E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Relatività e meccanica quantistica ... at a glance ... (parte 2') 

Teoria della relatività ristretta (Albert Einstein, 1905)

La base matematica della teoria della relatività ristretta è il calcolo tensoriale nello spazio di Minkowski.

        - a -    sistemi inerziali

La teoria della relatività ristretta si occupa dei sistemi inerziali, ovvero i sistemi in cui vale il principio d'inerzia ("un corpo su cui agiscono forze a risultante nulla si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un opportuno sistema di riferimento detto inerziale" (si noti l'evidente "circolarità" della definizione !!!)). 

In tali sistemi inerziali è assente la gravità per cui tali sistemi sono euclidei (piatti).

La teoria della relatività ristretta quindi è un caso particolare della teoria della relatività generale, quando cioè è assente la gravità, per cui i sistemi sono inerziali e lo spazio è euclideo.

Un sistema inerziale è costituito da un sistema di assi cartesiani ortogonali    nello spazio euclideo  dotato di un "orologio" che "scandisce" il tempo  .

Graficamente :

Un punto  , rispetto ad un sistema inerziale, è quindi associato alla quaterna :

        .

Nei sistemi inerziali le leggi della meccanica (senza la gravità) devono essere le stesse (principio di relatività di Galileo) ed in più, la velocità della luce,  nel vuoto, deve essere costante (principio di costanza della velocità della luce).

I sistemi inerziali sono fra loro in moto relativo rettilineo uniforme.

Graficamente, nel caso più semplice :

Il sistema inerziale    si muove di moto rettilineo uniforme con velocità  rispetto al sistema inerziale  .

Si noti che il tempo non è assoluto, ogni sistema inerziale ha il "proprio" tempo. Il sistema inerziale    possiede il tempo mentre il sistema inerziale  possiede il tempo  .

Le coordinate spaziali del sistema    sono    , le coordinate spaziali del sistema    sono  .

        - b -    spazio-tempo quadridimensionale di Minkowski

Quanto sopra affermato ci porta ad ipotizzare uno spazio-tempo quadridimensionale di coordinate  .

Tale spazio-tempo è detto di Minkowski.

Un punto  dello spazio-tempo di Minkowski si chiama evento ed una linea si chiama linea d'universo.

Definiamo la metrica di tale varietà.

Consideriamo i due punti "infinitamente" vicini  , , "collegati" da un raggio di luce, cioè immaginiamo che un raggio di luce parta da   e raggiunga dopo un tempo  .

Graficamente, nel sistema  :

Si ha evidentemente :

da cui :

        .

Questa formula vale solo per due eventi collegati da un raggio di luce.

La metrica dello spazio-tempo di Minkowski è definita da :

        .

Si tratta di una metrica pseudo-euclidea a causa dei segni meno.

Essa esprime la distanza    fra due eventi "infinitamente" vicini.

In particolare, lo ribadiamo, se due eventi sono collegati da un raggio di luce, pur essendo eventi distinti, hanno distanza nulla. Questo è un fatto di grande importanza.

Se poniamo :

(gli indici, qui, li mettiamo in basso) la metrica assume la forma più "simmetrica" :

da cui si deduce che il tensore metrico vale :

        .

        - c -    le trasformazioni di Lorentz

Una ordinaria rotazione di un sistema di assi cartesiani ortogonali nello spazio euclideo  conserva la lunghezza dei segmenti.

Analogamente, nello spazio-tempo pseudo-euclideo di Minkowski, una rotazione delle coordinate (in    dimensioni !!!) lascia invariata la distanza fra due eventi, ed in particolare, la distanza (nulla) fra due eventi collegati da un raggio di luce.

Sviluppando matematicamente quest'idea, si deducono le cosiddette trasformazioni di Lorentz :

che legano le coordinate di un evento "viste" dai due sistemi inerziali  , , in moto relativo rettilineo uniforme con velocità  .

Si dimostra che queste formule sono le uniche (nelle condizioni indicate graficamente in precedenza, fra cui l'allineamento degli assi  , ) per cui si verifica che :

        ,

dove il simbolo    indica una variazione finita, non infinitesima. 

La formula mostra che la distanza fra due eventi, visti nei sistemi  ,   , non cambia.

Si noti che la velocità della luce  è la stessa nei due sistemi in ottemperanza al fondamentale principio di costanza della velocità della luce.

Dalle trasformazioni di Lorentz si ricava direttamente la formula di composizione delle velocità :

        .

Si ricavano anche le contrazioni di Lorentz di intervalli spaziali e temporali.

Fine.

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