E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Moto di un fotone in una varietà einsteiniana  

Chiamiamo varietà einsteiniana una pseudo-varietà riemanniana quadridimensionale descritta dal tensore metrico  che soddisfa l'equazione gravitazionale di Einstein :

dove :

        sono indici (il valore    corrisponde alla coordinata temporale),

          è il tensore di Ricci,

          è la curvatura scalare,

          è la costante gravitazionale di Newton,

          è la velocità della luce,

          è il tensore energia-impulso della materia e

          è la costante cosmologica, recentemente ritornata "in auge" per descrivere l'espansione accelerata dell'universo che risulterebbe dalle ultime misure sperimentali e che sarebbe causata da una ipotetica energia oscura.

La struttura metrica della varietà, descritta dal tensore metrico , è definita essenzialmente dalla distribuzione della materia.

Una varietà einsteiniana è una pseudo-varietà riemanniana perché la metrica :

(dove, seguendo la convenzione di Einstein, sono sottintese le somme sugli indici ripetuti) può avere anche valori negativi o nulli.

Una varietà einsteiniana (pseudo-riemanniana, curva) deve possedere in ogni suo punto uno spazio tangente a metrica minkowskiana (pseudo-euclidea, piatta), cioè deve potersi approssimare con una varietà minkowskiana (detta anche galileiana). Ciò è realizzabile matematicamente tramite coordinate localmente geodetiche e fisicamente tramite un sistema in caduta libera per un breve intervallo di tempo.

La metrica di Minkowski è data da :

dove    è il tempo reale, che ha significato fisico, ovvero il tempo proprio, e    sono coordinate cartesiane ortogonali. La metrica di Minkowski è una metrica pseudo-euclidea e rappresenta fisicamente lo spazio-tempo in assenza di campo gravitazionale.

In una varietà einsteiniana, un punto materiale (che non perturbi il campo gravitazionale e quindi la metrica) si muove seguendo linee geodetiche nella varietà stessa obbedendo al principio di minima azione. 

Le equazioni di tali geodetiche sono :

dove    sono i simboli di Christoffel (sono sempre sottintese le somme sugli indici ripetuti).

01 - Geodetiche nulle.

Il moto di un fotone, invece, non può seguire tali geodetiche (che sono seguite invece dai punti materiali) per il fatto fondamentale che per un fotone, durante il suo moto, vale sempre :

        .

Questo fatto può essere verificato facilmente nello spazio di Minkowski. In tale spazio piatto, un segnale luminoso, "congiunge" due eventi in modo che si ha evidentemente :

per cui se ne deduce che  .

Essendo l'elemento    uno scalare invariante, varrà    anche per ogni varietà einsteiniana.

Un fotone, in una varietà einsteiniana, seguirà quindi linee d'universo tali per cui si abbia sempre  . 

Tali linee sono dette geodetiche nulle.

L'equazione di tali geodetiche nulle sarà allora :

(sommando sugli indici ripetuti).

L'equazione delle geodetiche nulle deve però essere "affiancata" dalla condizione restrittiva fornita dal principio variazionale di Fermat perché si possano "scegliere" le sole geodetiche nulle che hanno reale significato fisico.

Il principio variazionale di Fermat afferma che la luce, "viaggiando" dal punto (spaziale)    al punto (spaziale)  "sceglie" il cammino di minor tempo.

Nell'ambito della relatività generale, tale principio è esprimibile in termini di tempo proprio. Si deve avere perciò :

ovvero una geodetiche nulla che un fotone percorre realmente deve essere tale per cui il tempo proprio complessivo calcolato lungo la geodetica stessa sia minimo.

Il valore dell'intervallo infinitesimo di tempo proprio    in funzione del tensore metrico è ricavabile, considerando l'invarianza dell'elemento   , dalla relazione :

essendo il tempo proprio misurato in un punto spaziale fisso.

Da essa si ricava :

        .

Il principio variazionale a cui i fotoni devono obbedire diventa allora :

        .

Le geodetiche nulle percorse dai fotoni sono in conclusione date da :

(sommando sugli indici ripetuti).

Vediamo ora alcuni esempi.

02 - Metrica di Minkowski.

La metrica piatta di Minkowski è data da :

dove  ,  , , , essendo    il tempo (che qui coincide con il tempo proprio) e    un sistema di coordinate cartesiane ortogonali.

Possiamo anche scrivere :

        .

Evidentemente, per il tensore metrico, si ha :

        , , per   

ovvero, direttamente in forma matriciale :

        .

Si noti la segnatura della matrice e la si confronti con la corrispondente nella metrica euclidea.

Nella metrica di Minkowski l'equazione di una geodetica nulla è :

da cui :

        ,

dove il punto indica la derivata rispetto al tempo, ovvero :

         ,

dove    indica il modulo della velocità del fotone.

Qualunque linea spaziale nel sistema di coordinate  per cui la velocità è uguale in modulo a  è una geodetica nulla della metrica di Minkowski. 

Graficamente :

Le geodetiche nulle effettivamente percorse dai fotoni saranno quelle per cui il tempo, calcolato su dette linee, è minimo.

Si deve perciò avere :

        ,

che fornisce, essendo   :

        ,

dove    è un istante iniziale e    è un istante finale.

D'altra parte, poiché    si ha :

         ,

dove    è la lunghezza spaziale (coordinata curvilinea) della geodetica nulla nel sistema di coordinate  .

Integrando, si ottiene allora :

        ,

dove    è la lunghezza spaziale della geodetica nulla fra i due eventi    ,  .

Tenendo fissi i punti spaziali  , e dovendo essere  , si deve avere che    deve essere minima. Questo si ha, essendo ,  ovviamente per un segmento di retta che congiunge i suddetti punti spaziali. 

Graficamente :

Abbiamo così dimostrato che, in una metrica minkowskiana, un fotone segue traiettorie rettilinee con velocità costante    esattamente come ci aspettavamo.

03 - Metrica di Schwarzschild.

La metrica di Schwarzschild corrisponde al campo gravitazionale prodotto da una massa puntiforme    (in realtà si potrebbe considerare anche una distribuzione di masse a simmetria centrale (dotate di moti anch'essi a simmetria centrale)) è la seguente :

dove :

        , , ,

per cui :

        .

La costante   è il raggio gravitazionale della massa    che corrisponde al raggio del suo orizzonte degli eventi e vale :

        .

La coordinata    corrisponde alla colatitudine e la coordinata    alla longitudine di analoghe coordinate sferiche. La coordinata    corrisponde al modulo del raggio vettore. Naturalmente, trovandoci in una varietà non euclidea, il "riferimento" alle coordinate sferiche è solo a livello di "analogia".

Graficamente :

Consideriamo i seguenti due casi.

        - 1 -    caso del moto radiale

Consideriamo ora un fotone che si muove lungo  (con   ,    fissati) e per cui si abbia  .

L'equazione della geodetica nulla su cui il fotone si muove è di conseguenza :

che fornisce :

dove il segno    corrisponde al moto di allontanamento dal centro ed il segno    al moto di avvicinamento (al centro).

Graficamente :

Integrando si ottiene facilmente :

dove    è il raggio vettore iniziale al tempo  .

Questa è l'equazione della geodetica nulla seguita dal fotone (nei due casi, in allontanamento ed in avvicinamento rispetto al centro). Si noti che, in questo caso particolare, non è stato necessario ricorrere al principio variazionale.

Graficamente, ponendo  , , , nel caso del segno  (allontanamento dal centro), si ottiene :

Si noti che, al crescere del tempo, per    grandi, la geodetica nulla diventa una retta a velocità costante    come è giusto che sia perché la metrica diventa sempre più piatta più ci si allontana dal centro (dove è posizionata la massa).

Nel caso del segno  (avvicinamento al centro) , si ottiene :

In questo caso, al crescere del tempo, la geodetica nulla diventa una retta verticale con velocità nulla. Il fotone è visto (da un osservatore all'infinito), avvicinarsi all'orizzonte degli eventi diminuendo sempre più la propria velocità fino ad annullarsi in un tempo infinito. Il fotone non viene visto oltrepassare l'orizzonte degli eventi (verso il centro). In realtà, il fotone oltrepassa tale orizzonte (se visto da un osservatore solidale con esso), ma l'approfondimento di questa apparente contraddizione ci porterebbe fuori dallo scopo di questa pagina.

        - 2 -    caso del moto planare (soluzione "qualitativa")

Consideriamo il moto di un fotone sul piano    (piano  ) che equivale, viste le ovvie simmetrie, ad ogni altro moto planare del fotone.

E' evidente che la traiettoria del fotone viene deviata dalla massa  . Questo risultato della teoria della relatività generale è di fondamentale importanza e costituisce uno delle sue più "rivoluzionarie" conseguenze messa "alla prova" fin dall'inizio (spostamento apparente delle stelle  durante una eclissi totale di Sole, Eddington 1919). Anche le lenti gravitazionali, oggetto delle più recenti ricerche astronomiche, sono prodotte da tali deviazioni.

Limitiamoci al seguente caso descritto qualitativamente dal grafico tridimensionale :

e, in due dimensioni, dal grafico :

Anche qui si deve avere   .

Cerchiamo geodetiche nulle rappresentabili dalle seguenti curve (qualitative) :

        (la curva    potrebbe avere convessità invertite rispetto a come mostrato)

Le numerose simmetrie sono evidenti.

Il moto del fotone è considerato nell'intervallo temporale  .

L'equazione delle geodetiche nulle in questo caso è :

ovvero :

        .

La soluzione    è ricavabile direttamente a partire da una qualsiasi funzione    semplicemente integrando la precedente (ovviamente, con metodi numerici). Le geodetiche nulle così trovate, però, non hanno tutte significato fisico. Occorre che valga anche il principio variazionale che in questo caso fornisce :

        .

Questa condizione variazionale che restringe la scelta delle geodetiche nulle non è (fino a prova contraria) trattabile analiticamente. Nella letteratura (a partire dai lavori originali dello stesso Einstein) i calcoli delle geodetiche nulle seguite dalla luce vengono in questo caso (della metrica di Schwarzschild) effettuati a partire dalle equazioni dell'ottica geometrica adattate agli spazi curvi. Non presenteremo qui tali risultati.

Si può in ogni modo eseguire la seguente semplificazione :

che è, nei casi pratici, assai plausibile in quanto    di solito è piccolo (per il Sole vale circa tre chilometri !!).

Con questa semplificazione si deve risolvere il seguente sistema :

cioè :

appartenendo il tempo all'intervallo  .

Anche in questo caso (fino a prova contraria) il problema non è risolubile analiticamente, per cui ci dobbiamo "accontentare", per gli scopi semplicemente introduttivi di questa pagina, dei grafici qualitativi sopra indicati.

Fine.

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