E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Un modello bidimensionale per la radiazione fossile di fondo  

La radiazione fossile di fondo (RFF) è ciò che rimane della luce emessa al momento del big bang.

Il problema concettuale principale per comprendere la RFF è capire come essa in qualche modo stia "viaggiando" con l'universo in espansione.

Ci si potrebbe aspettare che questa luce "primordiale", prodotta in un breve lampo, ci abbia già "sorpassato" e quindi non sia più rilevabile da noi "qui ed adesso".

Invece, a quanto pare, la RFF "viaggia" con noi e continuerà a farlo, come del resto deve avere fatto in passato.

In questa pagina mostriamo un semplice modello bidimensionale spazio-temporale che  mostra chiaramente come ciò sia possibile ed altre importanti proprietà.

Naturalmente ciò è possibile in un contesto di spazio curvo.

01 - Modello bidimensionale omogeneo ed isotropo.

Supponiamo che l'universo sia costituito da una circonferenza unidimensionale con il raggio   (positivo) variabile in funzione del tempo in modo che  . 

Supponiamo che al tempo    avvenga una emissione istantanea di luce da tutti i punti della circonferenza nelle due possibili direzioni (che sono da considerarsi equivalenti).

Naturalmente, essendo l'universo unidimensionale, la luce può viaggiare solo all'interno della circonferenza.

Abbiamo così costruito un modello di universo unidimensionale (nello spazio) che, con l'aggiunta del tempo, costituisce un modello bidimensionale spazio-temporale.

Graficamente :

        

L'emissione della RFF avviene in ogni punto di questo universo al tempo    e nelle due direzioni della circonferenza (oraria ed antioraria). In ciò sta l'omogeneità e l'isotropia del modello.

       

        (la luce è indicata solo relativamente ad alcuni punti)

La posizione di un punto sulla circonferenza è indicata dall'angolo    ( ) :

       

Indichiamo con    l'elemento di linea sulla circonferenza sotteso all'angolo  :

       

Evidentemente si ha :

        .

D'altra parte il moto della luce sulla circonferenza avviene in modo che :

         

dove    rappresenta la velocità della luce che, se presa positiva, corrisponderà al verso antiorario della circonferenza, mentre, se presa negativa, corrisponderà al verso orario della circonferenza.

Uguagliando, otteniamo :

       

da cui :

        .

Si noti che la metrica corrispondente è :

        .

Integrando la  rispetto al tempo da    (istante dell'emissione della RFF ) a    (positivo) si ricava :

        

dove    è l'angolo iniziale al tempo    e    è l'angolo al tempo  .

Questa è l'equazione oraria della RFF nel sistema  .

La funzione    così definita ha importanti proprietà.

Prima di tutto, essa è crescente se    è positiva, è decrescente se    è negativa.

Si tratta inoltre di una famiglia di funzioni dipendente dal parametro additivo  .

Per esempio, nel caso di  :

       

Ciascuna curva rappresenta un "raggio di RFF" che si propaga nelle coordinate  a partire dall'istante  .

La conseguenza fondamentale della forma della funzione   è che per qualsiasi punto    e qualunque istante  esiste un raggio di RFF che lo "raggiunge" a partire da un opportuno punto iniziale  (come per il punto  ) (si noti che  può assumere qualunque valore reale a causa della "periodicità" della circonferenza).

Nel caso di  avremo curve decrescenti come nell'esempio :

       

E' chiaro che in ogni punto    giungono due raggi di RFF dalle due diverse direzioni!!! Questo conferma l'isotropia del modello.

Il modello può essere meglio rappresentato nel sistema  .

La superficie di rotazione :

       

intersecata dai piani    fornisce, istante per istante, la circonferenza di raggio    che rappresenta l'universo unidimensionale (nello spazio) di cui stiamo parlando (chiameremo tali circonferenze, circonferenze-universo).

Infatti si ha :

        .

Esempio di universo ad espansione crescente :

       

Esempio di universo ad espansione "alternata" (espansione + contrazione) :

       

Le circonferenze-universo nei vari istanti sono le circonferenze tracciate in colore rosso.

Utilizzando l'equazione oraria :

       

è possibile ottenere una parametrizzazione ancora più "espressiva". Sostituendo abbiamo :

         

con  , .

Mentre i paralleli della presente parametrizzazione rappresentano ancora le circonferenze-universo istante per istante, i meridiani rappresentano i raggi di RFF che partono dai punti  .

Esempi :

        - 1 -    raggio     con  , , espansione continua costante.

Integrando elementarmente otteniamo :

         

con  , .

Grafico con  ,  , :

        

        (per motivi grafici abbiamo definito una    piccola)

Le linee blu rappresentano i raggi di RFF.

    - 2 -    raggio  con  , espansione - contrazione.

Integrando elementarmente otteniamo :

         

dove  ,   sono gli zeri di    (che, nel nostro esempio, devono essere reali, distinti e tali che  ).

Grafico con  :

       

        (per motivi grafici abbiamo definito una    piccola ed abbiamo posto solo tre raggi di RFF)

Le linee blu rappresentano i raggi di RFF.

02 - Il red shift della radiazione fossile di fondo.

Calcoliamo infine il red shift con cui i raggi di RFF vengono rilevati in un punto    .

Per fare questo, supponiamo che al tempo    (positivo e piccolo) avvenga in ogni punto della circonferenza una seconda identica emissione istantanea di RFF.

Il primo "lampo" di RFF viene emesso da  e raggiunge  .

Il secondo "lampo" di RFF viene emesso da  e raggiunge  .

Il red shift rilevato in    è dato dalla differenza  . Se la differenza è positiva si ha un effettivo red shift, se la differenza è negativa si ha, al contrario, un blue shift.

Graficamente :

       

Calcoliamo analiticamente il red shift nel caso della espansione continua costante    (con  , ).

Consideriamo anche  (analoghi ragionamenti per  ).

Integrando    da      a    si ottiene l'equazione del raggio di luce partente da  , ovvero :

       

che, invertita, fornisce :

        .

Integrando    da      a    si ottiene l'equazione del raggio di luce partente da  , ovvero :

       

che, invertita, fornisce :

        .

L'intervallo temporale    è evidentemente :

        .

Il red shift    risulta allora essere :

        .

Osservando la formula si vede bene che, se fosse  , ovvero nel caso di una contrazione continua costante, si avrebbe un blue shift.

La frequenza della RFF, nell'universo reale, è un dato di facile misurazione (corrisponde alle microonde) ed è di fondamentale importanza. Ogni modello cosmologico proposto prevede un proprio red shift per la RFF che può essere così verificato sperimentalmente. Se il modello prevede un red shift della RFF diverso da quello che effettivamente si misura esso sarà sbagliato.

Naturalmente, il modello deve prevedere la frequenza di emissione della RFF e questo è un problema di fisica delle particelle in quanto, nella fase del big bang, le energie in gioco sono grandissime essendo particelle confinate in un piccolo spazio

Nella fase del big bang la relatività generale "classica" cessa di valere (essa vale solo per la materia rarefatta) così come il modello standard delle particelle cessa di valere (esso vale nello spazio piatto) ed occorre una "nuova fisica" che è in fase di scrittura (teoria delle stringhe di vario tipo ed altre teorie).

Si capisce perciò che la RFF giocherà un ruolo sempre più importante sia per la cosmologia che per la fisica delle particelle.

Quello presentato qui è un modello molto semplicistico che però dà un'idea delle proprietà della RFF e della sua importanza.

Fine.

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