E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Un elementare sistema economico di scambio (2' parte)

Continuiamo l'analisi iniziata alla pagina :

        ../1/SistEconElemDiScamb.htm  

analizzando il sistema economico ivi introdotto nella rappresentazione  .

Il sistema economico di cui si sta trattando è così rappresentato :

          indica la merce  dell'agente   

          indica la merce    dell'agente   

          indica la merce  dell'agente   

          indica la merce  dell'agente   

          è la dotazione iniziale di   

          è la dotazione iniziale di   

          è la dotazione iniziale di   

          è la dotazione iniziale di   ,

        dove    sono quantità non negative.

Le suddette grandezze sono soggette al vincolo di conservazione :

        .

Sono definite le seguenti funzioni di utilità :

          = utilità della merce  dell'agente   

        = utilità della merce  dell'agente   

        = utilità della merce  dell'agente   

          = utilità della merce  dell'agente   .

Tali funzioni sono soggette alle seguenti condizioni generali che hanno carattere euristico :

        -    ,

                con , ovvero le  sono continue ed hanno derivate prime e seconde continue per numeri reali positivi 

        -     

        -   

        -    si può perciò estendere il dominio al punto  ed affermare che

        -      

        -      .

Le ultime due condizioni esprimono il fatto che le  sono funzioni crescenti con derivata prima decrescente e che si tratta di funzioni fortemente concave.

L'utilità dell'agente    è :

       

e l'utilità dell'agente    è :

        .

01 - Scambio elementare.

Lo scambio elementare consiste nella trasformazione :

         

ovvero nella trasformazione che fa "passare" dalle dotazioni iniziali a certi altri valori delle merci naturalmente in obbedienza alle condizioni poste sopra.

Uno scambio, tenendo conto del vincolo di conservazione, può essere rappresentato graficamente nel seguente modo :

        

Si noti che vale :

        .

Lo cambio avviene in modo che si abbia :

        ,

dove il numero positivo  così definito è detto prezzo.  

Chiamiamo tale relazione vincolo di scambio.

Se lo scambio fosse del tutto casuale sarebbero possibili, applicando solamente i vincoli di conservazione e di scambio, tutte le infinite trasformazioni per cui i punti "finali" sono indicate dagli insiemi in colore :

       

        (le frecce indicano la trasformazione di cui sopra)

Per rendere lo scambio più attinente alla "realtà" introduciamo il vincolo di bi-convenienza :

       

che esprime il fatto che sono possibili solo quegli scambi per cui le utilità degli agenti  ,   crescono entrambe (senza però raggiungere entrambe necessariamente il massimo possibile !!! come richiesto dal sistema marginalista).

Ovviamente, l'insieme dei punti  si riduce rispetto agli insiemi indicati sopra e che sono i più "ampi" possibili, date le dotazioni iniziali

In ciò che segue, analizzeremo le proprietà di tali insiemi di punti  .

02 - Rappresentazione 

Il vincolo di bi-convenienza definito sopra è :

        .

L'insieme dei punti  , su cui stiamo concentrando la nostra attenzione, sarà allora l'insieme soluzione del suddetto sistema di disequazioni.

A causa del vincolo di conservazione :

       

è possibile semplificare la nostra analisi limitandoci alle sole coppie   . Diciamo perciò che siamo in rappresentazione  .

Il sistema diventa quindi :

       

il cui insieme di soluzioni    verrà indicato con  .

Se    è l'insieme delle soluzioni    della prima disequazione ed    è l'insieme delle soluzioni della seconda, si avrà :

        .

Ricaviamo ora alcune proprietà delle funzioni :

       

e :

         

definite sull'insieme aperto convesso (escludiamo per comodità i punti di frontiera).

Scriviamo le derivate parziali prime e seconde.

Si ha :

       

e :

          ,

dove ,  .

Calcoliamo anche le matrici hessiane di  ,   .

Si ha :

       

e :

          

dove con i segni  "-"  indichiamo evidentemente che gli elementi corrispondenti sono negativi.

Per quanto sopra affermato, si deduce che le funzioni  ,   non hanno punti critici e sono fortemente concave.

Graficamente, per  :

       

e per  :

       

Dove abbiamo posto (qui e negli esempi numerici seguenti) :

       

Consideriamo ora le equazioni :

       

         

che riscriveremo nella forma :

        .

Esse rappresentano implicitamente le curve  , (rispettivamente) indicate esplicitamente dalle funzioni :

        .

Applicando il teorema di Dini per le funzioni implicite ricaviamo :

       

e :

          ,

dove ,  .

Da ciò si deduce che le due curve   ,   sono decrescenti.

Per le derivate seconde, si ricava :

        

e :

        ,

dove ,  .

Da ciò si deduce che    è fortemente convessa e    è fortemente concava.

Graficamente :

       

       

Ora, intersechiamo le curve   , . 

Evidentemente, almeno il punto    è un punto in comune.

Graficamente :

       

Ricaviamo infine gli insiemi  , , .

Ricordiamo che l'insieme    ( ) rappresenta l'insieme soluzione del sistema :

         

e la sua determinazione costituisce lo scopo di questa pagina.

Per quanto fin qui mostrato è evidente che :

        -         è la parte del rettangolo    "sopra" la curva   

        -        è la parte del rettangolo    "sotto" la curva 

        -         è la parte comune ai suddetti insiemi.

Graficamente :

       

L'insieme    risulta vuoto solo se nel punto   vale :

        .

In questo caso non avviene nessun scambio.

Negli altri casi, cioè in generale,   non è vuoto e contiene infiniti punti.

Ogni punto di    rappresenta quindi uno scambio con vincolo di bi-convenienza che trasforma la dotazione iniziale    in un qualunque punto    di  .

Il punto univoco corrispondente allo scambio marginalista è solo un punto, fra gli infiniti altri, di  .

Si noti che il vincolo di scambio, che comporta  , è implicito nel vincolo di bi-convenienza.

I valori delle derivate  , in  , che corrispondono ai coefficienti angolari delle rette tangenti alle curve in  , determinano il fatto che    sia "posizionato" a "destra in basso" rispetto a    oppure a "sinistra in alto".

Fine.

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