Miscellanea
Un viaggio fantastico ... (3' parte)
06 - Curvatura in coordinate locali.
Nella pagina precedente abbiamo mostrato le principali proprietà dell'operatore
e di come si
definisce la
curvatura gaussiana
.
In questa pagina forniamo delle formule analitiche per il calcolo delle componenti di
rispetto
alla base
del piano tangente 
. Tali formule, dette equazioni di Weingarten, sono espresse nelle
coordinate
locali
.
Conoscendo le componenti di
si ricava direttamente la curvatura gaussiana
che è definita come :
,
essendo tale valore indipendente dalla base in cui è espresso
.
Riportiamo di seguito il grafico riassuntivo in cui sono definiti tutti gli "oggetti" che useremo :
e ricordiamo che
,
,
,
,
.Siccome i vettori
appartengono a
, possiamo scrivere :
e quindi :
ovvero :
.
Nella base
il vettore 
vale :
per cui, nella stessa base, possiamo scrivere :
.
La matrice
rappresenta quindi l'operatore
nella base
di
.
Scriviamo allora :
.
Proponiamoci allora di determinare gli elementi della suddetta matrice.
Calcoliamo la seconda forma fondamentale
per
.
Essa vale :
che può essere scritta nella forma :
in analogia con la prima forma fondamentale :
dove :
.
Le funzioni
, tenendo presente che 
, per cui 
ecc. , risultano :
.
Siccome abbiamo posto sopra che :
,
ricaviamo direttamente :
.
Da queste formule non è difficile ricavare :
.
Queste importanti formule, sono dette equazioni di Weingarten.
Si noti la non simmetria della matrice
pur essendo tale operatore autoaggiunto. Ciò dipende dal fatto che la
base
non è in generale ortonormale
Con queste formule è possibile ricavare direttamente la curvatura gaussiana
di una
superficie espressa in
coordinate locali
. Questo fatto è di estrema importanza perché permette di ignorare
completamente lo
spazio
in cui la superficie 
è immersa e questo secondo i concetti della geometria intrinseca,
concetti
che valgono per le proprietà metriche della superficie.
I concetti della geometria intrinseca permettono quindi di descrivere molte proprietà di una superficie stando
al suo interno, ovvero usando le sue sole coordinate curvilinee.
Ciò è alla base della teoria della relatività generale, teoria basata sul fatto che le proprietà metriche dello
spazio-tempo, nonché la sua curvatura, sono definite dalle masse ed esprimibili in funzione delle sole coordinate
curvilinee definite nello spazio-tempo stesso.
L'unico problema è che lo spazio-tempo non è una superficie a 2 dimensioni !!! Ecco allora che i concetti
di metrica e curvatura debbono essere estesi a più dimensioni, estesi cioè alle cosiddette varietà differenziabili
n-dimensionali che sono la naturale generalizzazione delle superficie regolari bidimensionali.
Nell'ultimo paragrafo di questa pagina mostreremo, solo a livello di semplice informazione, alcune idee fondamentali
circa queste problematiche.
Ora presentiamo un interessante esempio di applicazione delle equazioni ricavate sopra.
07 - Esempio.
Consideriamo il toro ottenuto facendo ruotare un cerchio di raggio
attorno
ad una retta ad esso complanare in
modo che il centro del cerchio tracci una conferenza di raggio
con 
.
Graficamente :
Una parametrizzazione del toro è facilmente deducibile osservando il grafico :
Abbiamo perciò :
con :
, 
.
Il grafico del toro con le sue coordinate curvilinee (secondo la parametrizzazione di cui sopra), dove abbiamo posto
, 
, è il seguente :
Con calcoli semplici (ma laboriosi), applicando le equazioni di Weingarten, otteniamo :
.
Come si vede dalla formula e come era facile prevedere, la curvatura
del toro dipende solo dall'angolo 
.
Il grafico di
rispetto ad
è quindi :
La sciamo al lettore la semplice individuazione dei punti parabolici, ellittici ed iperbolici del toro.
08 - Curvatura di una varietà differenziabile n-dimensionale.
La generalizzazione a più dimensioni dei concetti relativi alle superficie regolari di
avviene con l'introduzione
delle varietà differenziabili n-dimensionali.
Tale teoria è sviluppabile dell'ambito del calcolo tensoriale all'interno del quale il concetto di curvatura è definito
seguendo la seguente linea di sviluppo (ci limitiamo ad enunciarne i capisaldi) :
- tensore metrico
(l'analogo delle funzioni E , F , G )
- derivata covariante
- tensore di Riemann
- tensore di Ricci
- curvatura scalare
.
Senza entrare in ulteriori particolari (esulerebbero dallo scopo di queste pagine) facciamo notare semplicemente che,
per le superficie regolari di
, vale la semplice relazione :
fra curvatura gaussiana
e curvatura scalare
.
Fine.
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