E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Effetto Doppler spiegato con Galileo e Lorentz

Siano , , due sistemi di riferimento inerziali di cui il secondo si muove rispetto al primo con velocità uniforme    come indicato nel grafico :  

       

Un segnale periodico si muove con velocità    rispetto a  . Per semplicità consideriamolo descritto dalla funzione (rispetto a  ) :

        .

Si tratta di un'onda monocromatica piana che avanza (rispetto a  ) con velocità  , pulsazione  , periodo  ,  frequenza  e lunghezza d'onda  .

Come sarà visto, questo segnale, muoversi rispetto a  ?

La risposta dipende dal tipo di trasformazione che lega le coordinate spazio-temporali di  rispetto a quelle di .

01 - Effetto Doppler classico.

Classicamente, le trasformazioni che legano  e  sono le trasformazioni di Galileo :

        .

Sostituendo, si ricava :

        .

Rispetto a  , questo è un segnale che si propaga con velocità :

         

e periodo :

        .

Questa formula vale, in linea di principio, per ogni tipo di segnale periodico. Bisogna però tenere presente che per le onde elettromagnetiche le trasformazioni di Galileo non valgono. La formula appena trovata vale in particolare per le onde acustiche.

Per le onde elettromagnetiche valgono le trasformazioni di Lorentz che sono alla base della teoria della relatività ristretta.

02 - Effetto Doppler relativistico.

Ci limitiamo al caso del segnale elettromagnetico per cui    è la velocità della luce (nel vuoto).

Relativisticamente (secondo la teoria della relatività ristretta), le trasformazioni che legano  e  sono le trasformazioni di Lorentz :

        .

Sostituendo in  , si ricava :

        .

Rispetto a  , questo è un segnale che si propaga con velocità :

         

e periodo :

          .

03 - Limite  .

E' interessante calcolare come si trasformano le due formule che danno il periodo nei due casi (classico e relativistico) quando si fa il limite :

        .

Le due formule dovranno fornire gli stessi valori in quanto per    la meccanica relativistica tende alla meccanica classica.

Infatti, sviluppando in serie ti Taylor rispetto a  , si ricava immediatamente :

       

        .

Fine.

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