E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Un modello di prospettiva "realistica"  

Il problema di "riportare", "rappresentare", su un piano (due dimensioni) una figura dello spazio (tre dimensioni) può essere risolto in vari modi. Si hanno cioè vari tipi di prospettive.

Presentiamo qui una prospettiva simile quella che avviene nel nostro occhio e che quindi possiamo chiamare "realistica".

L'idea alla base del presente modello è la seguente :

       

In sintesi, un punto    della figura    viene proiettato sul piano  , che funge da "schermo", formando il punto  .

La proiezione di  viene effettuata passando dal fuoco  .

Per "disporre" il piano  abbiamo introdotto il punto    che funge da "centro" della figura. Il piano    dista   dal fuoco  ed è posto dalla parte "esterna" il vettore  e perpendicolare ad esso.

Sul piano    , con origine in  (dove   è l'intersezione fra la retta    ed il piano  ), viene posto il sistema ortonormale  che soddisfa alcune condizioni restrittive di cui parleremo più avanti.

Infine, ricaveremo le coordinate    del vettore    rispetto alla base  che costituiscono lo "scopo" del modello

Otterremo cioè la seguente figura :

        

Procediamo ora con i calcoli.

Si ha :

         

        ,

dove il simbolo    rappresenta la norma (modulo) di un vettore e    è un numero reale.

Siccome deve essere :

         ,

dove il simbolo    rappresenta il prodotto interno (prodotto scalare) fra due vettori, si ricava immediatamente :

        .

La formula finale che fornisce    sarà allora :

        .

Le coordinate    di    sul piano    saranno :

        .

Si tratta ora di ricavare le coordinate dei vettori  nel sistema  .

I vettori    devono essere ortonormali, cioè deve essere :

       

        .

Inoltre, "per comodità", imponiamo che il vettore    sia perpendicolare all'asse verticale  (in fondo, questa limitazione equivale ad osservare un oggetto da "in piedi"). Deve perciò valere :

        .

Il vettore    deve essere perpendicolare anche al vettore  , cioè deve essere :

        .

Per ricavare    occorre allora risolvere il sistema :

       

(si noti che  ).

Ponendo :

         

       

        ,

si ricava :

         

da cui :

       

e :

         

(con  ,   (queste condizioni restrittive possono essere eluse nella "pratica" discostandosi lievemente da  ))

e :

         

dove la funzione    ("segno") è definita come :

          .

Ricaviamo ora le coordinate di  , essendo .

Deve essere :

       

per cui :

        .

Ponendo :

       

         

       

(non vi è ambiguità nell'uso della lettera    in questo contesto),

si ottiene :

           

nelle incognite  .

Risolvendo, dopo semplici ma laboriosi calcoli, si ottiene :

         

(i problemi di esistenza delle soluzioni (divisioni per    ecc.) possono essere elusi nella "pratica" scegliendo opportunamente i punti  ed  ).

Conoscendo  , siamo in grado di calcolare    ricordando che :

       

       

        .

La presente prospettiva è utilizzata nel programma di calcolo numerico :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Superficie/superficie.htm 

Fine.

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