra e che sono i più "ampi" possibili, date le dotazioni iniziali.

In ciò che segue, analizzeremo le proprietà di tali insiemi di punti .

02 - Rappresentazione

Il vincolo di bi-convenienza definito sopra è :

L'insieme dei punti , su cui stiamo concentrando la nostra attenzione, sarà allora l'insieme soluzione del suddetto sistema di disequazioni.

A causa del vincolo di conservazione :

è possibile semplificare la nostra analisi limitandoci alle sole coppie . Diciamo perciò che siamo in rappresentazione .

Il sistema diventa quindi :

il cui insieme di soluzioni verrà indicato con .

Se è l'insieme delle soluzioni della prima disequazione ed è l'insieme delle soluzioni della seconda, si avrà :

Ricaviamo ora alcune proprietà delle funzioni :

e :

definite sull'insieme aperto convesso (escludiamo per comodità i punti di frontiera).

Scriviamo le derivate parziali prime e seconde.

Si ha :

e :

dove , .

Calcoliamo anche le matrici hessiane di , .

Si ha :

e :

dove con i segni "-" indichiamo evidentemente che gli elementi corrispondenti sono negativi.

Per quanto sopra affermato, si deduce che le funzioni , non hanno punti critici e sono fortemente concave.

Graficamente, per :

e per :

Dove abbiamo posto (qui e negli esempi numerici seguenti) :

Consideriamo ora le equazioni :

che riscriveremo nella forma :

Esse rappresentano implicitamente le curve , (rispettivamente) indicate esplicitamente dalle funzioni :

Applicando il teorema di Dini per le funzioni implicite ricaviamo :

e :

dove , .

Da ciò si deduce che le due curve , sono decrescenti.

Per le derivate seconde, si ricava :

e :

dove , .

Da ciò si deduce che è fortemente convessa e è fortemente concava.

Graficamente :

Ora, intersechiamo le curve , .

Evidentemente, almeno il punto è un punto in comune.

Graficamente :

Ricaviamo infine gli insiemi , , .

Ricordiamo che l'insieme ( ) rappresenta l'insieme soluzione del sistema :

e la sua determinazione costituisce lo scopo di questa pagina.

Per quanto fin qui mostrato è evidente che :

- è la parte del rettangolo "sopra" la curva

- è la parte del rettangolo "sotto" la curva

- è la parte comune ai suddetti insiemi.

Graficamente :

L'insieme risulta vuoto solo se nel punto vale :

In questo caso non avviene nessun scambio.

Negli altri casi, cioè in generale, non è vuoto e contiene infiniti punti.

Ogni punto di rappresenta quindi uno scambio con vincolo di bi-convenienza che trasforma la dotazione iniziale in un qualunque punto di .

Il punto univoco corrispondente allo scambio marginalista è solo un punto, fra gli infiniti altri, di .

Si noti che il vincolo di scambio, che comporta , è implicito nel vincolo di bi-convenienza.

I valori delle derivate , in , che corrispondono ai coefficienti angolari delle rette tangenti alle curve in , determinano il fatto che sia "posizionato" a "destra in basso" rispetto a oppure a "sinistra in alto".

Fine.

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