E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Un viaggio fantastico ... (2' parte)

05 - Curvatura della superficie.

La curvatura di una superficie in un suo punto "indica" intuitivamente quanto il piano tangente "devia" passando da 
quel punto ad un punto "infinitamente" vicino.

Per formalizzare questo concetto introduciamo il vettore normale    alla superficie 
  in un suo punto  come 
quel vettore definito da :

        .

dove    indica il prodotto vettoriale.

Si tratta ovviamente di un vettore unitario (di norma  1 ) perpendicolare ai due vettori di base 
  di   
(piano tangente ad     in  ), quindi perpendicolare a  .

Graficamente :

       

La curvatura di  
  in   dipenderà allora dal differenziale  .

Analizziamo la funzione, detta mappa guassiana, che esprime  il legame fra il punto 
  di    ed il vettore  :

       

dove    è la superficie sferica di raggio unitario

Introduciamo anche le curve 
, , (vedi grafico successivo) ed i rispettivi vettori tangenti  , . 

Abbiamo 
  e quindi   .

Graficamente : 

       

La cosa fondamentale da notare è che il piano tangente ad 
  in    è evidentemente parallelo (quindi coincidente 
come sottospazio vettoriale) al piano tangente ad 
  in  . Questo fatto è di grande importanza ed è alla base di 
molte considerazioni che faremo in seguito.

Possiamo allora affermare che, poiché :

        ,

il differenziale 
  è un operatore lineare da    a  , cioè :

        .

In analogia con la formula    , considerando
  funzione di  , abbiano anche :

       

dove :

         

che costituiscono un'altra base di 
.

In particolare abbiamo :

        .

Graficamente :

       

Una fondamentale proprietà di 
  è che il suo differenziale  è un operatore autoaggiunto, cioè è tale per 
cui :

        , dove  .

Infatti, prendendo i vettori di 
  :

       

e sostituendo, deve essere :

       

che è verificata se :

         

ovvero se :

        .

D'altra parte, poiché  , abbiamo :

       

per cui l'uguaglianza  è verificata.

Il fatto che 
  sia autoaggiunto produce importanti conseguenze.

        - 1 -   
, come operatore lineare da     a  ,  è una matrice simmetrica rispetto alla base 
                  
ortonormale canonica    di  (cioè  ) .

                   Infatti, ponendo :


                             ,

                   perché 
  sia autoaggiunto si deve avere :

                            ,


                   dove     ,  .


                   Orbene, è immediato vedere che ciò si verifica se :

                            .

        - 2 -   
  , come operatore lineare da     a  ,  ha due autovalori reali in corrispondenza dei 
                  
quali è sempre possibile scegliere autovettori ortonormali.

                   Questo è un teorema generale dell'algebra lineare che non dimostreremo qui. Nel nostro caso abbiamo 
   
                che l'equazione agli autovalori :

                           

                   è esprimibile come :


                            

                   dove 
e   .

                   Sviluppando, otteniamo :


                            

                   che fornisce :

                            .

                   Gli autovettori si ricavano di conseguenza.


        - 3 -    La forma  quadratica  , essendo  , è massima per l'autovettore corrispondente 

                  
all'autovalore massimo e uguaglia il suddetto autovalore, è minima per l'autovettore corrispondente 
                  
all'autovalore minimo e uguaglia il suddetto autovalore.

                   Per vedere questo, prendiamo come base ortonormale di 
  il sistema    dove  è 
                  
l'autovettore di norma unitaria corrispondente all'autovalore    e    è l'autovettore di norma 
                  
unitaria corrispondente all'autovalore  . Poniamo anche    (ciò non è restrittivo).

                   Il vettore unitario    risulta allora :

                            .

                   Abbiamo perciò :

                            

                   essendo    ,    ,  .

                   Poiché 
, possiamo scrivere    con  .

                   La forma allora diventa :

                             

                    che ha il seguente grafico :

                            

                   E' quindi evidente che la forma quadratica 
  assume il valore minimo    in corrispondenza 
                  
della direzione dell'autovettore 
  ed il valore massimo in corrispondenza della direzione 
                  
dell'autovettore     (si ricordi che abbiamo posto 
).

                   Graficamente, sul piano 
:

                           

Introduciamo ora la seconda forma fondamentale
di    in  (   appartenente ad  ) definita come :

        ,

dove abbiamo specificato che il differenziale di 
  è calcolato in  , e studiamone il significato geometrico (il 

perché del segno  -  sarà chiaro in seguito).

Consideriamo una curva regolare 
  giacente su    e passante per il punto  . Supponiamo che tale curva sia 
parametrizzata secondo la lunghezza, cioè sia tale per cui    in ogni punto della medesima.

Graficamente :


       


Calcoliamo la seconda forma fondamentale in 
. Abbiamo :

        .

D'altra parte si sa che    a causa dell'ortoganalità di  
  con  per cui derivando si ottiene  
  da cui  .

Sostituendo, otteniamo allora :

         .

D'altra parte, essendo 
, la derivata seconda    rappresenta la curvatura della curva    in  .
Cioè si ha :

       

dove    è appunto la curvatura di 
  e    è il vettore normale  in  . Graficamente :

       

Possiamo allora scrivere : 

        .

Il significato geometrico della seconda forma fondamentale    per il vettore unitario    appartenente a  

  è allora evidente. 

        

Essendo : 


        ,


chiamiamo tale valore    curvatura normale di 
  in  .

Siamo giunti quindi alla formula fondamentale :


       


con 
.

Essendo i
l vettore unitario    dato, per cui    è dato, ogni curva appartenente ad 
  e tangente in  a  
  ha la stessa curvatura normale. Questo importante risultato è dovuto a Meusnier.

D'altra parte, per le considerazioni fatte sopra essendo 
autoaggiunto, abbiamo che :
,

       

con 
  e 
  .

Perciò, alla luce del significato geometrico di  
, possiamo scrivere :

         ,

sempre con 
, dove   

       
  

è detto curvatura normale massima e  

       
  

è detto curvatura normale minima, essendo :

         .

Le suddette curvature sono dette curvature principali.


Graficamente :

       

Le direzioni degli autovettori 
, corrispondenti a  , , sono dette direzioni principali. Si noti che tali 
direzioni sono ortogonali fra loro !!!

Siamo giunti finalmente al nostro scopo : una definizione "plausibile" di curvatura di una superficie regolare in un suo 
punto.

Per tutto quello che abbiamo mostrato fin qui, è giustificato ed opportuno definire la curvatura gaussiana  della 
superficie regolare    nel suo punto  , come il determinante dell'operatore lineare 
  calcolato in 

Tale determinante, che è un invariante rispetto ad ogni cambiamento di base, corrisponde al prodotto    ovvero 
al prodotto  . Abbiamo cioè :

         

ovvero la curvatura gaussiana eguaglia il prodotto delle due curvature principali.

I punti di una superficie regolare, alla luce del concetto di curvatura gaussiana, possono essere classificati nel seguente 
modo :

        - 1 -    punti ellittici, punti per cui   

        - 2 -    punti iperbolici, punti per cui   

        - 3 -    punti parabolici, punti per cui    con 

        - 4 -    punti planari, punti per cui  .

Si noti la distinzione fra i punti parabolici e planari. In un punto parabolico una delle due curvature principali è nulla 
mentre l'altra no (è questo il caso del cilindro). In un punto planare entrambe le curvature principali sono nulle (è il 
caso ovviamente del piano, ma non solo ...).

Infine, se le due curvature principali sono uguali, cioè  , il punto si dice ombelicale. Il piano e la sfera sono 
completamente costituiti da punti ombelicali.

A questo punto, i concetti fondamentali relativi a metrica e curvatura delle superficie regolari sono stati definiti. Siamo 
ora in grado di "esplorare" le superficie con l'aiuto di questi potenti "strumenti". Resta solo da definire analiticamente le 
componenti dell'operatore  
(finora ci siamo limitati a considerazioni solo astratte e formali). La definizione di formule 
analitiche per 
  sarà data nella pagina successiva a questa.

Fine. 

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