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Miscellanea

Un modello numerico per l'equazione gravitazionale di Einstein bidimensionale

Viene qui presentato un metodo di risoluzione (approssimata) numerica "passo passo" dell'equazione gravitazionale di Einstein limitatamente al caso bidimensionale. Tale metodo può essere generalizzato al caso quadridimensionale anche se l'incremento in complessità ed in tempo macchina rende tale generalizzazione non conveniente. In quattro dimensioni sono disponibili altri metodi.

01 - Equazione gravitazionale di Einstein.

L'equazione di Einstein è (sarebbe meglio dire al plurale "le equazioni di Einstein sono") :

        $R_{ij} - 1/2 R g_{ij} = {8 \pi G} / c^4 T_{ij}$ con $i,j = 0,1,2,3$,

dove :

        $g_{ij}$ è il tensore metrico,

        $R_{ij} = {del \Gamma _{ij}^l}/{del x^l} - {del \Gamma _{il}^l}/{del x^j} + \Gamma _{ij}^l \Gamma_{lm}^m - \Gamma _{il}^m \Gamma_{jm}^l$ è il tensore di Ricci, 

        $\Gamma _{jk}^i = 1/2 g^{im} ({del g_{mj}}/{del x^k} + {del g_{mk}}/{del x^j} - {del g_{jk}}/{del x^m})$ sono i simboli di Christoffel,

        $R = g^{ij} R_{ij}$ è la curvatura scalare,

        $T_{ij}$ è il tensore energia impulso della materia che per i nostri scopi vale $T_{ij} = (p + \epsilon) u_i u_j - p g_{ij}$, essendo $p$ la pressione, $\epsilon = \mu c^2$ la densità di energia (con $\mu$ densità di materia) e $u_i$ la quadrivelocità,

        $G$ è la costante di gravitazione universale,

        $c$ è la velocità della luce nel vuoto.

Per convenienza, consideriamo la materia rarefatta ($p = 0)$, per cui il tensore della materia risulta :

        $T_{ij} = \epsilon u_i u_j$.

Per tutte le formule vale la convenzione di Einstein secondo la quale le sommatorie sono sottintese per tutti gli indici ripetuti.

Nel nostro caso ci limitiamo alle sole coordinate $x^0, x^1$ per cui le equazioni di Einstein si riducono a quattro. Tali equazioni sono del secondo ordine.

Il metodo calcola "passo passo" il tensore metrico $g_{ij}$, la densità di materia $\mu$, la quadrivelocità $u_i$ (tutte funzioni di  $x^0, x^1$) partendo da opportune condizioni iniziali.

02 - Formule di approssimazione delle derivate.

Poiché le equazioni di Einstein sono del secondo ordine, occorre definire opportune formule di approssimazione delle derivate parziali prime e seconde.

Consideriamo la funzione sufficientemente regolare $f(x , y)$ ed il grafico :

       

Le formule di approssimazione delle derivate che utilizzeremo sono :

        ${del f}/{del x} (x , y) ~= {f(x + h , y) - f(x , y)}/ h$

        ${del f}/{del y} (x , y) ~= {f(x , y + h) - f(x , y)}/ h$

        ${del^2 f}/{del x^2} (x,y)  ~= {{f(x + 2h , y) - f(x + h , y)}/ h - {f(x + h , y) - f(x , y)}/ h}/{h} =$

        $= {f(x + 2h , y) - 2 f(x + h , y) + f(x , y)}/{h^2}$

        ${del^2 f}/{del x del y} (x,y)  ~= {{f(x + h , y + h) - f(x + h , y)}/ h - {f(x , y + h) - f(x , y)}/ h}/{h} =$

        $= {f(x + h , y + h) - f(x + h , y) - f(x , y + h) + f(x , y)}/{h^2}$

        ${del^2 f}/{del y del x} (x,y)  ~= {{f(x + h , y + h) - f(x , y + h)}/ h - {f(x + h , y) - f(x , y)}/ h}/{h} =$

        $= {f(x + h , y + h) - f(x , y + h) - f(x + h , y) + f(x , y)}/{h^2}$

        (${del^2 f}/{del x del y} (x,y) = {del^2 f}/{del y del x} (x,y)$)

        ${del^2 f}/{del y^2} (x,y)  ~= {{f(x , y + 2h) - f(x , y + h)}/ h - {f(x , y + h) - f(x , y)}/ h}/{h} =$

        $= {f(x , y + 2h) - 2 f(x , y + h) + f(x , y)}/{h^2}$.

Le formule sono giustificate considerando lo sviluppo di Taylor :

        $f(x + h , x + k) = f(x , y) + h {del f}/{del x} (x , y) + k {del f}/{del y} (x , y) + 1/2 (h^2 {del^2 f}/{del x^2} (x , y) + 2 h k {del^2 f}/{del x del y} (x , y) + k^2 {del^2 f}/{del y^2} (x , y)) + ...$.

Le approssimazioni sono tanto migliori quanto più $h$ è prossimo a $0$.

03 - Determinazione delle funzioni indipendenti (incognite del problema).

Poiché i tensori $g_{ij}$, $R_{ij}$ e $T_{ij}$ sono simmetrici, il sistema delle equazioni di Einstein da prendere in considerazione è :

        ${(R_{00} - 1/2 R g_{00} - \alpha T_{00} = 0), (R_{01} - 1/2 R g_{01} - \alpha T_{01} = 0), (R_{11} - 1/2 R g_{11} - \alpha T_{11} = 0) :}$,        (1) 

avendo posto $\alpha = {8 \pi G} /{c^4}$.

Le funzioni coinvolte sono :

        $g_{00} (x^0 , x^1)$

        $g_{01} (x^0 , x^1)$

        $g_{11} (x^0 , x^1)$

        $u_0 (x^0 , x^1)$

        $u_1 (x^0 , x^1)$

        $\mu (x^0 , x^1)$.

Il sistema appare allora sovradimensionato nel numero di incognite.

Vediamo ora come in realtà le funzioni incognite indipendenti sono solo tre per cui il sistema è in effetti bilanciato. 

Secondo i principi del calcolo tensoriale, dato un qualsiasi tensore metrico $g_{ij}$ di una varietà, ogni altro può essere ottenuto con una trasformazione di coordinate.

Consideriamo allora il tensore metrico $g_{ij}$ definito nelle coordinate $(x^0, x^1)$ e la trasformazione di coordinate :

        ${(bar x^0 = bar x^0(x^0, x^1)), (bar x^1 = bar x^1(x^0, x^1)):}$.

Nelle nuove coordinate $(bar x^0, bar x^1)$ il tensore metrico trasformato $bar g_{ij}$ è definito in modo da soddisfare la nota legge di trasformazione :

        $g_{ij} = {del bar x^l}/{del x^i} {del bar x^m}/{del x^j} bar g_{lm}$

(le sommatorie sugli indici ripetute sono, come sempre, implicite).

Questa legge costituisce un sistema di tre equazioni indipendenti (il tensore metrico è simmetrico). 

Se ora, per esempio, consideriamo le funzioni $g_{00}$, $g_{01} = g_{10}$, $g_{11}$,  $bar g_{01} = bar g_{10}$ e $bar g_{11}$ assegnate a priori, il sistema può essere risolto in generale nelle tre funzioni incognite $bar g_{00}$, $bar x^0$ e $bar x^1$.

Questo importante fatto significa che, in effetti, (in due dimensioni) una sola componente del tensore metrico effettivamente caratterizza la metrica ! 

Considereremo quindi la funzione $g_{00}$ (ma potremmo scegliere qualsiasi altra componente del tensore metrico) come la reale componente incognita del tensore metrico nell'equazione di Einstein (in due dimensioni), le altre due le assegneremo arbitrariamente.

Per quanto riguarda le quadrivelocità, vale la relazione :

        $u_i u^i = 1.

Questo significa che se scegliamo per esempio $u_0$ come funzione indipendente, di conseguenza $u_1$ sarà determinata dalla relazione :

        $g^{00} u_0 u_0 + g^{01} u_0 u_1 + g^{10} u_1 u_0 + g^{11} u_1 u_1 = 1$.

Le funzioni incognite del nostro modello sono quindi :

        $g_{00} (x^0 , x^1)$

        $u_0 (x^0 , x^1)$

        $\mu (x^0 , x^1)$.

Le altre funzioni $g_{01} (x^0 , x^1)$, $g_{11} (x^0 , x^1)$ sono assegnate liberamente.

04 - Il modello.

Il sistema (1) è un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali del secondo ordine. 

Esplicitiamo per questo le derivate seconde presenti nel tensore di Ricci.

Si ha :

        $R_{ij} =$

        $= 1/2 {del g^{lm}}/{del x^l} ({del g_{mi}}/{del x^j} + {del g_{mj}}/{del x^i} - {del g_{ij}}/{del x^m}) +$

        $+ 1/2 g^{lm} ({del^2 g_{mi}}/{del x^l del x^j} + {del^2 g_{mj}}/{del x^l del x^i} - {del^2 g_{ij}}/{del x^l del x^m}) +

        $- 1/2 {del g^{lm}}/{del x^j} ({del g_{mi}}/{del x^l} + {del g_{ml}}/{del x^i} - {del g_{il}}/{del x^m}) +$

        $- 1/2 g^{lm} ({del^2 g_{mi}}/{del x^j del x^l} + {del^2 g_{ml}}/{del x^j del x^i} - {del^2 g_{il}}/{del x^j del x^m}) +

        $+ \Gamma _{ij}^l \Gamma_{lm}^m - \Gamma _{il}^m \Gamma_{jm}^l$.

Tenendo presente che :

        $g^{ij) =  [(g_{11} / {g_{00} g_{11} - g_{01} g_{10}}, {-g_{01}} / {g_{00} g_{11} - g_{01} g_{10}}), ({-g_{10}} / {g_{00} g_{11} - g_{01} g_{10}}, g_{00} / {g_{00} g_{11} - g_{01} g_{10}})]$,

il sistema (1), per quanto fin qui affermato, può essere scritto simbolicamente nel seguente modo :

        ${(F(g00, g00 \_ 0, g00 \_ 1, g00 \_ 00, g00 \_ 01, g00 \_ 11, g01, ..., g11, ...) - \beta \mu u_0 u_0 = 0), (G(g00, g00 \_ 0, g00 \_ 1, g00 \_ 00, g00 \_ 01, g00 \_ 11, g01, ..., g11, ...) - \beta \mu u_0 u_1 = 0), (H(g00, g00 \_ 0, g00 \_ 1, g00 \_ 00, g00 \_ 01, g00 \_ 11, g01, ..., g11, ...) - \beta \mu u_1 u_1 = 0) :}$,        (2) 

dove :

        $g00 = g_{00}$

        $g00 \_ 0 = {del g_{00}}/{del x^0}$ 

        $g00 \_ 1 = {del g_{00}}/{del x^1}$ 

        $g00 \_ 00 = {del^2 g_{00}}/{del x^0 del x^0}$ 

        $g00 \_ 01 = {del^2 g_{00}}/{del x^0 del x^1}$ 

        $g00 \_ 11 = {del^2 g_{00}}/{del x^1 del x^1}$ 

        ... ... ...

        $\beta = \alpha c^2 = {8 \pi G} /{c^2}$.

Naturalmente, se $F = 0$, $G =  0$, $H = 0$, si deve avere $\mu  u_i u_j = 0$.

Passiamo ora all'approssimazione numerica considerando che, come già visto, la componente del tensore metrico incognita che dovremo ricavare è $g_{00}$ (assieme a $\mu, u_0, u_1$) mentre le $g_{01}, g_{11}$ sono assegnate.

Osservando il grafico :

       

poniamo le seguenti condizioni iniziali :

        $g_{00}(x_0^0, x_0^1) = \phi(x_0^0, x_0^1), g_{00}(x_1^0, x_0^1) = \phi(x_1^0, x_0^1), ...$

        $g_{00}(x_0^0, x_1^1) = \phi(x_0^0, x_1^1), g_{00}(x_1^0, x_1^1) = \phi(x_1^0, x_1^1), ...$

        $g_{00}(x_0^0, x_2^1) = \phi(x_0^0, x_2^1), g_{00}(x_1^0, x_2^1) = \phi(x_1^0, x_2^1), ...$

        ... ... ...

dove la funzione $\phi(x^0, x^1)$ (sufficientemente regolare) è assegnata.

Tali condizioni iniziali non sono le uniche possibili. Si possono per esempio scegliere in alternativa le prime (dal basso) due righe orizzontali del suddetto grafico. La scelta delle opportune condizioni iniziali dipende dai casi.

Calcoliamo ora il sistema (2) nel punto $(x_0^0, x_0^1)$ utilizzando le formule di approssimazione delle derivate mostrate sopra.

E' immediato notare che $g_{00}(x_0^0 + 2h, x_0^1)$ è l'unico valore incognito (assieme a $\mu, u_0, u_1$) :

       

Ponendo :

        $V = g_{00}(x_0^0 + 2h, x_0^1)$

il sistema (2) diventa in $(x_0^0, x_0^1)$ :

        ${(F(V) - \beta \mu u_0 u_0 = 0), (G(V) - \beta \mu u_0 u_1 = 0), (H(V) - \beta \mu u_1 u_1 = 0) :}$,        (3) 

dove le incognite sono $V, \mu, u_0, u_1$.

Poiché vale $u_i u^i = 1$, cioè $g^{00} u_0 u_0 + g^{01} u_0 u_1 + g^{10} u_1 u_0 + g^{11} u_1 u_1 = 1$, scriviamo infine in $(x_0^0, x_0^1)$ il sistema :

        ${(F(V) - \beta \mu u_0 u_0 = 0), (G(V) - \beta \mu u_0 u_1 = 0), (H(V) - \beta \mu u_1 u_1 = 0), (g^{00} u_0 u_0 + g^{01} u_0 u_1 + g^{10} u_1 u_0 + g^{11} u_1 u_1 = 1) :}$.        (4) 

Questo sistema, come vedremo a breve, è di facile approssimazione.

Il processo che ci fa ottenere $V, \mu, u_0, u_1$ in $(x_0^0, x_0^1)$ può essere iterato nel seguente modo :

       

       

        ... ... ...

Per il completamento del modello rimane a questo punto solo l'approssimazione del sistema (4).

Dalla prima e dalla seconda equazione si ricava :

        $\mu = {F(V)} / {\beta u_0 u_0}$

        $\mu = {G(V)} / {\beta u_0 u_1}$

da cui si ottiene :

        $u_1 = {G(V)}/{F(V)} u_0$.

Dalla terza equazione, sostituendo, si ricava :

        $H(V) = \beta \mu u_1 u_1 = \beta \mu {G^2(V)}/{F^2(V)} u_0 u_0 = \beta {F(V)} / {\beta u_0 u_0} {G^2(V)}/{F^2(V)} u_0 u_0 = {G^2(V)}/{F(V)}$

ovvero :

        $F(V) H(V) - G^2(V) = 0$.        (5)

Questa equazione produce agevolmente (col metodo di Newton) un'approssimazione di $V$.

Di conseguenza, da $u_1 = {G(V)}/{F(V)} u_0$ e $g^{00} u_0 u_0 + g^{01} u_0 u_1 + g^{10} u_1 u_0 + g^{11} u_1 u_1 = 1$, si ricava :

        $g^{00} u_0 u_0 + 2 g^{01} {G(V)}/{F(V)} u_0 u_0 + g^{11} {G^2(V)}/{F^2(V)} u_0 u_0 = 1$

da cui :

        $u_0 = +- 1 / sqrt(g^{00} + 2 g^{01} {G(V)}/{F(V)} + g^{11} {G^2(V)}/{F^2(V)})$

(le $g^{ij}$ sono calcolate in $(x_0^0, x_0^1)$).

Infine, da $\mu = {F(V)} / {\beta u_0 u_0}$ si ricava :

        $\mu = {g^{00} F^2(V) + 2 g^{01} F(V) G(V) + g^{11} G^2(V)}/{\beta F(V)}$.

Riassumendo, in $(x_0^0, x_0^1)$, si ha :

        ${(V = V), (\mu = {g^{00} F^2(V) + 2 g^{01} F(V) G(V) + g^{11} G^2(V)}/{\beta F(V)}), (u_0 =  +- 1 / sqrt(g^{00} + 2 g^{01} {G(V)}/{F(V)} + g^{11} {G^2(V)}/{F^2(V)})), (u_1 =  +- {G(V)} / {F(V) sqrt(g^{00} + 2 g^{01} {G(V)}/{F(V)} + g^{11} {G^2(V)}/{F^2(V)})}) :}$.        (6)

05 - Il programma. 

A causa della complessità delle funzioni $F$, $G$, $H$, i tempi macchina necessari per l'elaborazione del metodo risultano assai elevati. Per questo ci limitiamo a presentare il programma in PHP  eqeinstein  senza darne la possibilità di utilizzo in linea.

Il programma in questione approssima l'equazione di Einstein per il tensore metrico :

        $g_{ij} = [(g_{00}, 0), (0, -1)]$.

Per un tale tensore metrico è facile rendersi conto (per esempio utilizzando il programma  Tensori ) che il relativo tensore di Einstein $R_{ij} - 1/2 R g_{ij$ non dipende da $g00 \_ 00$.

Per questo motivo, il programma esegue la seguente iterazione :

       

Il programma fornisce in definitiva una visualizzazione di $\mu$ per diverse tonalità di rosso (più chiaro, maggiore valore).

Fine.

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