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Miscellanea

Le geodetiche del cono

Le geodetiche del cono sono molto interessanti e la loro trattazione può risultare "educativa" per chi si avvicina alla geometria differenziale.

Consideriamo il seguente cono (ad una sola falda) di apertura $2 \alpha$, essendo $0 < \alpha < \pi / 2$:

       

Ai tratta di una superficie di rotazione (o di rivoluzione che dir si voglia). Una trattazione completa (finalizzata allo studio delle geodetiche) delle superfici di rotazione è disponibile alla pagina  ../../Esercizi/EserciziRiemann/G226Esercizio.htm .

Qui procediamo presentando ex novo presentando due parametrizzazioni.

01 - Parametrizzazione come superficie di rotazione.

Osservando la figura:

       

è naturale introdurre la parametrizzazione (ponendo per convenienza $k = tan \alpha$):

        $x: (u, v) -> ((\xi_1), (\xi_2), (\xi_3)) = ((k v cos u), (k v sin u), (v))$ con $0< u < 2 \pi$ e $v > 0$.

I vettori tangenti alle linee coordinate sono:

        $x_u = {del x} / {del u} = ((-k v sin u), (k v cos u), (0))$

        $x_v = {del x} / {del v} = ((k cos u), (k sin u), (1))$.

       

Il tensore metrico $g_{ij}$ è dato da:

        $g_{11} = <x_u, x_u> = <((-k v sin u), (k v cos u), (0)), ((-k v sin u), (k v cos u), (0))> = k^2 v^2$

        $g_{12} = g_{21} = <x_u, x_v> = <((-k v sin u), (k v cos u), (0)), ((k cos u), (k sin u), (1))> = 0$

        $g_{22} = <x_v, x_v> = < ((k cos u), (k sin u), (1)), ((k cos u), (k sin u), (1))> = k^2 + 1$,

ovvero:

        $(g_{ij}) = [(k^2 v^2, 0), (0, k^2 + 1)]$.

I simboli di Christoffel del cono nella presente parametrizzazione sono dati da:

        $\Gamma _{ij}^m = 1/2 sum _{k=1} ^2 {del / {del x_i} g_{jk} + del / {del x_j} g_{ki} - del / {del x_k} g_{ij}} g^{km}$ con $m, i, j = 1,2$ e con $x_1 = u, x_2 = v$.

Con un calcolo diretto, usando il programma  http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Tensori/tensori.htm  , si ottiene:

        $\Gamma _{11}^1 = 0$

        $\Gamma _{12}^1 = \Gamma _{21}^1 = 1 / v$

        $\Gamma _{22}^1 = 0$

        $\Gamma _{11}^2 = - {k^2 v} / {k^2 + 1}$

        $\Gamma _{12}^2 = \Gamma _{21}^2 = 0$

        $\Gamma _{22}^2 = 0$.

L'equazione generale delle geodetiche è:

        ${d^2 x_k} / {dt^2} + sum _{i,j = 1} ^2 \Gamma _{ij} ^k {dx_i}/{dt} {dx_j}/{dt} = 0$ con  $k = 1,2$ e con $x_1 = u, x_2 = v$

che, tramite i simboli di Christoffel scritti sopra, fornisce:

        ${(ddot u + 2/v dot u dot v = 0 ), (ddot v - {k^2 v}/{k^2 + 1} dot u^2 = 0):}$,

dove i punti indicano le derivate rispetto a $t$.

Queste sono le equazioni delle geodetiche di un cono nella presente parametrizzazione.

Dalla prima equazione, si ricava:

       $ddot u / dot u = - 2 dot v / v$

che, ponendo $dot u > 0 , v > 0$ (peraltro, la seconda già soddisfatta), dà:

        $ln dot u = -2 ln v + c_1$

e:

        $dot u = e^{-2 ln v} e^{c_1}$

e:

        $dot u = c_2 / v^2$,

dove $c_1, c_2$ sono costanti.

Sostituendo questa espressione nella seconda equazione differenziale, si ricava:

        $ddot v = {k^2}/{k^2 + 1} c_2^2 / v^3$

ovvero:

        $ddot v v^3 = c_3$,

dove $c_3$ è una costante.

La $ddot v v^3 = c_3$ può essere integrata (almeno in linea di principio) fornendo $v(t)$ che, sostituita nella $dot u = c_2 / v^2$, ci fa (sempre in linea di principio) ottenere anche $u(t)$.

Abbiamo fin qui indicato il procedimento per il calcolo analitico (nella presente parametrizzazione) delle geodetiche del cono. Il problema è che, fino a prova contraria, la $ddot v v^3 = c_3$ non è integrabile analiticamente, pur essendolo facilmente per via numerica (approssimata).

Per ottenere una soluzione analitica del problema dovremo cambiare parametrizzazione e lo faremo nel paragrafo 02. Prima, però, possiamo qui ottenere fondamentali proprietà delle geodetiche del cono tramite la relazione di Clairaut (valida per le superfici di rotazione), relazione che ricostruiremo per l'occasione.

Consideriamo una geodetica del cono $g: t -> ((\xi_1(u(t), v(t))), (\xi_2(u(t), v(t))), (\xi_3(u(t), v(t))))$ corrispondente alla curva $t -> (u(t), v(t))$ nel sistema di coordinate locali. Il vettore tangente $dot g$ della geodetica (in $RR^3$) è $dot g = dot u x_u + dot v x_v$.

       

Valutiamo ora l'angolo $\beta$ fra i vettori $dot g$ e $x_u$.

       

Si ha:

        $<dot g, x_u> = ||dot g|| * ||x_u|| * cos \beta$

che, tenendo presente il fatto che per una geodetica il vettore tangente (in $RR^3$) ha sempre norma costante, diventa:

        $<dot u x_u + dot v x_v, x_u> = c_4 ||x_u|| cos \beta$ (con $c_4$ costante)

e:

        $dot u <x_u, x_u>  + dot v <x_v, x_u> = c_4 ||x_u|| cos \beta$

e:

        $dot u < x_u, x_u>  = c_4 ||x_u|| cos \beta$

e:

        $dot u k^2 v^2  = c_4 k v cos \beta$

e:

        $dot u k v  = c_4 cos \beta$.

Ricordando che $dot u = c_2 / v^2$, si ottiene:

        $c_2 / v^2 k v  = c_4 cos \beta$

e:

        $c_2 / v k = c_4 cos \beta$

e:

        $v cos \beta = c_5$ (con $c_5$ costante).

Siccome $k$ è costante, possiamo scrivere:

        $k v cos \beta = c_6$ (con $c_6$ costante).

Il termine $k v$ è il raggio $r$ della linea coordinata $v = \c\o\s\t\a\n\t\e$.

       

Allora, la precedente relazione (detta relazione di Clairaut) può essere scritta come:

        $r * cos \beta = \c\o\s\t\a\n\t\e$.

Questa relazione ci fornisce informazioni fondamentali sul comportamento delle geodetiche del cono. 

Consideriamo una geodetica che passi per il punto $P$ (come indicato nella precedente figura) e formi con $x_u$ un angolo $\beta >= 0$. Allora, percorrendo la geodetica in modo che $r$ diminuisca, il valore $cos \beta$ dovrà crescere e quindi l'angolo $\beta$ dovrà diminuire fino ad annullarsi in corrispondenza di un valore minimo di $r$, che chiameremo $r_0$ e che possiamo supporre, senza perdere in generalità, in corrispondenza di $u = 0$.

       

Per simmetria, poi, sempre proseguendo, la geodetica comincerà a "salire" sul cono (da parte opposta) percorrendo una traiettoria simmetrica rispetto al piano $\xi_1 \xi_3$ (perché il valore $r_0$ lo abbiamo posto in corrispondenza di $u = 0$).

Questo è un punto cruciale:

        ogni geodetica del cono ha un punto, che chiameremo "di minimo", che è in corrispondenza del minimo valore di $r$ (che chiamiamo $r_0$) per quella geodetica.

Inoltre, lo ripetiamo, ogni geodetica presenta un piano di simmetria (che, per le precedenti posizioni, possiamo supporre essere il piano $\xi_1 \xi_3$).

Per questo, se ci poniamo sul punto di minimo e lo consideriamo come una sorta di "punto di partenza", da esso scaturiscono due linee geodetiche (simmetriche rispetto al suddetto piano) che risalgono il cono da parti opposte. Chiamiamo tale punto con $P_0$ corrispondente a $u = 0, v = v_0$ (sempre ponendo come piano di simmetria il piano $\xi_1 \xi_3$).

La relazione di Clairaut ci indica anche che, per $r -> oo$, si deve avere $cos \beta -> 0$ ovvero $\beta -> \pi / 2$. Questo significa che ogni geodetica, salendo lungo il cono, tende a coincidere asintoticamente con la retta generatrice corrispondente ad un certo $u = \c\o\s\t\a\n\t\e$.

A questo punto sorgono spontanee molte domande alle quali, non disponendo qui di soluzioni analitiche per le geodetiche, non potremmo rispondere. Fra queste appare particolarmente interessante la questione di quanti "avvitamenti" una geodetica, partendo da $P_0$, subisca.

Per potere proseguire nello studio quantitativo delle geodetiche del cono e nel cercare di rispondere alla questione degli avvitamenti, dobbiamo scegliere una più conveniente parametrizzazione

02 - Parametrizzazione cartesiana.

Consideriamo il cono:

       

Se lo "tagliamo" lungo una generatrice, per esempio quella con $\phi = 0$, e lo "apriamo", otteniamo un settore circolare le cui caratteristiche sono mostrate in figura. 

       

         (proporzioni non rispettate) (non vi è ambiguità nell'uso di stesse lettere per indicare punti corrispondenti del cono e del settore)

L'angolo di apertura del settore circolare vale:

        $\gamma = {2 \pi * tan \alpha * z} / {z / cos \alpha} = 2 \pi sin \alpha$

mentre l'angolo che sottende l'arco $AP$ vale:

        $\delta = {\phi * tan \alpha * z} / {z / cos \alpha} = \phi sin \alpha$

Il settore circolare in questione, ottenuto tagliando il cono, è una figura piana. Questo significa che le sue geodetiche sono dei segmenti di retta (all'interno del settore). Questo è esattamente ciò che cercavamo e che ci permetterà di trovare soluzioni analitiche al problema.

La parametrizzazione che deriva dalle posizioni fatte è la seguente (per il punto $P$).

Poiché:

        $P: {(u = z / cos \alpha cos(\phi sin alpha)), (v = z / cos \alpha sin(\phi sin alpha)):}$

si ricava:

        ${(z = cos \alpha sqrt(u^2 + v^2)), (tan(\phi sin\alpha) = v/u):}$

e, se $0 < \gamma < \pi / 2$ (condizione non troppo restrittiva, per quanto mostreremo in seguito circa il problema dell'avvitamento):

        ${(z = cos \alpha sqrt(u^2 + v^2)), (\phi = 1 / sin \alpha arctan(v/u)):}$.

A questo punto, utilizzando le formule del paragrafo 01 e tenendo sempre presente la condizione $0 < \gamma < \pi / 2$, la parametrizzazione del cono cercata è:

        $x: {(\xi_1 = sin \alpha * sqrt(u^2 + v^2) * cos(1 / sin \alpha arctan(v/u))), (\xi_2 = sin \alpha * sqrt(u^2 + v^2) * sin(1 / sin \alpha arctan(v/u))), (\xi_3 = cos \alpha * sqrt(u^2 + v^2)):}$.

Da essa, con un calcolo non troppo complicato, si ottengono i vettori tangenti alle linee coordinate:

        $x_u = {del x} / {del u} = ((1 / sqrt(u^2 + v^2) [sin \alpha * u * cos(1 / {sin \alpha} arctan (v / u)) + v * sin (1 / {sin \alpha} arctan (v / u))]), (1 / sqrt(u^2 + v^2) [sin \alpha * u * sin(1 / {sin \alpha} arctan (v / u)) - v * cos (1 / {sin \alpha} arctan (v / u))]), (cos \alpha u / sqrt(u^2 + v^2)))$

        $x_v = {del x} / {del v} = ((1 / sqrt(u^2 + v^2) [sin \alpha * v * cos(1 / {sin \alpha} arctan (v / u)) - u * sin (1 / {sin \alpha} arctan (v / u))]), (1 / sqrt(u^2 + v^2) [sin \alpha * v * sin(1 / {sin \alpha} arctan (v / u)) + u * cos (1 / {sin \alpha} arctan (v / u))]), (cos \alpha v / sqrt(u^2 + v^2)))$.

Il tensore metrico $g_{ij}$ corrispondente, dopo un breve calcolo, risulta:

        $g_{11} = <x_u, x_u> = 1$

        $g_{12} = g_{21} = <x_u, x_v> = 0$

        $g_{22} = <x_v, x_v> = 1$,

ovvero:

        $(g_{ij}) = [(1, 0), (0, 1)]$

che è, come ci aspettavamo, un tensore euclideo.

Le geodetiche (nelle coordinate locali), in questo caso, ovviamente, sono le rette:

        ${(u = a_1 t + a_2), (v = a_3 t + a_4):}$,

dove $a_1, a_2, a_3, a_4$ sono i valori iniziali del problema.

       

03 - Avvitamenti di una geodetica.

Per studiare gli avvitamenti di una geodetica, immaginiamo di tagliare il cono lungo la generatrice che passa per il punto di minimo $P_0$ della geodetica. In questo modo, sul piano $(u, v)$, si ha la seguente rappresentazione (nella più interessante situazione $0 < \gamma < \pi / 2$):

        

Il tratto di geodetica $P_0P_1$ rappresenta il primo avvitamento in quanto $P_1$ si trova effettivamente sulla stessa generatrice (quella lungo la quale abbiamo tagliato il cono) in cui si trova $P_0$.

Quanti avvitamenti compie allora la geodetica nel caso in cui $0 < \gamma < \pi / 2$ ? Quand'è che la geodetica non compie alcun avvitamento (completo) ?

Se $\gamma >= \pi / 2$ la geodetica evidentemente non compie alcun avvitamento. Siccome $\gamma = 2 \pi sin \alpha$, la condizione di non avvitamento equivale a:

        $sin \alpha >= 1 / 4$,

con $0 < \alpha < \pi / 2$.

Negli altri casi, gli avvitamenti sono rappresentati dal seguente grafico:

       

        (nell'esempio, $4$ avvitamenti)

La condizione perché avvengano $n$ avvitamenti completi è:

        $n \gamma < \pi / 2$, con $n = 1, 2, ...$

Siccome $\gamma = 2 \pi sin \alpha$, avremo:

        $n sin \alpha < 1/4$.

con $0 < \alpha < \pi / 2$.

Graficamente (per $2$ avvitamenti):

       

Usando l'istruzione del linguaggio PHP che restituisce il primo intero più piccolo di un numero dato, la formula che fornisce direttamente il numero degli avvitamenti è:

        $n = \F\L\O\O\R(1 / {4 sin \alpha})$.

04 - Angolo di avvitamento.

Calcoliamo infine l'angolo di avvitamento di una geodetica (che, come sopra, facciamo partire dal suo punto di minimo $P_0$ corrispondente al valore $u_0$ (nella parametrizzazione cartesiana)).

       

La geodetica in figura ha equazione:

        ${(u = u_0), (v = a t):}$,

dove $a$ è una costante positiva.

Noi sappiamo che $v / u = tan(\phi sin\alpha)$ per cui avremo per la suddetta geodetica:

        ${a t} / u_0 = tan(\phi sin\alpha)$.

Se $t -> oo$, poiché $a / u_0 >0$, avremo $\phi sin\alpha -> \pi / 2$, ovvero:

        $\phi  -> \pi / {2 sin\alpha}$ (con $0 < \alpha < \pi /2$).

L'angolo di avvitamento di una geodetica (a partire dal suo punto di minimo) è quindi $\pi / {2 sin\alpha}$. Tale angolo caratterizza il comportamento asintotico di cui abbiamo parlato al paragrafo 01.

Se $\phi = 2 \pi$, si ha un solo giro completo (almeno asintoticamente parlando). Tale situazione si presenta se $sin \alpha = 1/4$, come è giusto che sia.

L'angolo $\alpha = arcsin (1/4)$ rappresenta quindi l'angolo limite per gli avvitamenti. Se $\alpha > arcsin (1/4)$, allora non si hanno avvitamenti completi. Se $\alpha < arcsin (1/4)$, allora si hanno avvitamenti completi.

Alcuni esempi grafici (ottenuti con il programma  http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Superficie/superficie.htm ):

           

       

Infine, vogliamo notare che la proprietà di avvitamento di una geodetica del cono dipende solo dall'angolo $\alpha$ che caratterizza il cono. Tale proprietà la possiamo perciò definire "globale" in quanto non dipendente dalla posizione del punto di minimo della geodetica.

Fine.

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