E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Geodetiche e mappe esponenziali su superficie regolari in   

Le curve di una superficie regolare di  (che giacciono su di essa) e che hanno lunghezza minima sono dette geodetiche

Una geodetica può essere definita anche come una curva per cui in ogni suo punto il vettore accelerazione (derivata del vettore velocità ovvero del vettore tangente alla curva rispetto al parametro che la parametrizza) è perpendicolare al piano tangente alla superficie (in quel punto) ovvero per cui la derivata covariante del vettore tangente alla curva è nullo.

Le due definizioni sono, sotto opportune condizioni, equivalenti.

E' evidente, quindi, che il concetto di derivata covariante gioca qui un ruolo fondamentale. Per questo si rimanda alla pagina :

        Derivata covariante .

Nella presente pagina mostreremo le geodetiche (definite per le superficie regolari di ) nel secondo modo, ovvero come curve con derivata covariante nulla del vettore tangente. Mostreremo anche le mappe esponenziali che delle goedetiche sono le prime applicazioni.

Le applicazioni del concetto di geodetica sono molte e di fondamentale importanza semplicemente perché esse sono l' "analogo" negli spazi curvi delle rette nello spazio euclideo. Con le geodetiche si "costruisce" la geometria di uno spazio non euclideo così come lo si fa con le rette nello spazio euclideo.

Infine, il concetto di geodetica è fondamentale anche per la fisica. Secondo la teoria della relatività generale, una particella libera si muove nello spazio-tempo seguendo una geodetica (del medesimo).

I concetti qui mostrati possono essere estesi a varietà riemanniane di qualunque dimensione.

01- Definizione ed equazione della geodetica.

Consideriamo qui e nel resto della pagina la superficie regolare    immersa in  parametrizzata da :

        .

Graficamente :

       

Una geodetica    di    è una curva regolare (appartenente alla superficie stessa) per cui in ogni suo punto la derivata covariante del vettore tangente (alla curva) risulta identicamente nullo.

La geodetica    è perciò una curva per cui vale :

       

dove con il simbolo    si indica appunto la derivata covariante.

La definizione di geodetica implica quindi che :

       

dove :

         

e :

          

costituiscono la base associata alla parametrizzazione  dello spazio tangente    (   è un punto di  ).

L'annullarsi dei due prodotti interni scritti sopra significa che il vettore accelerazione    di una geodetica    è perpendicolare allo spazio tangente    in ogni punto    della geodetica stessa.

Poiché :

         

e :

        ,

dove  , si ha :

       

da cui :

        .

Si deduce perciò l'importante risultato che la norma del vettore tangente ad una geodetica in un qualsiasi suo punto è costante, cioè si ha :

        costante. 

Per quanto mostrato nella pagina nominata sopra ( Derivata covariante ), risulta evidente che l'equazione della geodetica :

       

riferita alle coordinate    è :

          con   

dove    sono i simboli di Christoffel della connessione riemanniana per la metrica indotta da    su  .

Graficamente :

       

In forma estesa, il sistema che definisce una geodetica diventa :

         

ovvero :

                 

essendo :

        .

Si tratta evidentemente di un sistema di due equazioni differenziali non lineari del secondo ordine nelle incognite  che è risolubile analiticamente solo in pochi casi.

Occorrono quindi, nei casi concreti, metodi numerici.

02 - Approssimazione numerica dell'equazione della geodetica.

Il sistema  può essere approssimato numericamente nel seguente modo.

Siano le condizioni iniziali per il il valore del parametro  :

        , .

I valori iniziali delle derivate seconde sono :

        .

Scriviamo il seguente programma iterativo :

        inizio

       

         

       

       

       

       

       

        torna all' inizio.

Un tale programma fornisce una costruzione punto per punto della geodetica cercata in modo tanto più preciso quanto più :

        .

L'errore evidentemente si propaga iterazione per iterazione.

Seguono alcuni esempi elaborati con il programma (che utilizza il precedente metodo numerico) :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Superficie/superficie.htm 

(nel programma indicato, le geodetiche (di colore rosa) sono parametrizzate dalla lunghezza  in modo che il vettore tangente ha sempre norma unitaria).

(le curve nei riquadri a destra sono le geodetiche rispetto alle coordinate    ovvero le soluzioni del sistema  , sulle superficie sono poi tracciate le geodetiche effettive)

        - 1 -    geodetiche sulla sfera

       

Si tratta, come ben si sa, di archi di cerchio massimo.

Nel grafico successivo si vede la "bontà" del metodo numerico. Dopo un "giro" completo, la geodetica ritorna al "punto di partenza" e l'errore commesso è trascurabile (almeno dal punto di vista qualitativo, restando esso dell'ordine di un pixel) :

       

        - 2 -    geodetiche sul toro

Qui una geodetica si "avvita" attorno al toro :

       

Qui, invece, la geodetica tende asintoticamente al parallelo minimo del toro :

        

03 - La mappa esponenziale.

Sia    lo spazio tangente alla superficie    in un suo punto  . Si tratta evidentemente di un piano la cui base associata alla parametrizzazione  è :

       

dove :

       

        .

Graficamente :

       

dove :

       

ed, introducendo la base canonica   di  :

       

        .

Consideriamo i vettori    di     e    di  per cui :

        .

Graficamente :

       

Se :

       

allora si ha :

        .

Consideriamo ora la geodetica    che "parte" da  con tangente  e "giunge" in  in modo che :

       

dove con    si intende la lunghezza della geodetica in questione.

Si tratta quindi di disegnare la geodetica (unica) con punto iniziale    e velocità iniziale  (il vettore tangente ad una curva si chiama anche, come in fisica, vettore velocità) lunga esattamente quanto è lungo il vettore  .

Se facciamo questo per ogni vettore di    otteniamo una applicazione da    a    di grande importanza per la geometria differenziale. Tale applicazione si chiama mappa esponenziale (non vi è riferimento alla funzione esponenziale elementare !) e si indica come :

       

per cui :

        .

Graficamente :

       

La base    di  in generale non è ortonormale perché i   della metrica di    non sono in generale uguali alla matrice unità. Infatti è :

        .

E' conveniente allora introdurre una base ortonormale in    , che chiameremo  , e trovare le relazioni che legano le due basi  ,  e le componenti del vettore     di    rispetto alle medesime.

Graficamente, facendo coincidere per convenienza direzione e verso dei vettori   ,  :

       

        (si noti che    coincide con l'origine di  )

Si ha :

          

con  .

Essendo :

       

       

        ,

possiamo scrivere :

        .

Viceversa, si ricava direttamente :

        .

Introduciamo il vettore  :

        

Il vettore    nelle due basi è dato da :

       

          .

Si deve perciò avere :

        .

Utilizzando le formule precedenti si ottiene facilmente :

        .

Si ha inoltre :

        .

Se    è una curva di    si ha l'interessante grafico :

       

        (proporzioni arbitrarie)

        (   è l'applicazione identica)

che mostra come    viene trasformato dalla mappa esponenziale.

La curva    può essere rappresentata nel seguente modo in  :

       

I vettori in gioco sono :

       

        con 

        con   ,    

                essendo    la base associata ad  di  e    la base canonica di    legate fra loro come mostrato in precedenza  

          da cui 

        .

Il suddetto schema porta direttamente alla stesura di un programma di calcolo numerico che, accettando in input la curva :

          di 

fornisce la curva :

         

che è la mappa esponenziale della curva  .

Una tale programma è disponibile alla pagina :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/MappaEsponenziale/mappaesponenziale.htm .

04 - Alcune importanti applicazioni della mappa esponenziale.

La mappa esponenziale    permette di definire applicazioni fra sottoinsiemi dello spazio tangente    ed    che possono essere diffeomorfismi

Se due insiemi sono diffeomorfi (ovvero esiste un diffeomorfismo che li lega) allora essi sono "equivalenti" (dal punto di vista della geometria differenziale).

E' chiaro, quindi, che, quando possibile, i diffeomorfismi vanno sempre ricercati.

Prendiamo un intorno    di    appartenente  . Diciamo, per semplicità, che un intorno di un punto è un insieme aperto che contiene quel punto.

L'insieme :

       

è l'immagine dell'insieme    tramite la mappa esponenziale  . 

Graficamente :

       

        (prospettive e proporzioni arbitrarie)

Supponiamo che l'applicazione :

       

sia un diffeomorfismo (un teorema assicura che è sempre possibile che ciò avvenga scegliendo un opportuno  e ciò è piuttosto verosimile ed intuitivo).

Orbene, l'insieme    è detto intorno normale di    (sulla superficie) (si sottolinea che questa definizione presuppone il diffeomorfismo).. 

E' chiaro quindi che, con la definizione di intorni normali è possibile costruire una topologia metrica su una superficie regolare e questo è di fondamentale importanza.

In particolare, se    è una palla aperta di    centrata in    (nel nostro caso bidimensionale, un cerchio), l'intorno normale    si chiama palla normale (o palla geodetica).

A questo punto siamo in grado di stabile un criterio generale per stabilire quando una geodetica (definita a partire dalla derivata covariante) è anche una curva di lunghezza minima. Una geodetica che unisce due punti di in una palla aperta ed è in essa contenuta è anche la curva di  minima lunghezza che collega quei punti.

Non dimostreremo questa fondamentale affermazione ma ci limiteremo a suffragarla mostrando graficamente l'esempio "classico" del cilindro.

       

Le curve  ,   sono entrambe geodetiche ma solo    minimizza la distanza (sulla superficie) fra i punti    e  . La geodetica    è contenuta in una palla normale di centro  .

Viceversa, si dimostra che ogni curva che minimizza la distanza (sulla superficie) è una geodetica.

Con la mappa esponenziale, nel caso che essa costituisca un diffeomorfismo, si possono costruire particolari sistemi di coordinate per una superficie. Esempi di ciò sono le coordinate normali e le coordinate polari geodetiche.

Graficamente :

       

e :

       

Abbiamo così concluso una rapida "panoramica" su geodetiche e mappe esponenziali.

Fine.

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