Miscellanea
Un viaggio fantastico ... (2' parte)
05 - Curvatura della superficie.
La curvatura di una superficie in un suo punto "indica" intuitivamente quanto il piano tangente "devia" passando da
quel punto ad un punto "infinitamente" vicino.
Per formalizzare questo concetto introduciamo il vettore normale
alla superficie 
in un suo punto 
come
quel vettore definito da :
.
dove
indica il prodotto vettoriale.
Si tratta ovviamente di un vettore unitario (di norma 1 ) perpendicolare ai due vettori di base
di
(piano tangente ad
in
), quindi perpendicolare a
.
Graficamente :
La curvatura di
in
dipenderà allora dal differenziale 
.
Analizziamo la funzione, detta mappa guassiana, che esprime il legame fra il punto
di
ed il vettore
:
dove
è la superficie sferica di raggio unitario.
Introduciamo anche le curve
, 
, 
(vedi grafico
successivo) ed i rispettivi
vettori tangenti 
, 
, 
.
Abbiamo
e quindi
.
Graficamente :
La cosa fondamentale da notare è che il piano tangente ad
in
è evidentemente parallelo
(quindi coincidente
come sottospazio vettoriale) al piano tangente ad
in
. Questo fatto è di grande importanza ed è alla base di
molte considerazioni che faremo in seguito.
Possiamo allora affermare che, poiché :
,
il differenziale
è un operatore lineare da
a
, cioè :
.
In analogia con la formula
, considerando
funzione di 
,
abbiano anche :
dove :
che costituiscono un'altra base di
.
In particolare abbiamo :
.
Graficamente :
Una fondamentale proprietà di
è che il suo differenziale
è un operatore autoaggiunto, cioè è tale per
cui :
, dove 
.
Infatti, prendendo i vettori di
:
e sostituendo, deve essere :
che è verificata se :
ovvero se :
.
D'altra parte, poiché
, abbiamo :
per cui l'uguaglianza
è verificata.
Il fatto che
sia autoaggiunto produce importanti conseguenze.
- 1 -
,
come operatore lineare da
a
, è una matrice
simmetrica rispetto alla base
ortonormale canonica
di 
(cioè 
) .
Infatti, ponendo :
,
perché
sia autoaggiunto si deve avere
:
,
dove
, 
.
Orbene, è immediato vedere che ciò si verifica se :
.
- 2 -
, come operatore lineare
da
a
, ha due autovalori
reali in corrispondenza dei
quali è sempre possibile scegliere autovettori ortonormali.
Questo è un teorema generale dell'algebra lineare che non dimostreremo qui. Nel nostro caso abbiamo
che l'equazione agli autovalori :
è esprimibile come :
dove
e
.
Sviluppando, otteniamo :
che fornisce :
.
Gli autovettori si ricavano di conseguenza.
- 3 - La forma quadratica
, essendo 
, è
massima per l'autovettore corrispondente
all'autovalore massimo e uguaglia il suddetto autovalore, è minima per l'autovettore corrispondente
all'autovalore minimo e uguaglia il suddetto autovalore.
Per vedere questo, prendiamo come base ortonormale di
il sistema 
dove 
è
l'autovettore di norma unitaria corrispondente all'autovalore
e 
è l'autovettore
di norma
unitaria corrispondente all'autovalore
. Poniamo
anche 
(ciò non è restrittivo).
Il vettore unitario
risulta allora :
.
Abbiamo perciò :
essendo
, 
, 
.
Poiché
, possiamo scrivere 
con 
.
La forma allora diventa :
che ha il seguente grafico :
E' quindi evidente che la forma quadratica
assume il valore minimo
in corrispondenza
della direzione dell'autovettore
ed il valore massimo in corrispondenza della direzione
dell'autovettore
(si ricordi che abbiamo posto
).
Graficamente, sul piano
:
Introduciamo ora la seconda forma fondamentale di
in
( appartenente
ad
) definita come :
,
dove abbiamo specificato che il differenziale di
è calcolato in
, e studiamone il significato geometrico (il
perché del segno - sarà chiaro in seguito).
Consideriamo una curva regolare
giacente su
e passante per il punto
. Supponiamo che tale curva sia
parametrizzata secondo la lunghezza, cioè sia tale per cui
in ogni punto della medesima.
Graficamente :
Calcoliamo la seconda forma fondamentale in
. Abbiamo :
.
D'altra parte si sa che
a causa dell'ortoganalità di
con
per cui derivando si
ottiene
da cui 
.
Sostituendo, otteniamo allora :
.
D'altra parte, essendo
, la derivata seconda 
rappresenta la curvatura della curva
in
.
Cioè si ha :
dove
è
appunto la curvatura di
e 
è il vettore
normale a
in
. Graficamente :
Possiamo allora scrivere :
.
Il significato geometrico della seconda forma fondamentale
per il vettore unitario 
appartenente a
è allora evidente.
Essendo :
,
chiamiamo tale valore
curvatura normale di
in
.
Siamo giunti quindi alla formula fondamentale :
con
.
Essendo il vettore unitario
dato, per cui
è dato, ogni curva
appartenente ad
e tangente in
a
ha
la stessa curvatura
normale. Questo
importante risultato è dovuto a Meusnier.
D'altra parte, per le considerazioni fatte sopra essendo
autoaggiunto, abbiamo che :
,
con
e
.
Perciò, alla luce del significato geometrico di
, possiamo scrivere :
,
sempre con
, dove
è detto curvatura normale massima e
è detto curvatura normale minima, essendo :
.
Le suddette curvature sono dette curvature principali.
Graficamente :
Le direzioni degli autovettori
,
, corrispondenti a 
, 
, sono dette direzioni
principali. Si noti che tali
direzioni sono ortogonali fra loro !!!
Siamo giunti finalmente al nostro scopo : una definizione "plausibile" di curvatura di una superficie regolare in un suo
punto.
Per tutto quello che abbiamo mostrato fin qui, è giustificato ed opportuno definire la curvatura gaussiana
della
superficie regolare
nel suo punto
, come il determinante dell'operatore lineare
calcolato in
.
Tale determinante, che è un invariante rispetto ad ogni cambiamento di base, corrisponde al prodotto
ovvero
al prodotto
.
Abbiamo cioè :
ovvero la curvatura gaussiana eguaglia il prodotto delle due curvature principali.
I punti di una superficie regolare, alla luce del concetto di curvatura gaussiana, possono essere classificati nel seguente
modo :
- 1 - punti ellittici, punti per cui
- 2 - punti iperbolici, punti per cui
- 3 - punti parabolici, punti per cui
con 
- 4 - punti planari, punti per cui
.
Si noti la distinzione fra i punti parabolici e planari. In un punto parabolico una delle due curvature principali è nulla
mentre l'altra no (è questo il caso del cilindro). In un punto planare entrambe le curvature principali sono nulle (è il
caso ovviamente del piano, ma non solo ...).
Infine, se le due curvature principali sono uguali, cioè
, il punto si dice ombelicale. Il piano e la sfera
sono
completamente costituiti da punti ombelicali.
A questo punto, i concetti fondamentali relativi a metrica e curvatura delle superficie regolari sono stati definiti. Siamo
ora in grado di "esplorare" le superficie con l'aiuto di questi potenti "strumenti". Resta solo da definire analiticamente le
componenti dell'operatore
(finora ci siamo limitati a considerazioni solo astratte e formali). La
definizione di formule
analitiche per
sarà data nella pagina successiva a questa.
Fine.
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