indica la merce 
dell'agente E-school di Arrigo
Amadori
Miscellanea
Il prezzo in funzione delle dotazioni iniziali in un sistema
economico elementare marginalista
Il modello economico marginalista generale (con scambio multiplo) è descritto alla pagina :
Qui ci limitiamo al caso elementare di soli due agenti e due merci e ci proponiamo di studiare come varia il prezzo in funzione delle dotazioni iniziali (fatte variare singolarmente) nel caso in cui le funzioni di utilità abbiano la forma :
costante * radice quadrata.
Tali funzioni di utilità sono crescenti ed hanno derivata decrescente, "caratteristiche" richieste dalla teoria marginalista.
Con funzioni di utilità di questo tipo è possibile pervenire a soluzioni analitiche.
I dati del sistema sono :
indica la merce
dell'agente
indica la merce 
dell'agente
indica la merce
dell'agente
indica la merce
dell'agente
è la dotazione iniziale di
è la dotazione iniziale di
è la dotazione iniziale di
è la dotazione iniziale di ,
dove 
sono quantità positive,
è la funzione di utilità della merce
dell'agente
è la funzione di utilità della merce
dell'agente
è la funzione di utilità della merce
dell'agente
è la funzione di utilità della merce
dell'agente ,
dove 
sono costanti positive.
Il vincolo di conservazione è dato da :
.
Il vincolo di scambio è dato da :
dove 
è un numero
positivo detto prezzo.
01 - Determinazione del prezzo.
Imponiamo ora la massimizzazione vincolata dell'utilità 
per l'agente
.
Si ha :
.
Sostituendo, si ottiene :
che, con semplici calcoli, conduce alla soluzione :
.
Analogamente, per l'agente
, si ha :
da cui si ricava la soluzione :
.
Applicando il vincolo di conservazione, sostituendo, si ottiene :
.
Si tratta di un sistema di due equazioni equivalenti. Risolvendo,
per esempio la seconda, si ricava il prezzo
in funzione delle dotazioni iniziali 
.
Si tratta di un'equazione di terzo grado in
per cui si perverrebbe ad espressioni delle soluzioni, come si sa, assai
complesse. Noi, per evitare tale complessità, ci limiteremo a
considerazioni generali sulle soluzioni "osservando",
anche con tecniche numeriche, come esse variano al variare
separato di ogni singola dotazione iniziale.
L'equazione in questione è :
.
Semplificando con facili calcoli si ottiene l'equazione :
che è appunto un'equazione algebrica di terzo grado in
.
Scriviamola nella forma :
ed introduciamo il sistema di assi cartesiani 
, con la variabile
in ascissa e la variabile 
in ordinata.
Il prezzo
(soluzione dell'equazione
) viene così individuato dall'intersezione della curva
con l'asse
delle
per una fissata 4-pla 
di dotazioni iniziali.
Graficamente :
Esprimiamo ora alcune considerazioni sulle proprietà della curva
e dei suoi punti
di intersezione con l'asse delle
.
Calcoliamo le derivate prima e seconda di
rispetto a
.
Si ha :
e :
.
"Osservando" queste derivate (nonché la funzione
stessa) è
facili rendersi conto che (nelle condizioni alle variabili
poste inizialmente) :
1) il punto
d'incontro 
della curva
con l'asse delle ordinate è :
ed ha sempre ordinata negativa
2) il flesso
ha ascissa :
sempre negativa
3) la curva
è convessa
a destra di
e concava a sinistra di
4) la curva
ha un massimo
relativo 
di ascissa :
5) la curva
ha un minimo
relativo 
di ascissa :
6) il massimo
relativo ha sempre ascissa
negativa ed il minimo relativo
ha sempre ascissa positiva
7) vi è sempre
uno ed uno solo punto d'incontro della curva
con l'asse delle ascisse a destra dell'origine
8) il punto
(7) esprime il fatto fondamentale che il presente modello ammette
un solo prezzo (positivo !) che chiameremo 
.
Questi risultati vengono riassunti nel grafico :
02 - Valutazione della variazione del prezzo rispetto alla variazione di una singola dotazione iniziale (esempio numerico).
Consideriamo ora come varia il valore
(il prezzo marginalista) al crescere di 
(restando le altre dotazioni iniziali costanti).
Evidentemente, il punto 
"scende", l'ascissa del punto
cresce ed il valore
cresce di conseguenza.
Graficamente :
Analogo comportamento al crescere di 
.
Consideriamo infine come varia il valore
(il prezzo marginalista) al crescere di 
(restando le altre dotazioni iniziali costanti).
Evidentemente, il punto
rimane "fisso", l'ascissa del punto diminuisce
ed il valore
decresce di conseguenza.
Il fatto che l'ascissa di
diminuisca (al crescere di
) lo si capisce scrivendo la medesima come :
.
Graficamente :
Analogo comportamento al crescere di 
.
I grafici sono stati elaborati ponendo in generale :
e facendo, negli ultimi due grafici, variare indipendentemente le dotazioni
iniziali
, da
a 
con 
.
Fine.