E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Relatività e meccanica quantistica ... at a glance ... (parte 3') 

Meccanica quantistica

La base matematica della meccanica quantistica è l'analisi funzionale delle funzioni a quadrato sommabile.

        - a -    funzione d'onda

In meccanica quantistica non esiste il concetto di traiettoria continua ("principio di indeterminazione di Heisenberg", 1927).

Contrariamente a ciò che avviene nella meccanica classica, quindi, una particella non è caratterizzata in ogni istante da una posizione e da una velocità che variano in modo continuo.

Le proprietà fisiche di una particella (o da un sistema di particelle), in meccanica quantistica, sono definite da una funzione, detta funzione d'onda, delle coordinate e del tempo.

Nella meccanica quantistica classica (qui trattata) lo spazio è tridimensionale euclideo e dotato di un sistema di coordinate cartesiane ortogonali. Il tempo è assoluto. Ci limitiamo, quindi, ad una impostazione non relativistica.

La funzione d'onda "psi" di una particella è :

ed i sui valori sono in generale numeri complessi.

La funzione d'onda di una particella è tale per cui :

        .

Il valore rappresenta la probabilità di trovare (in un processo di misura) la particella in un volume "infinitesimo"  in un certo istante  .

Il modulo quadro    della funzione d'onda è la densità di probabilità relativa al punto al tempo .

Graficamente :

Facendo la somma di tutte le probabilità infinitesime su tutto lo spazio si ha :

        ,

cioè la probabilità di trovare la particella in tutto lo spazio    è la certezza  .

Se la particella è vincolata a muoversi su di una retta, si ha il cosiddetto moto unidimensionale.

In questo caso la funzione d'onda è semplicemente :

        .

D'ora in poi, per esigenze di semplicità, salvo diversa indicazione, considereremo solo moti unidimensionali di una particella.

La densità di probabilità  e la probabilità  di trovare la particella nell'intervallo  in un certo istante  sono visualizzabili come nel seguente esempio grafico :

La probabilità  di trovare la particella nell'intervallo    in un certo istante   è data dall'integrale :

        .

Graficamente :

La probabilità di trovare la particella in tutto l'asse   in un certo istante   è  , cioè si ha :

        .

Graficamente :

        - b -    equazione di Schrödinger (1926)

La funzione d'onda di una particella evolve nel tempo a causa delle forze che agiscono sulla particella stessa.

Per esempio, nel seguente grafico abbiamo la densità di probabilità di una particella ai tempi  ,  , :

Utilizzando un grafico tridimensionale, in cui la variabile   sia un asse coordinato, si ha :

L'equazione differenziale che esprime la variazione della funzione d'onda nel tempo è l'equazione di Schrödinger. Si tratta dell'equazione fondamentale della meccanica quantistica.

Conosciuta in un certo istante la funzione d'onda di una particella (o di un sistema di particelle) e le forze che agiscono su di essa (o nel sistema di particelle), l'equazione di Schrödinger fornisce la funzione d'onda in tutti gli istanti successivi.

In una dimensione, l'equazione di Schrödinger è :

        ,

dove    ("acca tagliato") è la costante di Planck divisa per  (quindi  ),  è la massa della particella e    è l'energia potenziale della medesima che si suppone essere una funzione della coordinata spaziale. 

Inoltre  

è la derivata parziale prima della funzione d'onda rispetto al tempo e  

è la derivata parziale seconda della funzione d'onda rispetto allo spazio.

La soluzione esatta dell'equazione di Schrödinger è possibile solo in pochi casi. In generale si utilizzano tecniche di approssimazione numerica al computer (vedi  http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Schroedinger/schroedinger.htm ).

        - c -    la funzione d'onda come vettore dello spazio delle funzioni a quadrato sommabile

La funzione d'onda    può essere immaginata come un vettore di uno spazio vettoriale. 

Graficamente (in forma simbolica) :

Tale spazio vettoriale viene detto spazio delle funzioni a quadrato sommabile  .

In questo spazio vettoriale possiamo definire il prodotto interno (prodotto scalare) fra due vettori analogamente a come si fa con i vettori ordinari.

Se  , , sono due vettori di  definiamo il loro prodotto interno simbolizzandolo con la scrittura  .

Esattamente si definisce :

dove    è il coniugato complesso di  .

Si deduce allora che :

        .

Questa formula spiega il perché dell'appellativo "a quadrato sommabile" dato a  .

Il prodotto interno    ha le seguenti proprietà :

dove  .

Analogamente a ciò che avviene per i vettori ordinari, possiamo scrivere :

dove con il simbolo   intendiamo la norma (intensità, lunghezza) di un vettore e    è l'angolo fra i due vettori.

Graficamente (in forma simbolica) :

Si ha :

per cui la norma di un vettore    è :

        .

Due vettori  , , sono ortogonali (perpendicolari) se  , cioè quando :

        .

Graficamente (in forma simbolica) :

Supponiamo di costruire in   un sistema di vettori ortonormali, cioè un insieme di vettori perpendicolari a due a due e ciascuno di norma unitaria.

Il fatto fondamentale è che, a differenza dello spazio ordinario  in cui al massimo si possono definire    vettori ortogonali alla volta, per lo spazio delle funzioni d'onda  , tale insieme di vettori ortonormali è di numero infinito !!! Per questo motivo, si dice che lo spazio  ha dimensione infinita.

Chiamiamo tali vettori ortonormali :

          .

Per essi si ha :

        .

Un qualunque vettore    può essere espresso come combinazione lineare di vettori ortonormali  .

Si ha cioè :

dove la somma è infinita.

Graficamente (in forma simbolica, considerando solo   dimensioni) :

Questo fatto, in meccanica quantistica, va sotto il nome di "principio di sovrapposizione degli stati" e significa che una particella si trova "contemporaneamente" in una sovrapposizione di stati diversi.

I numeri, in generale complessi,    sono detti le componenti del vettore    rispetto al sistema ortonormale  .

Una singola componente è data da :

          .

Graficamente (in forma simbolica, per una componente) :

        (le linee tratteggiate indicano le lunghezze dei vettori)

        - d -    grandezze fisiche ed operatori

In meccanica quantistica, ad ogni grandezza fisica della meccanica classica si fa corrispondere un operatore ("principio di corrispondenza").

Si tenga presente che vi sono grandezze fisiche quantistiche, come lo spin, che non corrispondono ad alcuna grandezza fisica classica !!!

Un operatore è una funzione che nello spazio    associa un vettore ad un altro.  

Dato un generico operatore    (indichiamo in questo modo un operatore), avremo perciò :

        .

L'operatore    fa quindi corrispondere al vettore    il vettore . 

Gli operatori della meccanica quantistica sono operatori lineari, operatori per i quali vale la legge di linearità :

        ,

dove  , , sono numeri.

Alla grandezza fisica classica "coordinata" (posizione)    corrisponde l' "operatore quantistico coordinata"   .

Alla grandezza fisica classica  "quantità di moto"    corrisponde l' "operatore quantistico quantità di moto"   .

Alla grandezza fisica classica  "momento angolare"    corrisponde l' "operatore quantistico momento angolare"   .

Alla grandezza fisica classica  "energia"    corrisponde l' "operatore quantistico energia"   .

ecc.

D'ora in poi, salvo diversamente indicato, prenderemo in considerazione solo l'operatore energia  .

Tale operatore, di cui non daremo qui la forma matematica, è detto anche operatore hamiltoniano.

Consideriamo la seguente equazione operatoriale :

dove    è un numero.

Tale equazione è detta "agli autovalori".

Risolvendo questa equazione si ricavano certi valori  , detti autovalori dell'operatore  ed, in corrispondenza, certi vettori  (di norma unitaria) , detti autovettori dell'operatore .

Ad ogni autovalore    corrisponde cioè il proprio autovettore  . Si ha cioè la corrispondenza :

        .

Gli autovettori sono detti anche autostati.

Si dimostra che gli autovettori  dell'hamiltoniano formano un sistema ortonormale, cioè sono vettori di norma unitaria ortogonali a due a due.

Un generico vettore  (funzione d'onda di una particella) può essere quindi posto nella forma (scomposto nelle sue componenti) :

dove :

        .

Questo fatto è di estrema importanza e costituisce il "punto focale" di tutta la meccanica quantistica.

Applichiamo ora l'operatore    al vettore  . 

Considerando che    è lineare, si ottiene :

        .

Calcoliamo anche il prodotto interno :

        .

Sfruttando le proprietà di linearità del prodotto interno, si ottiene :

cioè, in sintesi :

        .

Questo risultato è fondamentale.

Se interpretiamo i valori :

come le densità di probabilità di trovare, in un processo di misura, i valori delle energie (rispettivamente) , l'espressione  rappresenta il valore medio dell'energia. 

Scriveremo allora :

        .

Questa espressione è, in un certo senso, il "punto di arrivo" della meccanica quantistica, "punto" in cui l'apparato matematico (in verità molto astratto) si "riconduce" alla realtà fisica.

Sintetizzando :

        una particella è descritta da un vettore (funzione d'onda)    le cui componenti    rispetto ad un sistema ortonormale di autovettori dell'energia    rappresentano (i loro moduli quadri) le densità di probabilità che la particella, in un processo di misura, sia trovata avere i valori dell'energia rispettivamente  .

Lo stesso, fatte le dovute precisazione, vale per le altre grandezze fisiche.

Supponiamo che una particella sia descritta dalla funzione d'onda     che è uno degli autovettori dell'energia. 

Per questa particella si ha :

         .

Il valore medio dell'energia per questa particella è quindi :

        .

Questo significa che una particella descritta da un particolare autovettore si trova ad avere un'energia ben determinata, l'autovalore dell'energia corrispopndente a quell'autovettore. Per questo motivo, si usa il temine autostato come sinonimo di autovettore.

Un autostato di una certa grandezza è una funzione d'onda (uno stato) in cui la particella viene trovata, in una misura, ad assumere un ben determinato valore certo, con probabilità . 

Negli altri stati, che non siano autostati, la particella è in una sovrapposizone di autostati e vi è una probabilità diversa da    che in una misura la particella possa essere trovata assumere un particolare valore fra i possibili autovalori.

L'insieme degli autovalori di un operatore quantistico di una certa grandezza fisica si chiama spettro.

Abbiamo qui mostrato lo spettro discreto (discontinuo)  degli autovalori dell'operatore hamiltoniano  . In meccanica quantistica, altre grandezze fisiche hanno anche spettri continui, ovvero autovalori che variano con continuità. 

Anche l'operatore  , in certi casi, ha spettro continuo o addirittura misto.

Il fatto che uno spettro possa essere anche continuo non costituisce un problema all'apparato concettuale fondante la meccanica quantistica. 

A causa degli spettri continui vi è solo una complicazione nell'apparato matematico. 

Le somme    corrispondenti agli sviluppi dei vettori nelle loro componenti, dovranno essere sostituite, nel caso di spettro continuo, da opportuni integrali.

Fine.

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