E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Derivata covariante su superficie regolari in   

Il concetto di derivata covariante permette di calcolare la derivata di vettori definiti sugli spazi tangenti a varietà (spazi) curve. Ciò fornisce la possibilità di estendere a varietà curve l'ordinaria derivazione definita sugli spazi euclidei.

La derivata covariante permette di eseguire il trasporto parallelo di un vettore e di tracciare curve geodetiche (di minima lunghezze) su varietà curve.

E' quindi evidente che la derivata covariante sia un "pilastro fondamentale" di tutta la geometria differenziale ed il calcolo tensoriale ad essa associato.

Essendo poi la geometria differenziale (ed il calcolo tensoriale) alla base della teoria della relatività generale, questo fatto amplifica ulteriormente l'importanza della derivata covariante.

In questa pagina presentiamo una trattazione completa della derivata covariante relativamente al caso delle superficie regolari in  . Il concetto di derivata covariante è poi estendibile a varietà differenziabili riemanniane di qualunque dimensione.

01 - Definizione di derivata covariante.

Consideriamo la superficie regolare  di  indicata nel grafico :

        

Nel grafico sono indicati tutti gli oggetti di cui tratteremo. Le notazioni che useremo saranno le più "intuitive" possibili (anche a costo di un loro abuso).

La superficie    è parametrizzata dalla funzione  definita da :

        .

La curva    di    è definita da :

        .

La corrispondente curva    di    è definita da :

        .

I vettori tangenti in    ad   :

        , ,

essendo  , costituiscono la base   , associata alla parametrizzazione di   , del piano tangente  .

Il vettore normale unitario  , perpendicolare al piano tangente  . è definito da :

        .

E' dato il campo vettoriale   in  definito lungo la curva  . Esso vale :

         

(usiamo indifferentemente vettori riga o colonna). 

Il corrispondente campo vettoriale    tangente  lungo    sarà :

        .

La derivata totale di    rispetto al parametro  è :

          

(per la derivata rispetto al parametro usiamo indifferentemente la notazione od il punto).

Il vettore    in generale non giace sul piano tangente  .

Si definisce derivata covariante    del campo vettoriale  in  (rispetto alla curva ) la proiezione ortogonale del vettore  sul piano tangente  .

E' evidente dalla definizione, che la derivata covariante è un vettore anch'esso giacente sul piano tangente alla superficie. Applicando la definizione per tutti i punti della curva    si ottiene la derivata covariante come funzione dei punti della curva, ovvero come campo vettoriale lungo la curva.

Ricaviamo ora la formula della derivata covariante. Prima, però, abbiamo bisogno di alcuni risultati preliminari

02 - Componenti di un vettore rispetto alla base  ed altri risultati preliminari.

Siano :

       

         

         

con :

       

dove    è la base canonica di  .

Si vogliano trovare le componenti del vettore :

       

rispetto alla base  .

Tali componenti siano :

       

per cui possiamo scrivere :

        .

Avremo :

       

ovvero :

        .

Risolvendo, si ottiene :

       

       

       

dove, a destra, abbiamo utilizzato la nota formula del calcolo vettoriale che lega determinante, prodotto vettoriale e prodotto interno in 

In seguito useremo anche le seguenti importanti formule del calcolo vettoriale in 

Si ha : 

       

       

da cui si ricava :

       

e quindi :

        .

Si ha :

          

(i vettori    ed  sono allineati !).

Si ha infine :

          .

03 - Tensore metrico.

La norma quadra di un generico vettore    di  (rispetto alla base  associata alla parametrizzazione) è :

       

e prende il nome di prima forma fondamentale della superficie  in  .

I coefficienti della prima forma fondamentale vengono indicati come :

        .

Gauss dimostrò che le proprietà metriche delle superficie (la definizione di lunghezze, angoli, aree sulla superficie, ma anche la curvatura) dipendono da tali coefficienti che per questo assumono un ruolo fondamentale nella geometria differenziale.

In termini più moderni, i coefficienti    si indicano con il tensore metrico    così definito (in forma matriciale) :

       

che è evidentemente simmetrico ( ).

Il determinante del tensore metrico vale :

        .

Il tensore metrico inverso  è definito da :

        .

Nella presente notazione, si ha perciò :

       

e :

        .

04 - Proseguimento calcolo derivata covariante.

Ritorniamo alla formula :

         

e proseguiamo con lo sviluppo dei calcoli ricordando che il vettore    in generale non giace sul piano tangente     e che la derivata covariante    è definita come la proiezione ortogonale del vettore  sul piano tangente  .

Per eseguire tale proiezione, dobbiamo trovare le componenti del vettore    rispetto alla base  .

Dobbiamo essenzialmente trovare le componenti dei vettori  , rispetto a tale base.

Ricordiamo che :

        , .

Si ha :

          

che, ponendo :

        ,

diventano più semplicemente :

        .

Esprimiamo questi ultimi vettori nelle loro componenti rispetto alla base  scrivendo :

        .

Sostituendo e raccogliendo, la formula :

       

diventa :

        .

La derivata covariante risulta allora essere :

        .

Introduciamo i simboli di Christoffel    così definiti :

        .

La derivata covariante può quindi essere più sinteticamente definita come :

        con  , .

Ricaviamo ora i valori dei simboli di Christoffel.

Utilizzando le formule che forniscono le componenti di un vettore rispetto alla base  , si ha :

         

         

       

       

       

        .

Sviluppando, si ottiene :

       

       

       

       

         

        .

Rimangono da calcolare gli ultimi prodotti interni.

Si ha :

         

          (vedi più avanti)

         

       

          (vedi più avanti)

        .

Per calcolare il termine    si può procedere nel seguente modo.

Si ha :

       

da cui si ricava :

         .

Analogamente, per calcolare   si procede considerando che :

       

da cui si ricava :

        .

A questo punto possiamo infine esprimere i valori dei simboli di Christoffel.

Si ha :

        

       

       

       

       

        .

Si simboli di Christoffel così trovati possono essere scritti più sinteticamente utilizzando anche il tensore metrico inverso  .

Si ha :

        .

05 - Conclusione.

Riassumendo, la formula della derivata covariante del campo vettoriale  tangente ad una superficie regolare di  lungo una sua curva è :

         

con :

       

dove :

         , ,

e :

       

e :

        .

I campi vettoriali lungo una curva che hanno derivata covariante nulla in tutti i punti sono detti campi paralleli.

Le curve su una superficie per cui la derivata covariante del vettore tangente è nulla in tutti i punti sono dette geodetiche.

Questo è l'inizio di una nuova storia ...

Fine.

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