E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Relatività e meccanica quantistica ... at a glance ... (parte 1') 

Teoria della relatività generale (Albert Einstein, 1915/16)

La base matematica della teoria della relatività generale è la geometria differenziale ed in particolare il calcolo tensoriale.

        - a -    spazio-tempo quadridimensionale curvo

Il principio di equivalenza ("un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento non inerziale") porta ad ipotizzare uno spazio-tempo quadridimensionale in generale non euclideo (curvo) la cui curvatura è determinata dalla distribuzione delle masse.

        - b -    elemento   

Ciò che caratterizza in senso metrico una varietà (altro modo di dire spazio) di qualunque dimensione è la distanza fra due suoi punti "infinitamente" vicini.

Chiameremo    tale distanza.

        - c -    proprietà metriche

La conoscenza dell'elemento   determina tutte le proprietà metriche della varietà e la possibilità di definire e misurare su di essa distanze, angoli, aree, volumi, curvatura e geodetiche (linee di minima lunghezza).

Le varietà dotate di struttura metrica sono dette varietà riemanniane in onore del grande matematico tedesco Georg Friedrich Bernhard Riemann

D'ora in poi, anche se non espressamente indicato, con la parola varietà si sottintende una varietà riemanniana di qualunque dimensione.

        - d -    scalari, vettori, tensori

Sulle varietà è possibile definire scalari, vettori e tensori. Basta prendere "piccole" porzioni di varietà che siano "praticamente" euclidee (piatte). Su queste "porzioni piatte" possiamo applicare ciò che conosciamo valido per gli spazi euclidei.

Gli scalari sono numeri.

I vettori sono entità caratterizzate da un indice che può assumere, per esempio in quattro dimensioni, i valori  .

Un esempio di vettore è :

       

con  . 

Il vettore    ha quindi le seguenti componenti (in quattro dimensioni) :

        .

Un tensore è una "generalizzazione" del vettore e possiede più indici.

Un esempio di tensore del secondo ordine è (in quattro dimensioni) :

       

con  .

Si tratta quindi, in questo caso, di    numeri.

Un tensore può avere indici covarianti e/o controvarianti

Gli indici covarianti vengono scritti in basso, quelli controvarianti, in alto

Per esempio, per il tensore :

        ,

l'indice    è covariante, mentre l'indice    è controvariante.

Non definiamo qui il significato matematico dei due tipi di indici.

Un vettore è un tensore di ordine  . Uno scalare è un tensore di ordine  .

Un tensore si trasforma, in un cambiamento di coordinate, secondo certe leggi che non riporteremo qui.

A noi basta sapere qui che se un tensore è nullo (cioè tutte le sue componenti sono nulle) in un sistema di riferimento, allora è nullo in ogni altro sistema di riferimento (della medesima "porzione piatta di varietà").

        - e -    principio di relatività generale

Le leggi della fisica, secondo il principio di relatività generale, devono essere le stesse in tutti i sistemi di riferimento

Se una legge fisica è espressa dall'equazione :

        ,

dove    è un tensore, allora tale legge sarà la stessa in tutti i sistemi di riferimento.

Per questo motivo, ogni legge fisica, perché soddisfi il principio di relatività generare, deve essere posta nella forma tensoriale  (anche con più indici !).

        - f -    tensore metrico fondamentale    in    dimensioni

Tutte le proprietà metriche di una varietà sono definite dal suo tensore metrico fondamentale che è legato all'elemento  .

Costruiamo il tensore metrico    nel caso più semplice di una superficie bidimensionale immersa nello spazio euclideo tridimensionale  . Si tratta di una superficie ordinaria che presumeremo "liscia".

Una generica superficie    è descritta da una certa funzione :

       

dove    è un sottoinsieme di  .

La funzione    è espressa dalle equazioni parametriche :

       

dove le  , ,   sono opportune funzioni nelle variabili indipendenti  .

Al variare nel piano    del punto  , si determina la variazione nello spazio    del punto  . In questo modo viene "disegnata" la superficie  .

Graficamente :

       

Se il punto    traccia in   la retta  = costante, sulla superficie  il punto   traccia una curva. La stessa cosa se il punto    traccia la retta  = costante. 

Graficamente :

       

Le suddette curve su    si chiamano coordinate curvilinee. Ogni punto    di  è quindi punto d'incontro di due coordinate curvilinee. In questo modo possiamo costruire su  un sistema di coordinate curvilinee.

Prendiamo in    i due punti "infinitamente" vicini  , . Ad essi corrispondono i due punti "infinitamente" vicini  , , appartenenti alla superficie .

Graficamente :

       

Le differenze "infinitesime" delle coordinate di    , , come indicate nel grafico, sono :

        , .

Le differenze "infinitesime" delle coordinate di    , , come indicate nel grafico, sono :

        , , .

Dal calcolo differenziale si sa che :

          .

Se chiamiamo con    la distanza    , applicando il teorema di Pitagora, avremo :

        .

Siccome i punti   ,   sono "infinitamente" vicini, il segmento    giace ("praticamente") sulla superficie  .

Calcoliamo  . 

Avremo :

        .

Poniamo :

        .

Possiamo allora scrivere più sinteticamente :

        .

Le funzioni  , , , costituiscono il tensore  (omettiamo la dimostrazione che si tratti veramente di un tensore) definito da :

        ,

dove le componenti sono date dalle precedenti formule. Tale tensore è detto tensore metrico fondamentale della varietà (qui una semplice superficie).

Tutte le proprietà metriche della varietà sono definite da    e quindi da 

Conosciuto il    di una varietà, se ne deducono tutte le proprietà metriche (compresa la possibilità di costruire geodetiche sulla varietà e di definire, punto per punto, la curvatura della medesima).

        - f1 -    esempio : il piano   

Vogliamo trovare un possibile tensore metrico del piano di equazione  .

Graficamente :

       

Si tratta del piano    formato dagli assi , .

Una parametrizzazione di    è :

        .

Si ha :

       

       

        .

Si deduce quindi che il tensore metrico in questo caso vale :

         

per cui si ha infine :

         .

Si tratta quindi della metrica euclidea.

        - f2 -    esempio : la sfera unitaria 

La sfera unitaria è la sfera di raggio    centrata nell'origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali di  .

Graficamente :

       

Una parametrizzazione della sfera unitaria, così come indicata nel grafico, è :

       

con  , .

La coordinata curvilinea    è detta longitudine. La coordinata curvilinea    è detta colatitudine

Si ha :

       

da cui si ricava il tensore metrico :

       

che fornisce :

        .

        - g -    tensore metrico fondamentale    in    dimensioni

Quanto mostrato al punto precedente può essere generalizzato ad una varietà a    dimensioni qual'è lo spazio-tempo.

Si ha :

       

da cui, introducendo una nuova notazione :

        .

Si noti che abbiamo tolto le parentesi ed abbiamo posto gli indici delle    in alto (indici controvarianti) !!! 

Tali indici scritti in alto non devono assolutamente essere interpretati come elevamento a potenza !!! 

Il motivo di questo formalismo dipende dal fatto che gli indici del tensore metrico sono scritti in basso (indici covarianti) e così gli indici si "saturano". Non entriamo qui in ulteriori spiegazioni di questo fatto.

Un'altra convenzione adottata universalmente è la convenzione di Einstein. Per semplificare le formule si omette il simbolo di sommatoria che deve però essere eseguita obbligatoriamente per gli indici ripetuti

Si ha perciò :

        .

Questa è la formula che esprime la metrica della varietà. La formula vale per varietà a qualunque dimensione.

        - h -    curvatura

La curvatura di una varietà è descritta dai seguenti "oggetti" matematici :

          : tensore di Riemann. Si tratta, in    dimensioni, di   numeri definiti in ogni punto della varietà.

        : tensore di Ricci. Si tratta, in    dimensioni, di   numeri definiti in ogni punto della varietà.

        : curvatura scalare. Si tratta, in    dimensioni, di  solo numero definito in ogni punto della varietà.

Si tratta di oggetti matematici molto complessi, fra loro legati matematicamente, che qui non descriveremo oltre. Ci basti conoscere la loro esistenza e cosa essi significano in senso lato.

        - g -    equazione gravitazionale di Einstein

E' l'equazione fondamentale della teoria della relatività generale. Essa esprime il legame fra la curvatura della varietà spazio-tempo quadridimensionale e la distribuzione delle masse che tale curvatura generano.

Ci limitiamo ad enunciarla :

        .

Gli indici    ,   assumono i valori  . Per questo motivo l'equazione gravitazionale di Einstein in effetti fornisce   equazioni !!!

La costante   è legata alla costante gravitazionale universale.

Il tensore descrive la distribuzione delle masse.

Lo scalare  , la cosiddetta costante cosmologica, descrive la possibilità di curvatura della varietà in assenza di masse.

La soluzione esatta dell'equazione gravitazionale di Einstein, data la sua grande complessità, è possibile solo in pochissimi casi. Si ricorre allora a varie tecniche di approssimazione anche numeriche (grazie alla grande potenza di calcolo degli attuali computers).

Fine.

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