E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Il problema classico dei tre corpi  

Un sistema meccanico classico costituito da    punti materiali (particelle) isolato dall'esterno e tale per cui le interazioni fra le particelle dipendano solo dalla posizione delle particelle rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (più esattamente dalle reciproche distanze fra le particelle), è descritto dalla lagrangiana :

         

dove    sono le masse delle particelle,     i moduli delle velocità delle particelle,    i raggi vettori delle particelle, il termine     è l'energia cinetica del sistema ed    è l'energia potenziale del sistema (i vettori sono indicati in grassetto ed il "puntino" rappresenta la derivata prima rispetto al tempo).

Le equazioni di Lagrange :

       

forniscono le equazioni del moto (di Newton) :

          .

Se poniamo :

          ,

le    sono le forze che agiscono sulle particelle corrispondenti.

Le equazioni del moto diventano allora :

       

dove le    sono le accelerazioni delle particelle ( ).

Le equazioni del moto :

       

costituiscono un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine che può essere risolto analiticamente solo in pochi casi.

Nel caso che l'interazione fra le particelle sia di tipo gravitazionale newtoniano  definita dalla formula :

        ,

le equazioni del moto sono risolubili analiticamente solo per due particelle. Se le particelle sono in numero maggiore od uguale a tre , le equazioni non sono (fino a prova contraria) risolubili analiticamente.

Si deve allora ricorrere a tecniche numeriche di approssimazione.

In questa pagina mostreremo come sia possibile approssimare le soluzioni delle equazioni del moto per tre particelle classiche in interazione gravitazionale newtoniana : il cosiddetto problema classico dei tre corpi

Analogamente sarà possibile approssimare le equazioni del moto nel caso di interazione elettrostatica coulombiana (per 3 particelle cariche).

01 - Equazioni del moto per i tre corpi.

Il seguente grafico descrive direttamente il sistema dei tre corpi in un dato istante del tempo :

       

I vettori    sono i raggi vettore delle particelle in quel dato istante e   sono le loro velocità sempre in quell'istante. Le forze sono indicate con indici che ne facilitano l'individuazione. Per esempio,   è la forza che agisce su    prodotta dall'interazione fra  .

Le equazioni del moto del sistema sono :

         .

Procediamo ora esplicitando le forze.

Abbiamo :

        .

Ora ci serve una formula per esprimere la forza "sentita" dalla particella    prodotta dall'interazione fra le particelle  . Essa è :

       

dove    è il raggio vettore che "parte" dalla particella    ed "arriva" sulla particella  ovvero :

        .

Le equazioni del moto diventano di conseguenza :

       

cioè :

        .

Passiamo ora alle componenti vettoriali. Abbiamo :

       

dove gli indici    indicano le particelle, le lettere    indicano le componenti dei vettori ed abbiamo posto :

        .

Esprimendo le accelerazioni come derivate seconde, avremo infine :

        .

Abbiamo così ottenuto le equazioni del moto del sistema a tre corpi in interazione gravitazionale newtoniana in forma esplicita. Si tratta di un sistema di nove equazioni differenziali del secondo ordine nelle nove funzioni incognite del tempo :

        .

Analogamente si procede per l'interazione coulombiana (che non presenteremo qui).

Procediamo ora mostrando una tecnica numerica di approssimazione delle soluzioni.

02 - Approssimazione numerica.

Il sistema che ci apprestiamo ad approssimare è schematizzabile :

        .

Considerando una sola funzione incognita  , il sistema si riduce alla semplice equazione differenziale del secondo ordine :

       

(nel nostro caso mancano esplicitamente    ed il tempo  ).

Una tale equazione può essere approssimata partendo dalle condizioni iniziali :

         

che corrispondono fisicamente alla conoscenza in un certo istante iniziale    delle posizioni e delle velocità delle particelle (così come pretende la meccanica classica !!!).

Il metodo di approssimazione che abbiamo scelto consiste nel ricavare le grandezze in gioco al tempo    essendo  , dove  è "piccolo", considerando che la derivata prima può essere approssimata dalla formula :

         .

Ricavate le grandezze (approssimate) al tempo  , a partire dai loro valori al tempo  , basta iterare il processo per ottenere i valori a tutti gli istanti successivi.

Naturalmente, l'errore che si introduce ad ogni iterazione viene propagato a quella successiva con un effetto di propagazione, appunto, ed amplificazione dell'errore.

Per tenere l'errore entro valori accettabili, si scelgono valori di    opportunamente piccoli ed un numero di iterazioni non troppo alto.

Si possono introdurre altri controlli tipo, come potrebbe essere fatto nel nostro caso (del problema dei tre corpi), calcolando la traiettoria del centro di massa che, come si sa, deve essere una retta. Se, all'atto dell'applicazione al computer del metodo si riscontra una traiettoria pressoché (entro i limiti grafici) rettilinea, si può essere sicuri che il metodo ha prodotto errori accettabili.

Presentiamo in modo sintetico l'iterazione numerica tramite la seguente tabella :

     dati iniziali : 
     
     steps : 
  1     
  2        
  3     
  4     
     vai a 1 :

Tale routine è realizzata alla pagina :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/ProblemaClassico3Corpi/problemaclassico3c.htm

Fine.

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