E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Analisi di Fourier  

In questa pagina esporremo in forma semplice ed informale uno dei più importanti capitoli di tutta la matematica, l'analisi di Fourier. Con questo "strumento" è possibile essenzialmente scomporre una funzione in componenti sinusoidali (e cosinusoidali), ovvero esprimere una funzione come somma di sinusoidi (e cosinusoidi) . 

Le applicazioni dell'analisi di Fourier alla fisica sono per questo fondamentali. Basti pensare all'analisi spettrale di un'onda elettromagnetica (nella teoria del campo elettromagnetico), o all'analisi spettrale di un segnale (nella teoria dei segnali in elettronica) ed ancora di più alla meccanica quantistica, dove la suddetta analisi ne costituisce uno dei principali fondamenti.

Il concetto di partenza è che una funzione è un vettore e che gli spazi funzionali (insiemi di funzioni) sono spazi vettoriali. Per una semplice spiegazione di questo si rimanda ala pagina :

        http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/FunzioniComeVettori.htm 

01 - Lo spazio funzionale  .

Concentriamo la nostra attenzione sullo spazio di Hilbert delle funzioni a quadrato sommabile a valori complessi (prendendo anche l'infinito, vedi subito sotto) definite sull'intervallo reale    dove  .

In dettaglio.

Si tratta di funzioni  dove con    si intende l'insieme dei numeri complessi  dove si prende anche  . Ovviamente   .

Per funzione a quadrato sommabile si intende una funzione per cui l'integrale :

       

ha un valore reale finito.

Per spazio di Hilbert si considera uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno (in fisica si dice spesso prodotto scalare) e completo. Sul concetto di completezza non ci soffermeremo, essendo qui l'esposizione molto semplificata.

Il prodotto interno fra due funzioni, in simbolo    , lo definiamo con la formula :

       

dove con    si intende il coniugato complesso di  , cioè    essendo  .

Il prodotto interno definisce la norma (modulo) di un vettore tramite la formula :

         

e la norma definisce la distanza :

        .

Evidentemente avremo :

       

e :

        .

Occorre anche precisare che in realtà i vettori di    non sono le funzioni stesse, ma le loro classi di funzioni equivalenti. Due funzioni si dicono, in questo contesto, equivalenti se differiscono solo in un sottoinsieme del dominio di L-misura nulla (L-misura = misura di Lebesgue). 

Un insieme di L-misura nulla è per esempio un insieme finito o numerabile di punti. Allora, per esempio, le funzioni    e    differiscono solo nel punto    e quindi sono equivalenti (pur essendo propriamente diverse).

Questa precisazione, che ha a che fare con l'esigenza di completezza di   , non comporta però per noi particolari complicazioni. Continueremo a considerare come vettori di    le singole funzioni le quali sono poi in effetti le rappresentanti delle varie classi di  .

02 - Un sistema ortonormale per  .

Consideriamo l'insieme di funzioni :

          

con  ,  , essendo    l'insieme dei numeri interi.

Dimostriamo che esse costituiscono un sistema ortonormale ovvero che vale la relazione :

       

(la    è detta delta di Kronecker ).

Si dice ortonormale sottintendendo sia ortogonale che normale

Due vettori ortogonali (perpendicolari) sono tali, così come ben sappiamo dalla geometria elementare, quando il loro prodotto interno è nullo. Infatti, essendo  , se l'angolo    fra i due vettori è retto, allora il coseno è nullo, per cui il prodotto interno è nullo.

Un vettore è normalizzato se la sua norma (lunghezza) vale uno. In questo caso, .

Negli spazi funzionali, gli usuali concetti della geometria elementare circa i vettori continuano a valere.

Procediamo con la dimostrazione che il sistema    è ortonormale.

Si ha :

          , con  ,

e :

        , con  . 

Ciò prova che il sistema     è ortonormale.

03 - Sviluppo in serie di Fourier.

Prendiamo ora una funzione    di    e troviamo le sue componenti rispetto al sistema ortonormale  . Esse sono :

        .

Se poi eseguiamo la somma :

       

otteniamo, se il sistema ortonormale    fosse completo, la funzione  stessa.

Abbiamo cioè :

        .

Questa formula è detta sviluppo in serie di Fourier di una funzione e le componenti  , coefficienti di Fourier.

Esplicitando l'integrale, otteniamo :

        .

Questa è la formula che cercavamo !! Con essa è possibile sviluppare in serie una funzione data rispetto a funzioni tipo seno e coseno di frequenza determinata (multiple di numeri interi).

In realtà, non sappiamo se ogni funzione di    può essere sviluppata in questo modo. Ciò dipende dal fatto se il sistema ortonormale    che abbiamo utilizzato è un sistema ortonormale completo o non.

Non ci addentriamo in questa problematica e ci limitiamo semplicemente ad affermare che    è completo per cui lo sviluppo in serie di Fourier è sempre possibile anche se la convergenza della serie va considerata non puntualmente, ma in media (come si dice), cioè se, chiamando con    la somma parziale della sommatoria infinita scritta sopra, si ha :

         

(abbiamo semplificato la formula per convenienza considerando    solo naturale e non intero).

Poniamo ora :

         

e chiamiamola frequenza.

Lo sviluppo di    diventa allora più semplicemente :

        .

Il senso "fisico" della formula ora è più chiaro : la funzione    è sviluppabile in serie ciascun elemento della quale rappresenta la componente della funzione secondo una data frequenza.

04 - Passaggio al limite    ovvero la trasformazione di Fourier.

Fino ad ora abbiamo considerato funzioni definite su un intervallo limitato, segnatamente su  . E' possibile applicare i concetti visti sopra a funzioni definite su tutto  , cioè da    a  ?

La risposta è affermativa, basta eseguire il limite  .

Quando    cresce, la distanza fra valori successivi di    diventa sempre più piccola. Tale distanza vale  .

Possiamo allora affermare, con un certo abuso di simbolismo, che, quando    tende all'infinito, abbiamo :

         

da cui :

          .

Lo formula dello sviluppo in serie di Fourier diventa, nel caso di  , allora (sempre abusando nel simbolismo) :

        .

L'integrale interno è la cosiddetta trasformazione di Fourier, cioè :

       

mentre l'integrale esterno è l'antitrasformazione di Fourier, per cui si ha :

         

(nella letteratura si trova anche trasformata e antitrasformata con i segni dell'unità immaginaria invertiti oppure con diversi coefficienti moltiplicatori).

Il significato di trasformazione e antitrasformazione di Fourier è chiaro. Presa una funzione    definita su tutto  , la sua trasformata di Fourier    rappresenta la componente della funzione rispetto alla frequenza  . La trasformata di Fourier rappresenta quindi lo spettro in frequenza di una funzione definita su tutto  . L'antitrasformata di Fourier fornisce la funzione originaria.

05 - Esempi.

Gli integrali dell'analisi di Fourier sono risolubili analiticamente in pochi casi. Per questo motivo si ricorre, nei casi pratici, all'approssimazione numerica al computer.

Nella sezione di calcolo numerico di questo sito, sono presenti appositi programmi numerici per lo sviluppo in serie di Fourier sull'intervallo  e per la trasformazione/antitrasformazione di Fourier :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/SerieDiFourier/seriedifourier.htm 

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/TrasformataDiFourier/trasformatadifourier.htm .

Si noti che, per la serie di Fourier, si è scelto un differente ma analogo sistema ortonormale, trattando il suddetto programma funzioni a valori reali.

    -    sviluppo in serie di Fourier di una funzione a forma di rettangolo

        serie troncata a   

       

        serie troncata a   

       

        serie troncata a   

       

        serie troncata a   

       

        serie troncata a   

       

Si noti che lo sviluppo in serie di Fourier, aumentando il numero dei termini, tende alla funzione data in modo non puntuale. Nei punti di discontinuità della funzione non si avrà convergenza ai valori della funzione !!! La convergenza della serie va quindi intesa in media.

 

    -    trasformazione di Fourier di una funzione a forma di rettangolo

        non "centrato"

       

        "centrato"

       

Fine.

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