E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Un viaggio fantastico ... (3' parte)

06 - Curvatura in coordinate locali.

Nella pagina precedente abbiamo mostrato le principali proprietà dell'operatore  e di come si definisce la 

curvatura gaussiana  . 

In questa pagina forniamo delle formule analitiche per il calcolo delle componenti di  rispetto alla base  
del piano tangente  . Tali formule, dette equazioni di Weingarten, sono espresse nelle coordinate 
locali  .

Conoscendo le componenti di    si ricava direttamente la curvatura gaussiana    che è definita come :

        ,

essendo tale valore indipendente dalla base in cui è espresso  .

Riportiamo di seguito il grafico riassuntivo in cui sono definiti tutti gli "oggetti" che useremo :

       

e ricordiamo che  

          , 

       
,    

       
  , 

       
  , 

       
  .

Siccome i vettori    appartengono a 
, possiamo scrivere :

       

e quindi :

       

ovvero :

        .

Nella base    il vettore    vale :

       

per cui, nella stessa base, possiamo scrivere :

        .

La matrice    rappresenta quindi l'operatore  
  nella base    di  .

Scriviamo allora :

        .

Proponiamoci allora di determinare gli elementi della suddetta matrice.

Calcoliamo la seconda forma fondamentale    per 
.

Essa vale :

         

che può essere scritta nella forma :

       

in analogia con la prima forma fondamentale :

       

dove  :

   
     .

Le funzioni    , tenendo presente che  , per cui    
ecc. , risultano : 

          .

Siccome abbiamo posto sopra che :

       
,

ricaviamo direttamente :

        .

Da queste formule non è difficile ricavare :

        .

Queste importanti formule, sono dette equazioni di Weingarten.

Si noti la non simmetria della matrice 
pur essendo tale operatore autoaggiunto. Ciò dipende dal fatto che la 
base    non è in generale ortonormale

Con queste formule è possibile ricavare direttamente la curvatura gaussiana    di una superficie espressa in 
coordinate locali 
. Questo fatto è di estrema importanza perché permette di ignorare completamente lo 
spazio in cui la superficie    è immersa e questo secondo i concetti della geometria intrinseca, concetti
che valgono per le proprietà metriche della superficie.

I concetti della geometria intrinseca permettono quindi di descrivere molte proprietà di una superficie stando 
al suo interno, ovvero usando le sue sole coordinate curvilinee

Ciò è alla base della teoria della relatività generale, teoria basata sul fatto che le proprietà metriche dello 
spazio-tempo, nonché la sua curvatura, sono definite dalle masse ed esprimibili in funzione delle sole coordinate 
curvilinee
definite nello spazio-tempo stesso.

L'unico problema è che lo spazio-tempo non è una superficie2  dimensioni !!! Ecco allora che i concetti
di metrica e curvatura debbono essere estesi a più dimensioni, estesi cioè alle cosiddette varietà differenziabili 
n-dimensionali che sono la naturale generalizzazione delle superficie regolari bidimensionali.

Nell'ultimo paragrafo di questa pagina mostreremo, solo a livello di semplice informazione, alcune idee fondamentali 
circa queste problematiche.

Ora presentiamo un interessante esempio di applicazione delle equazioni ricavate sopra.

07 - Esempio.

Consideriamo il toro ottenuto facendo ruotare un cerchio di raggio  attorno ad una retta ad esso complanare in 
modo che il centro del cerchio tracci una conferenza di raggio    con  . 

Graficamente :

       

Una parametrizzazione del toro è facilmente deducibile osservando il grafico :

       

Abbiamo perciò :

       

con :

        ,  .

Il grafico del toro con le sue coordinate curvilinee (secondo la parametrizzazione di cui sopra), dove abbiamo posto  
,  , è il seguente :

        

Con calcoli semplici (ma laboriosi), applicando le equazioni di Weingarten, otteniamo :

        .

Come si vede dalla formula e come era facile prevedere, la curvatura 
  del toro dipende solo dall'angolo  .

Il grafico di 
  rispetto ad     è quindi :  

       

La sciamo al lettore la semplice individuazione dei punti parabolici, ellittici ed iperbolici del toro.

08 - Curvatura di una varietà differenziabile n-dimensionale. 

La generalizzazione a più dimensioni dei concetti relativi alle superficie regolari di 
avviene con l'introduzione 
delle varietà differenziabili n-dimensionali.

Tale teoria è sviluppabile dell'ambito del calcolo tensoriale all'interno del quale il concetto di curvatura è definito
seguendo la seguente linea di sviluppo (ci limitiamo ad enunciarne i capisaldi) :

        -    tensore metrico    (l'analogo delle funzioni  E , F , G )

        -    derivata covariante

        -    tensore di Riemann    

        -    tensore di Ricci  

        -    curvatura scalare  .

Senza entrare in ulteriori particolari (esulerebbero dallo scopo di queste pagine) facciamo notare semplicemente che, 
per le superficie regolari di 
, vale la semplice relazione :

       

fra curvatura gaussiana 
  curvatura scalare  .

Fine. 

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