E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Relatività e meccanica quantistica ... at a glance ... 

In queste pagine viene presentata in sintesi ed in modo molto intuitivo, per essere consultate rapidamente, la "costruzione matematica" delle due principali teorie fisiche contemporanee, la teoria della relatività (generale e ristretta) e la meccanica quantistica.

La teoria della relatività ristretta viene presentata dopo la generale perché di essa è un caso particolare.

Queste pagine sono dedicate soprattutto agli studenti del quinto anno del Liceo Scientifico che le potranno utilizzare come "compendio" o "complemento" ai loro studi di fisica contemporanea. 

Per la comprensione di queste pagine occorre la conoscenza dei seguenti "tools" di matematica :

        - a -    numeri complessi

Un numero complesso    è dato da :

dove  , , sono numeri reali ed    è l'unità immaginaria.

Un numero complesso    è rappresentabile geometricamente come vettore del piano nel seguente modo :

Il modulo (valore assoluto) quadro di un numero complesso  è evidentemente :

e corrisponde alla lunghezza al quadrato del vettore che rappresenta il numero complesso.

Il coniugato del numero complesso    è :

        .

Con semplici calcoli si ottengono importanti formule che coinvolgono i coniugati complessi. 

Si ha :

e :

 e :

        ,

dove  è un ulteriore numero complesso ed  , ,  , , sono numeri reali.

In sintesi :

        .

        - b -    calcolo vettoriale elementare

I vettori ordinari di  sono "segmenti dotati di freccia".

Con i vettori si può eseguire la somma, la sottrazione, la moltiplicazione per uno scalare (un numero), il prodotto scalare (prodotto interno) ed il prodotto vettoriale tramite le note regole.

Un vettore ordinario  può essere espresso come una terna di numeri reali nel seguente modo :

Si può scrivere perciò :

dove i   numeri    sono detti le componenti del vettore  .

        - c -    derivazione e differenziale di funzioni ad una o più variabili

Una funzione ad una variabile indipendente è del tipo  .

La sua derivata è :

(scritta in vari modi).

L'introduzione di funzioni a più variabile e della derivata parziale è del tutto naturale.

Data la funzione a due variabili :

si definiscono le due derivate parziali :

        ,

che si eseguono tenendo costante la variabile non nominata.

Per esempio, se :

        ,

si ha :

        .

Il differenziale di  è :

ovvero :

        .

Analogamente, il differenziale di    sarà :

        .

La generalizzazione ad un numero qualsiasi di variabili è evidente.

Fine.

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