Miscellanea
Un viaggio fantastico ... (1' parte)
Si può viaggiare anche solo con la mente, e forse sono i viaggi più belli ...
In questa pagina presentiamo alcuni aspetti di uno fra i più bei "viaggi" che si possano fare con la sola mente :
l'esplorazione di una superficie.
01 - Definizione di superficie regolare.
Una sottoinsieme
di 
(spazio euclideo reale tridimensionale) per cui esiste un diffeomorfismo
ad un
sottoinsieme aperto
di 
si dice che
è una porzione di una superficie regolare.
Abbiamo cioè :
e :
dove
è aperto e
è un diffeomorfismo .
Un diffeomorfismo è un omeomorfismo (applicazione continua assieme alla sua inversa che conserva le
proprietà topologiche) differenziabile (per cui esistono le derivate parziali che, affinché la superficie sia "liscia",
si suppongono calcolabili per ogni ordine).
Il fatto che si scelgono applicazioni differenziabili dipende essenzialmente dal fatto che sulla superficie si possano
tracciare vettori tangenti.
Una superficie regolare in senso lato è allora un sottoinsieme di
localmente diffeomorfico con sottoinsiemi
aperti di
.
Non entreremo in maggiori dettagli e per semplicità prenderemo in considerazione solo una porzione
di superficie
regolare dotata del diffeomorfismo
che chiameremo parametrizzazione
di
.
Graficamente :
(i bordi di
e di
vanno esclusi !!! li abbiamo tracciati in modo continuo solo per comodità
grafica)
La parametrizzazione
è una funzione vettoriale che rappresenteremo indifferentemente nei
seguenti modi :
o :
o :
.
02 - Coordinate curvilinee.
Ogni punto
di
è quindi in corrispondenza biunivoca con un corrispondente di punto 
di
.
Se tracciamo la curva regolare
su ,
ovvero :
,
dove
appartiene ad un opportuno intervallo aperto 
, ad essa corrisponderà
tramite
la curva
regolare
su
, ovvero :
,
dove
e 
.
Graficamente :
(le curve e le funzioni che le definiscono sono indicate dalle stesse lettere)
Consideriamo il punto
di
a cui corrisponde il punto 
di
.
Le curve in
passanti per 
:
corrispondono alle rette
, 
di
e
sono dette rispettivamente coordinata curvilinea 
e coordinata curvilinea
.
Graficamente :
In questo modo possiamo dotare
di un sistema di coordinate curvilinee 
che rappresentano la
naturale
generalizzazione delle coordinate cartesiane ortogonali del piano.
03 - Il piano tangente.
Consideriamo ora il vettore tangente ad
in
ed il vettore tangente a
nel corrispondente punto
.
Tali vettori sono :
e :
dove il punto indica la derivata rispetto a
.
Graficamente :
Ovviamente abbiamo :
.
Questa formula è di fondamentale importanza perché introduce il differenziale della parametrizzazione
inteso come operatore lineare e lo collega ai vettori tangenti.
Riassumendo in forma sintetica, essendo :
,
possiamo scrivere :
.
Possiamo scrivere anche :
dove :
e :
.
Siccome
, ogni vettore 
(corrispondente ad ogni vettore 
tangente ad ogni curva regolare
passante per
)
giace su un piano che è tangente alla superficie
nel punto
una cui base è :
.
Occorre a questo punto notare che per ogni superficie regolare i vettori
sono sempre linearmente
indipendenti. Diamo questa affermazione senza dimostrarne la verità
Questo piano tangente si indica come :
.
Graficamente :
I vettori
hanno un fondamentale significato geometrico. Essi sono i vettori tangenti
nel punto
alle
coordinate curvilinee passanti per
.
Infatti :
e :
essendo :
dove
è
la retta
di
e
dove
è la retta
di
.
Graficamente :
In ogni punto di
è quindi possibile costruire il corrispondente piano tangente. Questo fatto,
fondamentale per
la geometria differenziale, permette di "linearizzare" ogni superficie regolare nell'intorno di ogni suo punto. Ogni
"piccola" porzione di una superficie è perciò approssimabile da un piano di cui si conosce una base. Per questo
è possibile definire una metrica sulla superficie che sia "analoga" della metrica euclidea definita sul piano.
04 - Metrica sulla superficie.
Consideriamo un vettore
appartenente a
. La sua norma (euclidea) sarà :
dove
indica il prodotto
interno (euclideo) di
.
Chiamiamo :
la prima forma fondamentale di
in
( appartenente
ad
).
Essendo :
nella base
, avremo :
dove :
.
In questo modo abbiamo espresso la lunghezza di un vettore del piano tangente in funzione dei vettori tangenti alle
coordinate curvilinee nel punto
di
, ovvero in funzione delle coordinate curvilinee
della superficie.
In altre parole abbiamo costruito una metrica locale, ovvero definita in funzione delle coordinate locali della
superficie e non in funzione delle coordinate
dello spazio tridimensionale
in cui è "immersa"
la superficie.
Questo fatto è di estrema importanza e costituisce un enorme passo avanti nella conoscenza con fondamentali
implicazioni anche in fisica (teoria della relatività generale)
Vediamo ora come si "misura" la lunghezza di un arco di curva giacente su
.
Sia
una curva regolare contenuta in
. La lunghezza di un suo arco, come ben sappiamo, è :
.
Esprimiamo questa lunghezza in funzione della prima forma fondamentale.
Avremo :
essendo
nella base
.
La formula può essere scritta come :
,
dove
è
detto elemento (infinitesimo) di arco, per cui possiamo scrivere infine :
che fornisce la lunghezza dell'elemento infinitesimo di arco su una superficie in funzione delle coordinate curvilinee locali.
Questa formula, trattata nell'ottica più generale del calcolo tensoriale, diventa :
con 
,
dove
è
il tensore metrico, gli indici in alto esprimono le componenti
controvarianti di un vettore ed è
sottintesa la sommatoria per gli indici ripetuti (convenzione di Einstein).
Questa formula, che vale per un numero di dimensione
qualunque, è quella che comunemente si trova alla base
della teoria della relatività generale.
Confrontando le due formule abbiamo :
.
La conoscenza della prima forma fondamentale permette di ricavare tutte le proprietà metriche di una superficie.
E' possibile definire curve geodetiche (linee di minima distanza), angoli fra vettori, aree di porzioni di superficie ecc.
ecc.
Fine.
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