E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Il prezzo in funzione delle dotazioni iniziali in un sistema economico elementare marginalista 

Il modello economico marginalista generale (con scambio multiplo) è descritto alla pagina :

        ScambioMultiplo .

Qui ci limitiamo al caso elementare di soli due agenti e due merci e ci proponiamo di studiare come varia il prezzo in funzione delle dotazioni iniziali (fatte variare singolarmente) nel caso in cui le funzioni di utilità abbiano la forma :

         costante * radice quadrata.

Tali funzioni di utilità sono crescenti ed hanno derivata decrescente, "caratteristiche" richieste dalla teoria marginalista.

Con funzioni di utilità di questo tipo è possibile pervenire a soluzioni analitiche.

I dati del sistema sono :

          indica la merce  dell'agente   

          indica la merce  dell'agente   

          indica la merce  dell'agente   

          indica la merce  dell'agente   

          è la dotazione iniziale di   

          è la dotazione iniziale di   

          è la dotazione iniziale di   

          è la dotazione iniziale di   ,

        dove    sono quantità positive,

          è la funzione di utilità della merce  dell'agente   

          è la funzione di utilità della merce  dell'agente   

          è la funzione di utilità della merce  dell'agente   

          è la funzione di utilità della merce  dell'agente   ,

        dove    sono costanti positive.

Il vincolo di conservazione è dato da :

        .

Il vincolo di scambio è dato da :

       

dove  è un numero positivo detto prezzo.

01 - Determinazione del prezzo.

Imponiamo ora la massimizzazione vincolata dell'utilità    per l'agente

Si ha :

        .

Sostituendo, si ottiene :

         

che, con semplici calcoli, conduce alla soluzione :

         .

Analogamente, per l'agente  , si ha :

       

da cui si ricava la soluzione :

        .

Applicando il vincolo di conservazione, sostituendo, si ottiene :

        .

Si tratta di un sistema di due equazioni equivalenti. Risolvendo, per esempio la seconda, si ricava il prezzo    in funzione delle dotazioni iniziali  .

Si tratta di un'equazione di terzo grado in    per cui si perverrebbe ad espressioni delle soluzioni, come si sa, assai complesse. Noi, per evitare tale complessità, ci limiteremo a considerazioni generali sulle soluzioni "osservando", anche con tecniche numeriche, come esse variano al variare separato di ogni singola dotazione iniziale.

L'equazione in questione è :

        .

Semplificando con facili calcoli si ottiene l'equazione :

         

che è appunto un'equazione algebrica di terzo grado in  .

Scriviamola nella forma :

         

ed introduciamo il sistema di assi cartesiani  , con la variabile    in ascissa e la variabile    in ordinata.

Il prezzo  (soluzione dell'equazione  ) viene così individuato dall'intersezione della curva    con l'asse delle  per una fissata 4-pla    di dotazioni iniziali.

Graficamente :

       

Esprimiamo ora alcune considerazioni sulle proprietà della curva    e dei suoi punti di intersezione con l'asse delle  .

Calcoliamo le derivate prima e seconda di    rispetto a  .

Si ha :

       

e :

        .

"Osservando" queste derivate (nonché la funzione   stessa) è facili rendersi conto che (nelle condizioni alle variabili poste inizialmente) :

        1)    il punto d'incontro    della curva    con l'asse delle ordinate è :

                       

                ed ha sempre ordinata negativa

        2)    il flesso    ha ascissa :

                       

                sempre negativa

        3)    la curva    è convessa a destra di    e concava a sinistra di   

        4)    la curva    ha un massimo relativo    di ascissa :

                       

        5)    la curva    ha un minimo relativo  di ascissa :

                       

        6)    il massimo relativo    ha sempre ascissa negativa ed il minimo relativo    ha sempre ascissa positiva 

        7)    vi è sempre uno ed uno solo punto d'incontro della curva    con l'asse delle ascisse a destra dell'origine   

        8)    il punto  (7)  esprime il fatto fondamentale che il presente modello ammette un solo prezzo (positivo !) che chiameremo  .

Questi risultati vengono riassunti nel grafico :

       

02 - Valutazione della variazione del prezzo rispetto alla variazione di una singola dotazione iniziale (esempio numerico).

Consideriamo ora come varia il valore    (il prezzo marginalista) al crescere di  (restando le altre dotazioni iniziali costanti).

Evidentemente, il punto    "scende", l'ascissa del punto    cresce ed il valore    cresce di conseguenza.

Graficamente :

        

Analogo comportamento al crescere di    .

Consideriamo infine come varia il valore    (il prezzo marginalista) al crescere di  (restando le altre dotazioni iniziali costanti).

Evidentemente, il punto    rimane "fisso", l'ascissa del punto  diminuisce ed il valore    decresce di conseguenza.

Il fatto che l'ascissa di    diminuisca (al crescere di  ) lo si capisce scrivendo la medesima come :

        .

Graficamente :

       

Analogo comportamento al crescere di    .

I grafici sono stati elaborati ponendo in generale :

       

e facendo, negli ultimi due grafici, variare indipendentemente le dotazioni iniziali  ,   da    a    con  .

Fine.

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