E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Introduzione alla geometria differenziale di curve e superficie in   

Lo spazio in cui si svolge la nostra esperienza quotidiana è lo spazio euclideo tridimensionale che indicheremo qui e sempre con  . Si tratta di uno spazio in cui vale la geometria che Euclide, attorno al 300 a.C., postulò e descrisse nel suo famoso e basilare trattato fortunatamente giunto fino a noi. 

Essenzialmente, lo spazio   è un insieme di punti ciascuno determinato da una terna di numeri reali  , dette coordinate, e per cui vale il teorema di Pitagora.

Fra i vari insiemi di punti che possiamo considerare in    rivestono un particolare ruolo le curve e le superficie che possono essere "esplorate" con l'aiuto di rette e piani tangenti. In questo sta l' "essenza" della geometria differenziale. 

L'aggettivo "differenziale" specifica appunto il fatto che noi studiamo le caratteristiche di curve e superficie con l'aiuto di rette e piani tangenti. Si fa questo perché rette e piani sono figure dalle proprietà elementari e dagli sviluppi matematici semplici e perché "piccole" porzioni di curve e superficie "praticamente" coincidono con rette e piani a loro tangenti e quindi possono essere da essi "approssimate".

Dal punto di vista matematico, la tangenza di rette e piani a curve e superficie viene studiata con il cosiddetto calcolo differenziale (un tempo chiamato calcolo infinitesimale) creato a partire da Newton e Leibnitz nel '600. Ecco allora perché "geometria differenziale".

Ma non basta. Il grande Gauss intuì che le proprietà "metriche" delle superficie (lunghezze, angoli, aree ecc.) non dipendevano dallo spazio in cui esse sono immerse. Tali proprietà sono indipendenti dallo spazio esterno e possono essere descritte senza "lasciare" la superficie. Egli creò così la cosiddetta geometria intrinseca. Le proprietà di una superficie possono essere descritte con le sole coordinate curvilinee tracciate sulla superficie senza minimamente menzionare le coordinate di  . Questa fu una scoperta fondamentale.

Estendendo tali principi a superficie a più dimensioni si posero addirittura le basi ad una differente e profonda visione del mondo fisico. Lo spazio in cui avvengono i fenomeni fisici non è più uno spazio euclideo a tre dimensioni a cui si associa la variabile "esterna" ed "immutabile" tempo, ma uno spazio-tempo (inscindibile "unione" di spazio e tempo) a quattro dimensioni in generale non euclideo, perché "incurvato" dalle masse, in cui i corpi si muovono lungo geodetiche (linee di minima distanza). Questa è in sintesi l'idea alla base della teoria della Relatività Generale di A. Einstein (1915).

Tale teoria ha i propri prodromi nei geniali lavori di Gauss, Riemann, Ricci-Curbastro, Levi-Civita ecc. .

In questa pagine descriviamo le idee basilari della geometria differenziale di curve e superficie di  .

01 - Curve regolari.

Una curva in    è un insieme di punti che ha la caratteristica fondamentale di essere in qualche modo ad "una dimensione". Volendo studiare le curve con i metodi del calcolo differenziale, non le definiremo (le curve) come sottoinsiemi di  , bensì le definiremo come funzioni differenziabili.

01,1 - Curva parametrica differenziabile.

La funzione vettoriale

        ,

dove  I  è l'intervallo aperto     limitato o non limitato di  R  con  a < b  ( a  e  b  anche infiniti), può essere scritta, esplicitando le sue componenti, nei seguenti modi :

       

oppure :

       

oppure :

          .

Orbene, se    è di classe  (si dice anche liscia), ovvero con tutte le derivate di ogni ordine continue (naturalmente lo devono essere tutte e tre le componenti ) , si dice che    è una curva parametrica differenziabile di classe  .

Si potrebbero definire curve parametriche differenziabili di classe  , con  , ma, per gli scopi di queste semplici pagine introduttive, ci soffermeremo, salvo differenti indicazioni, soprattutto su curve lisce (cioè di classe  ). Per questo motivo ometteremo di regola la classe di    sottintendendo che essa è  e dicendo semplicemente che    è differenziabile (si noti il particolare utilizzo in queste pagine dell'aggettivo "differenziabile" !!).

La variabile  t  è detta parametro della curva.

L'immagine di  I  (ovvero il codominio di  ), come sottoinsieme di  , si chiama traccia (o grafico) della curva. Seguendo le definizioni qui date, curva e sua traccia sono cose ben distinte e due curve diverse (intese appunto come funzioni) possono avere la stessa traccia. Si tenga sempre presente questo fatto.

Una curva è detta semplice se    è 1-1 (iniettiva).

Esempi :

        - 1 -    Curva parametrica differenziabile semplice.

                           

        - 2 -    Curva parametrica differenziabile non semplice.

                           

         - 3 -    Elica.

                   Un'elica è per esempio :

                            .

                   Si tratta di una curva che giace sul cilindro di equazione  . Graficamente :

                           

01,2 - Vettore tangente.

Data una curva parametrica differenziabile    si chiama vettore tangente o vettore velocità alla curva in  t  il vettore di  :

       

dove il puntino sta ad indicare la derivata prima (che può essere indicata come al solito anche con l'apostrofo ' ).

Il vettore tangente si può indicare anche come :

       

o :

        .

La definizione di vettore tangente ad una curva parametrica differenziabile è il concetto cardine della geometria differenziale.

Il perché il vettore tangente ad una curva in un punto è la derivata della curva in quel punto risulta chiaro dal seguente grafico :

       

Facendo il limite di :

       

per   , si ottiene perciò il vettore tangente ad    in  :

       

Una curva parametrica differenziabile (nella nostra definizione quindi di classe  ) possiede un vettore tangente (anche nullo) in ogni suo punto. 

Esempi :

        - 1 -    La curva parametrica differenziabile  in  con  t  appartenente ad  R .

                   Il suo vettore tangente è :

                           

                   Il suo grafico, con indicato il vettore tangente per  t = 1 , è :

                           

                   Si noti che il vettore tangente è nullo evidentemente per  t = 0 .

        - 2 -    La curva parametrica differenziabile non semplice   in  con  t  appartenente ad  R .

                   Il suo vettore tangente è :

                              .

                   Il suo grafico, con indicati i vettori tangenti per  t = -2  e  t = 2 , è :

                           

                   Si noti che, avendosi   , la curva non è semplice.

        - 3 -    La curva parametrica   di classe  in  con  t  appartenente a    .

                   Si tratta ovviamente di una curva non differenziabile in quanto per  t = 0  non esiste la derivata . 

                   Il grafico della curva è :

                             

        - 4 -    Le curve parametriche differenziabili  e    in  con  t  appartenente a  .

                   Si tratta di due circonferenze di raggio  1  centrate nell'origine. 

                   I vettori tangenti sono :

                              ,  .

                   Le due curve hanno la stessa traccia ma vettori tangenti diversi. Per esempio, per  t = 0 :

                           

                   (per  t = 0 , in verità, la curva non è definita, ma ciò non costituisce un errore per lo scopo che si pone questo esempio)

01,3 - Retta tangente.

Consideriamo una curva    semplice e di classe  (cioè continua ma senza altra specificazione sulle sue derivate). Per tali curve è possibile definire il concetto di retta tangente che prescinde dalla definizione di vettore tangente. In questo caso può succedere di avere una retta tangente anche quando il vettore tangente è nullo o addirittura non è definito (in quest'ultimo caso potrebbe esservi una tangente destra o sinistra).

Si ha una tangenza debole in  se la retta passante per    e per    ha una posizione limite per  .

       

Al tendere di  h  a  0  , la retta secante  r  tende alla retta tangente  s .

Nella curva dell'esempio  - 1 -  del paragrafo  02  si ha una tangente debole per  t = 0  che è la retta verticale passante per  0 .

Nella curva dell'esempio  - 3 -  del paragrafo  02  non si ha alcuna retta tangente per  t = 0 . In questo caso si può parlare di tangente destra e di tangente sinistra.

Si ha una tangenza forte in  se la retta passante per    e per  ha una posizione limite per  .

       

Al tendere di  h  e  k  a  0  , la retta secante  r  tende alla retta tangente  s .

Nella curva dell'esempio  - 1 -  del paragrafo  02  non si ha una tangente forte per  t = 0 .

Se la curva è differenziabile (di classe  ), allora il vettore tangente    determina una retta tangente forte alla curva in ogni suo punto.

01,4 - Orientazione.

Presentiamo qui una semplice introduzione intuitiva del concetto di orientazione per una curva. Tale introduzione è sufficiente per gli scopi di queste pagine.

Consideriamo la curva parametrica differenziabile definita su  ed immaginiamo di percorrere con il parametro  t   il suddetto intervallo da  a  a  b . In questo modo forniamo alla curva una orientazione. Infatti :

       

Se percorressimo l'intervallo    in senso inverso (da  b  ad  a ) avremmo una orientazione opposta.

Consideriamo ora la trasformazione    con    e sostituiamola nella curva  . Otteniamo così :

        dove .

In questo modo abbiamo ottenuto una curva    che ha la stessa traccia della curva    ma orientazione opposta. Infatti :

       

Con la trasformazione   , dove  ,  si cambia perciò l'orientazione di una curva.

01,5 - Curva regolare.

Sia    una curva parametrica differenziabile definita su  . Se in ogni suo punto il vettore tangente    è diverso da  0 , allora è possibile tracciare direttamente la retta tangente alla curva che contenga il vettore tangente. Altrimenti si può vedere se vi è una tangente come caso limite di rette secanti (come indicato al paragrafo  03 ).

       

Nell'esempio il vettore tangente    è contenuto nella retta tangente  s . 

Per gli scopi della geometria differenziale è preferibile che si abbia  per ogni punto di una curva parametrica differenziabile. Se questo si verifica, abbiamo una cosiddetta curva regolare. I punti dove si verifica    , invece, sono detti punti singolari.

La curva dell'esempio  - 1 -  del paragrafo  02  non è regolare ed per  t =  0  si ha un punto singolare.

D'ora in poi, salvo casi particolari, considereremo sempre curve parametriche differenziabili (di classe  ) regolari che chiameremo semplicemente curve regolari.

01,6 - Lunghezza dell'arco.

Sia    una curva regolare definita sull'intervallo (limitato o non)  . Siano    e  t , con  , due punti di  I . Si definisce lunghezza dell'arco di curva dal punto     a  t  , il valore :

       

(non si crea ambiguità usando la stessa lettera  t  anche come variabile di integrazione) dove    è la norma (o modulo) del vettore tangente, ovvero :

        .

Graficamente :

       

Il concetto di lunghezza di un arco è di basilare importanza in geometria differenziale.

Una giustificazione intuitiva della formula della lunghezza può essere data ricorrendo al concetto di infinitesimo. Con l'aiuto del concetto di infinitesimo potremmo scrivere simbolicamente : 

        .

Si tratta ovviamente di una dimostrazione intuitiva e non rigorosa (la dimostrazione rigorosa esula dallo scopo di queste semplici pagine).

Facendo la derivata di    rispetto a t  si ottiene ovviamente :

        .

Se si verifica che    per ogni punto della curva, cioè la norma del vettore tangente è identicamente uguale a  1  per ogni punto della curva, si ha  ed anche :

        .

In questo caso la lunghezza dell'arco è uguale alla lunghezza dell'intervallo  e diciamo che la curva è parametrizzata con la lunghezza (dell'arco).

Quando è possibile, sceglieremo sempre curve parametrizzate dalla loro lunghezza, cioè curve per cui  , perché questo semplifica molto tutte le considerazioni che dovremo fare. Una curva regolare qualunque, con una opportuna trasformazione del parametro, può essere sempre parametrizzata con la sua lunghezza. Ricordiamo che, cambiando la parametrizzazione, la traccia di una curva non cambia.

Per parametrizzare una curva con la sua lunghezza basta risolvere l'equazione differenziale :

       

cercando una funzione    da cui ricavare la funzione inversa    da sostituire nel parametro  t  della curva e così parametrizzarla secondo la sua lunghezza.

Per una curva parametrizzata con la sua lunghezza si ha la seguente rappresentazione grafica del vettore tangente :

       

Tutti i vettori tangenti sono lunghi  1  e posti nello stesso verso, quello dell'orientazione della curva !!! 

Concludiamo l'argomento affermando che, in generale, il punto iniziale    non è molto importante per cui esso può essere scelto a piacere. Questo perché, nelle formule della geometria differenziale, si usano di solito le derivate rispetto a  t .  

Esempi :

        - 1 -    La curve regolare    in  con  t  appartenente a  .

                   Si tratta della circonferenza di raggio  1  centrata nell'origine. 

                   Il vettore tangente è :

                              .

                   La norma di    vale identicamente  1  per ogni  t . La curva    è allora parametrizzata con la sua lunghezza.

                   La lunghezza dell'intera circonferenza è :

                            .

        - 2 -    La curva regolare    in  con  t  appartenente a  .

                   Si tratta dell'arco di parabola :

                           

                   Il vettore tangente è :

                           

                   e la sua norma è  

                           

                   che è evidentemente sempre diversa da  0   ma non identicamente uguale a  1 . Si tratta allora di una curva regolare non parametrizzata dalla lunghezza. 

                   La lunghezza l'arco della parabola è data da :

                            .

                   Tale integrale (altresì risolubile con metodi elementari) fornisce il valore approssimato (ottenuto con metodi di approssimazione numerica) :

                            .

                   Per parametrizzare la curva con la sua lunghezza, è sufficiente risolvere la seguente equazione differenziale :

                            .

                   La rappresentazione grafica (approssimata con metodi numerici) della soluzione    è :

                           

                   La funzione    cercata è facilmente ricavabile graficamente. Si noti che il nuovo parametro  s  sarà compreso fra  0  e circa  1,47  che è la lunghezza dell'arco di parabola come precedentemente calcolato (approssimato).

01,7 - Curvatura. Normale. Binormale. Torsione.

Il concetto di curvatura di una curva esprime intuitivamente quanto il vettore tangente varia passando da un punto ad un altro vicino. Maggiore è questa variazione, maggiore è la curvatura.

Consideriamo una curva regolare parametrizzata dalla lunghezza    il cui parametro è  s . Ovvero :

         

con  (il punto indica la derivata rispetto ad  s ) ovvero il vettore tangente ha norma unitaria in ogni punto.

Indichiamo per comodità con  t  il vettore unitario tangente per cui :

        .

Si definisce curvatura  k  di    in  s  il valore :

         

ovvero la norma della derivata (rispetto al parametro lunghezza) della tangente (unitaria). Siccome il vettore tangente si chiama anche vettore velocità, la sua derivata si chiamerà anche vettore accelerazione. La curvatura è allora la norma dell'accelerazione (per curve regolari parametrizzate con la lunghezza).

Si definisce anche il raggio di curvatura  R  in un punto dato dalla relazione :

        .

E' semplice verificare che una circonferenza di raggio  R  ha in ogni suo punto raggio di curvatura appunto  R .

Si noti sempre che stiamo parlando di curve parametrizzate dalla lunghezza !!

Il vettore accelerazione    (oppure  ) per tali curve ha la proprietà di essere perpendicolare al vettore tangente  t . Questo è facilmente intuibile graficamente :

       

Il vettore    tende ad essere perpendicolare a    tanto più il punto  2  (punto di applicazione di  ) è vicino al punto  1 (punto di applicazione di  ).

Algebricamente abbiamo :

       

da cui, derivando, scriviamo :

        .

Calcolando la derivata del prodotto interno abbiamo :

       

cioè :

       

per cui  t  e    sono perpendicolari. Graficamente :

       

Ribadiamo che questo risultato vale solo se la curva è parametrizzata con la lunghezza, cioè se  .

Nei punti in cui la curvatura non è nulla, cioè dove  , è possibile definire un vettore unitario  , con  , detto vettore normale, tale per cui :

        .

Graficamente :

       

Il piano individuato da  t  ed  n  si chiama piano osculatore :

       

E' chiaro che nei punti dove la curvatura è nulla,  , non è possibile costruire il vettore normale né il piano osculatore. Tali punti si chiamano punti singolari di ordine  1 . Abbiamo perciò :

            punti singolari di ordine  0 (qui  s  indica un parametro qualunque) 

            punti singolari di ordine  1

Naturalmente, ci occuperemo in generale di curve prive di punti singolari (di entrambi tipi) estendendo così il concetto di curva regolare in modo da escludere anche i punti con curvatura nulla.

Definiamo ora il vettore  , detto vettore binormale, unitario, cioè con  , e perpendicolare al piano osculatore. Esattamente :

       

dove il simbolo    indica il prodotto vettoriale. 

Il vettore binormale è allora un vettore di norma  1  perpendicolare al piano osculatore e di verso ottenuto con la "regola della vite destrorsa" (si fa ruotare con una vite destrorsa il vettore  t  verso il vettore  n  compiendo l'angolo minore. Il verso di avanzamento della vite determina il verso di  b ) :

       

(in questo caso il verso di  b  è "sotto" il piano osculatore).

In ogni punto di una curva regolare parametrizzata dalla lunghezza (con curvatura diversa da  0 ) possiamo quindi costruire un triedro, detto triedro di Frenet, di fondamentale importanza per la teoria delle curve differenziabili.

Le curve regolari non parametrizzate con la lunghezza possono sempre, con un opportuno cambio di parametro, essere parametrizzate con la lunghezza. Le definizioni di vettori tangenti, normali e binormali possono quindi essere considerati indipendenti dalla scelta del parametro così come la definizione di curvatura. Tali concetti diventano allora proprietà locali applicabili a qualsiasi curva. Per le curve regolari, possiamo quindi sempre costruire il triedro di Frenet che assume, ribadiamolo, un significato geometrico al di là del parametro scelto.

Riassumendo ed introducendo altra utile "nomenclatura" :

        

(gli angoli in azzurro sono retti)

ovvero :

        retta tangente = retta contenente il vettore tangente  t

        retta normale principale = retta contenente il vettore normale  n

        retta binormale = retta contenente il vettore binormale

        piano osculatore = piano  tn

        piano rettificatore = piano  tb

        piano normale = piano nb

Il concetto di torsione per una curva esprime quanto il vettore binormale varia passando da un punto ad un altro vicino. Maggiore è questa variazione, maggiore è la torsione.

Il concetto di torsione è quindi legato alla derivata del vettore unitario    rispetto al parametro lunghezza  s. Siccome  tale vettore è unitario, il vettore    è perpendicolare a  .

D'altra parte, facendo la derivata di  rispetto ad  s  , otteniamo :

       

(omettiamo la dimostrazione non complicata della formula della derivata del prodotto vettoriale) essendo    ed  n  paralleli. 

Il vettore    è quindi perpendicolare anche a  t . Riassumendo,    è perpendicolare a  b  ed a  t  , quindi è parallelo ad  n .

Per questo motivo possiamo dare la definizione :

       

dove il numero    è detto torsione della curva in  s . 

La torsione, a differenza della curvatura, può assumere anche valori negativi. Ribadiamo ancora che la curva    è una curva regolare (non solo con tangente non nulla, ma anche con curvatura non nulla !!)  parametrizzata dalla lunghezza.

Se la torsione è nulla in ogni punto di una curva (con curvatura mai nulla), essa giace su di un piano e viceversa. Tali curve sono dette curve piane.

01,8 - Esempio riassuntivo.

Sia la curva :

       

con  s  reale,  a, b, c > 0 , .

Si tratta, come già sappiamo, di un'elica. Il vettore velocità è :

       

ed il vettore accelerazione è :

         .

S tratta di una curva regolare parametrizzata dalla lunghezza. Infatti :

       

essendo in questo caso  .

La curvatura  k  vale :

         

ed è costante.

Il vettore normale  n  è di conseguenza :

       

ed il vettore binormale  b  è :

       

dove    è la solita base ortonormale di  .

Il vettore    è :

       

per cui la torsione    è :

         

che risulta costante e negativa. Graficamente :

       

dove, per  s = 0 , per esempio abbiamo :

       

       

       

       

        .

01,9 - Formule di Frenet.

Le proprietà locali (perché funzioni del parametro cioè dei punti della curva) fin'ora viste di una curva regolare parametrizzata dalla lunghezza possono essere riassunte in poche e sintetiche formule, le cosiddette formule di Frenet. Esattamente :

        .

Si tratta di formule che legano le derivate rispetto al parametro  s  dei vettori tangente, normale e binormale con curvatura, torsione ed ancora i vettori tangente, normale e binormale punto per punto.

La prima e la terza formula sono note. Per ottenere la seconda, basta derivare    rispetto ad  s  e fare le dovute sostituzioni.

Si noti che, date le funzioni   k(s) > 0 e  , si può sempre costruire una curva regolare con tali curvatura e torsione (non riportiamo la dimostrazione di questa affermazione perché sufficientemente intuitiva). Fisicamente, ciò può essere fatto partendo da una retta e "deformandola" punto per punto in modo che abbia in ogni suo punto la curvatura e la torsione data.

02 - Superficie regolari.

Il concetto di superficie regolare trae origine dall'idea di prendere una parte di un piano e "deformarla" in modo che non si abbiano "auto-intersezioni", "bordi vivi", "punti acuti" e cose "irregolari" del genere. 

Una superficie regolare è allora un sottoinsieme di  in qualche modo a "due dimensioni" e che sia (la superficie) sufficientemente "liscia" in modo da potere applicare su di essa le regole del calcolo differenziale ed in particolare sia possibile costruire in ogni suo punto un piano tangente.

Esempi di superficie regolari : 

       

Esempi di insiemi che non sono superficie regolari :

       

(nelle superficie "aperte" si escludono sempre i punti appartenenti ai "bordi")

Vediamo ora come questi concetti si possono formalizzare in una definizione analitica.

02,1 - Definizione di superficie regolare.

Un sottoinsieme  S  di    è una superficie regolare se per ogni suo punto  p  esiste un intorno V  in  (qui per intorno di  p  intendiamo un qualunque sottoinsieme aperto di contenente  p ) ed una funzione su (suriettiva) :

        , 

dove  U  è un sottoinsieme aperto di  (si noti l'uso del grassetto per indicare la "vettorialità " della funzione), tale che :

        - 1 -    La funzione    è differenziabile (di classe  ). Se indichiamo le componenti di    nel seguente modo :

                             

                   oppure :

                            ,

con  , il fatto che    sia differenziabile significa che lo sono le tre funzioni   rispetto alle variabili  u  e  v  (si noti che    indica una funzione vettoriale e    la sua prima componente e che ciò non crea ambiguità).

        - 2 -    La funzione    è un omeomorfismo, cioè è continua (ciò è assicurato dalla condizione  - 1 - ) e dotata di inversa  anch'essa continua.

        - 3 -    Per ogni  q  di  U  il differenziale    è un operatore  1-1  (iniettivo). Questa condizione (illustrata più avanti) di importanza fondamentale va sotto il nome di condizione di regolarità.

Graficamente :

        

La funzione    così definita si chiama parametrizzazione della superficie  S  , oppure sistema di coordinate (curvilinee) (locali) in un intorno di  p . L'intorno    di  p  in S  è detto intorno coordinato.  

Le coordinate curvilinee sono rappresentabili geometricamente nel seguente modo. Consideriamo il punto    di  U  e la sua immagine  p  di  S . Consideriamo le rette di equazione  , contenute in  U . Le immagini di tali rette sono curve regolari sulla superficie  S  come indicato nel grafico :

       

Tali curve si incontrano in  p  e costituiscono le due curve coordinate passanti per  p .

Considerando più curve coordinate abbiamo :

       

Si noti come in questo modo il concetto di coordinate cartesiane definite sul piano sia generalizzabile su una superficie "curva".

Le equazioni parametriche delle due curve coordinate passanti per    sono :

           (per la curva coordinata  )

e :

           (per la curva coordinata  ).

Approfondiamo ora il significato delle  3  condizioni che definiscono una superficie regolare.

        - condizione 1 -    

Questa condizione risulta naturale se si vuole costruire una geometria basata sul calcolo differenziale. Si noti che, a differenza della definizione di curva regolare data nel precedente capitolo, qui una superficie regolare è definita non come una funzione ma come un sottoinsieme di punti di  che deve coincidere con il grafico di funzioni da sottoinsiemi di    a  , le varie parametrizzazioni della superficie.

        - condizione 2 -    

La condizione di omeomorfismo, per quanto concerne l'invertibilità di  , previene il fatto che si verifichino auto-intersezioni nella superficie cosa che introdurrebbe una non univocità del piano tangente nei punti di auto-intersezione. L'omoeomorfismo di    ha anche significati più profondi che apprezzeremo in seguito. Di fatto un omeomorfismo introduce una totale "equivalenza topologica" fra il sottoinsieme aperto  U  di    e la superficie  S  (limitatamente a  ).

        - condizione 3 -    

Questa condizione assicura l'esistenza di un piano tangente in ogni punto della superficie. Questo è un fatto di fondamentale importanza che costituisce la base di tutte le considerazioni future che faremo sulle superficie regolari.

Questa condizione fornisce una interpretazione algebrico/geometrica di fondamentale importanza.

Esprimiamo il differenziale    di    come operatore lineare rispetto alle basi canoniche di    ed  , cioè rispetto a  ,   per  con coordinate  , ed a  , , per  con coordinate  . Il differenziale è calcolato in un punto  q  di  U  che è sottoinsieme aperto di  , per cui scriveremo più precisamente  .

Per definizione si ha :

       

dove tutte le derivate vengono calcolate in  q .

Consideriamo ora la situazione rappresentata dal grafico :

        

Omettendo le ovvie specifiche del caso, riassumiamo il quadro affermando che la curva regolare    è definita dalla seguente parametrizzazione :

       

e la derivata    rappresenta il vettore tangente alla curva    in  q  per cui  .

La superficie regolare  S  è definita dalla seguente parametrizzazione :

         

La curva regolare    , appartenente ad  S , è definita dalla seguente parametrizzazione :

       

e la derivata    rappresenta il vettore tangente in  p  alla curva  per cui  .

Calcoliamo ora    (in funzione di  t ). Abbiamo :

        .

Abbiamo così ricavato l'importante risultato che il differenziale  applicato al vettore tangente in  q  ad una curva regolare di  passante per  q  fornisce un vettore di  coincidente con il vettore tangente in  p  alla curva immagine ottenuta tramite la parametrizzazione    della curva data .

Detto questo, applichiamo il differenziale    ai vettori di base    ,  . Otteniamo ovviamente :

       

e :

         

(passando, per comodità, ai vettori riga).

Siccome i vettori      ,    sono i vettori tangenti alle curve    e    rispettivamente in ogni loro punto (considerando le parametrizzazioni    e  ), abbiamo che i vettori  ,   sono i vettori tangenti alle curve coordinate come indicato nel grafico :

       

(l'apparente ortogonalità dei due vettori tangenti alle curve coordinate (in  ) è del tutto casuale)

Questo è un risultato fondamentale in geometria differenziale. 

Orbene, la condizione di iniettività dell'operatore    in ogni punto di  U  è equivalente alle seguenti affermazioni :

        -   I due vettori    ,  , ovvero le due vettori colonna che costituiscono  , sono linearmente indipendenti per ogni  q  di  U .

        -    Il prodotto vettoriale fra i vettori suddetti è diverso da  0  per ogni  q  di  U , ovvero  .

        -    Esiste almeno un minore di ordine  2  della matrice   , ovvero almeno uno dei determinanti jacobiani , , , diverso da  0  per ogni  q  di U.

Con queste importanti precisazioni è possibile verificare più agevolmente se la condizione  - 3 -  della definizione di superficie regolare è soddisfatta o non. Inoltre queste precisazioni forniscono una "chiave" geometrica per la comprensione del concetto di superficie regolare.

I vettori   ,   costituiscono così una base per il piano tangente in  p  alla superficie.

02,2 - Esempi di superficie regolare.

Presentiamo qui alcuni esempi molto "didattici" di superficie regolare.

        - 1 -    sfera unitaria   

                   Si tratta dell'insieme :

                             

                   il cui grafico è :

                           

                   Di    forniamo tre diverse parametrizzazioni.

                   - metodo della proiezione ortogonale 

                   Sia    la funzione che proietta ortogonalmente un punto di     su  (coincidente con il piano  z = 0 ). Graficamente :

                           

                   Consideriamo l'emisfera sopra il piano  z = 0  escludendo il bordo giacente sul piano stesso e proiettiamone (ortogonalmente) i punti sul piano  z = 0 . Graficamente :

                            

                    Una parametrizzazione di    è di conseguenza la funzione :

                              con    dove  .

                   La dimostrazione effettiva (verifica delle tre condizioni presenti nella definizione di superficie regolare) che    costituisce una parametrizzazione di  è semplice e la omettiamo. 

                   E' evidente che la funzione    copre l'emisfera in oggetto e non a tutta la sfera. Occorre allora cercare altre parametrizzazioni relative ad ogni altro punto di  . La cosa è facile, continuando con il medesimo metodo, considerando le necessarie proiezioni ortogonali su altri appositi piani. Riportiamo direttamente il risultato completo (comprensivo anche di  ) :

                           

                            

                           

                           

                           

                            .

                   Le sei parametrizzazioni coprono completamente  (i domini  U  delle funzioni sono evidenti, per cui non li abbiamo riportati).

                   Si noti che  ed  , assieme, ricoprono tutta la sfera meno l'equatore.

                            - coordinate sferiche (geografiche)

                   Introduciamo gli angoli  ,    rispettivamente detti colatitudine (complementare della latitudine) e longitudine così come indicato nel grafico :

                           

                   (gli angoli sono orientati nel senso delle frecce)

                   I punti  N  ed  S  sono detti polo nord  e polo sud.

                   Una parametrizzazione di     è allora (omettiamo la verifica delle tre condizioni che definiscono una superficie regolare) :

                            con    dove   . 

                   Si noti che  U  è un aperto e che l'immagine di  U  , , ricopre  con esclusione della semicirconfernza     indicata in figura (compresi i due poli) :

                            

                   Per ricoprire completamente    occorreranno due parametrizzazioni di questo tipo. Quella appena descritta ed un'altra qualsiasi in cui  la curva  (e i poli), esclusa dalla parametrizzazione, siano scelti opportunamente come per esempio indicato nel grafico :

                           

                   (la presente curva    non interseca la precendente)

                            - metodo della proiezione stereografica

                   Consideriamo la sfera    di raggio  1  e centro  (0,0,1)  di equazione  . Mandiamo dal polo nord  N  una semiretta che incontra la sfera in un altro punto, P , ed il piano  z = 0  nel punto  Q . Tale costruzione, detta proiezione stereografica, proietta il punto della sfera  P  sul piano tangente alla sfera nel suo polo sud  S . Graficamente :

                           

                   Non è difficile dimostrare che la funzione :

                              , con    dove  ,

                   rappresenta una parametrizzazione di   , dove  u, v  sono le coordinate di  Q  sul piano  z = 0 , ottenuta tramite proiezione stereografica. Tale parametrizzazione esclude il punto  N . Per coprire completamente    basta aggiungere alla suddetta parametrizzazione quella analoga che si ricava proiettando stereograficamente dal polo sud sul piano tangente al polo nord.

        - 2 -    toro  T 

                   Un toro è una superficie ottenuta facendo ruotare una circonferenza posta su un piano attorno ad un asse complanare al piano stesso che però non intersechi la circonferenza. Sia  r  il raggio della circonferenza ed  a  la distanza del centro della circonferenza dall'asse di rotazione (con  a > r ). Graficamente :

                           

                   Costruendo la superficie di rotazione si ottiene (in prospettiva) :

                           

                   Una parametrizzazione del toro la si ottiene introducendo gli angoli  u , v  come indicato in figura :

                            

                   E' facile ricavare che una tale parametrizzazione di  T  è :

                              , con    dove  .

                   Si dimostra che questa funzione soddisfa i tre requisiti che definiscono una superficie regolare. Da questa parametrizzazione restano escluse le circonferenze  ,   indicate nel grafico :

                           

                   Per ricoprire tutto  T  basteranno tre parametrizzazioni di questo tipo.

02,3 - Alcuni teoremi che semplificano l'utilizzazione della definizione di superficie regolare.

La verifica delle tre condizioni che caratterizzano una superficie regolare può essere molto complessa a livello di calcolo. Vengono allora in aiuto alcuni teoremi che possono semplificare considerevolmente tale verifica. Enunciamoli senza dimostrazione.

        - 1 -    Sia  , dove  U  è un aperto di    , una funzione differenziabile (di classe  ). Allora il grafico di  f  , ovvero il sottoinsieme di  delle terne ordinate  , è una superficie regolare.

        - 2 -    Sia  , dove  U  è un aperto di  , una funzione differenziabile (di classe  ). Sia l'immagine  un valore regolare di   f  , cioè sia l'immagine di un punto regolare di  U  (cioè di un punto non critico di  f , quindi tale che  f  abbia tutte le derivate parziali non nulle in quel punto) . Allora    è una superficie regolare (attenzione,  f  in generale non è 1-1 ).

        - 3 -    Sia  S  una superficie regolare e  p  un suo punto. Allora esiste un intorno  V  di  p  contenuto in  S  tale che  V  è il grafico di una funzione differenziabile (di classe  ) che possiede una delle seguenti tre forme  ,  , .

        - 4 -    Sia  S  una superficie regolare e  p  un suo punto. Sia  , dove  U  è un aperto di  , e  p  sia un punto di    sottoinsieme di  S . La funzione    soddisfi le condizioni  - 1 -  e  - 3 -  della definizione di superficie regolare e sia  1-1 . Allora    è continua.

Riportiamo alcuni esempi di superficie la cui regolarità è di immediata verifica alla luce dei suddetti teoremi.

Esempi :

        - 1 -    ellissoide

                   L'equazione    , con  a, b, c,  reali positivi, definisce un ellissoide che è, per il suddetto teorema - 2 - , una superficie regolare. Se  a = b = c  si ha come caso particolare una sfera. Graficamente :

                           

        - 2 -    iperboloide

                   L'equazione    rappresenta un iperboloide (a due facce). Si tratta di una superficie regolare (sempre per il teorema  - 2 - ). Graficamente :

                           

                   Si noti che questo è un caso di superficie non connessa (la connessione non è un requisito nella definizione di superficie regolare).

Fine.

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