E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Rotazione in R³ 

Definiamo una rotazione in    utilizzando una sfera ed un po' di geometria differenziale ...

Data la sfera di equazione parametrica :

       

con :

       

        .

Sia    un punto sulla superficie corrispondente a  .

Siano :

       

        .

Siano, con origine in  :

       

           (essendo  )

        .

Graficamente :

       

        (intensità vettori non in scala)

La terna     costituisce un sistema ortonormale di  .

Tali vettori possono essere espressi anche da :

       

dove    è il sistema ortonormale canonico di  .

Introduciamo ora con origine in    la terna ortonormale   definita da :

        .

Si tratta evidentemente di una terna ruotata dell'angolo    rispetto alla terna    facendo coincidere    con  .

Graficamente :

         

        (intensità vettori non in scala)

La terna    è un sistema ortonormale di    e risulta essere una rotazione "libera" di  .

Le equazioni che danno    , le riscriviamo, sono :

       

e :

        .

Ogni rotazione in     è così individuata dalle "coordinate" :

        .

Fine.

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