E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Un viaggio fantastico ... (1' parte)

Si può viagg
iare anche solo con la mente, e forse sono i viaggi più belli ...

In questa pagina presentiamo alcuni aspetti di uno fra i più bei "viaggi" che si possano fare con la sola mente


       
l'esplorazione di una superficie

01 - Definizione di superficie regolare.


Una sottoinsieme  di     (spazio euclideo reale tridimensionale) per cui esiste un diffeomorfismo    ad un 

sottoinsieme aperto  di  si dice che è una porzione di una superficie regolare

Abbiamo cioè :

       


e :


         

dove 
  è aperto e    è un diffeomorfismo .

Un diffeomorfismo è un omeomorfismo (applicazione continua assieme alla sua inversa che conserva le 

proprietà topologiche) differenziabile (per cui esistono le derivate parziali che, affinché la superficie sia "liscia", 

si suppongono calcolabili per ogni ordine).

Il fatto che si scelgono applicazioni differenziabili dipende essenzialmente dal fatto che sulla superficie si possano 

tracciare vettori tangenti.

Una superficie regolare in senso lato è allora un sottoinsieme di 
  localmente diffeomorfico con sottoinsiemi 

aperti di  .

Non entreremo in maggiori dettagli e per semplicità prenderemo in considerazione solo una porzione 
di superficie 
regolare dotata del diffeomorfismo    che chiameremo parametrizzazione di 


Graficamente :


        

(i bordi di 
  e di    vanno esclusi !!! li abbiamo tracciati in modo continuo solo per comodità grafica)

La parametrizzazione 
  è una funzione vettoriale che rappresenteremo indifferentemente nei seguenti modi :

       

o :

       

o :

        .

02 - Coordinate curvilinee.

Ogni punto  di 
  è quindi in corrispondenza biunivoca con un corrispondente di punto    di 

       


Se tracciamo la curva regolare     su 
, ovvero :

        ,

dove    appartiene ad un opportuno intervallo aperto ,
ad essa corrisponderà tramite 
  la curva regolare  
su  , ovvero : 

       
,

dove    e 
.

Graficamente :

       

(le curve e le funzioni che le definiscono sono indicate dalle stesse lettere)

Conside
riamo il punto    di     a cui corrisponde il punto    di  .

Le curve in 
  passanti per  : 


       

       

corrispondono alle rette     ,  di 
e sono dette rispettivamente coordinata curvilinea     

e
coordinata curvilinea  .

Graficamente :

       

In questo modo possiamo dotare 
  di un sistema di coordinate curvilinee  che rappresentano la naturale 
generalizzazione delle coordinate cartesiane ortogonali del piano.

03 - Il piano tangente. 

Consideriamo ora il vettore tangente ad 
  in    ed il vettore tangente a    nel corrispondente punto  .

Tali vettori sono :

       

e :

         

dove il punto indica la derivata rispetto a 
.

Graficamente :

       

Ovviamente abbiamo :

        .

Questa formula è di fondamentale importanza perché introduce il differenziale della parametrizzazione    
inteso come operatore lineare e lo collega ai vettori tangenti.

Riassumendo in forma sintetica, essendo :

          ,

possiamo scrivere :

        .

Possiamo scrivere anche :

       

dove :

           

e :

        .

Siccome 
  , ogni vettore  (corrispondente ad ogni vettore    tangente ad ogni curva regolare    
passante per   ) giace su un piano che è tangente alla superficie 
nel punto una cui base è :

        .

Occorre a questo punto notare che per ogni superficie regolare i vettori    sono sempre linearmente 
indipendenti. Diamo questa affermazione senza dimostrarne la verità 

Questo piano tangente si indica come :

        .

Graficamente :

       

I vettori    hanno un fondamentale significato geometrico. Essi sono i vettori tangenti nel punto 
  alle 
coordinate curvilinee passanti per  .

Infatti :

       

e :

         

essendo :


        

dove    è la retta    di 
 

       

dove    è la retta 
di  .

Graficamente :

       

In ogni punto di 
  è quindi possibile costruire il corrispondente piano tangente. Questo fatto, fondamentale per 
la geometria differenziale, permette di "linearizzare" ogni superficie regolare nell'intorno di ogni suo punto. Ogni 
"
piccola" porzione di una superficie è perciò approssimabile da un piano di cui si conosce una base. Per questo 
è possibile definire una metrica sulla superficie che sia "analoga" della metrica euclidea definita sul piano.

04 - Metrica sulla superficie.

Consideriamo un vettore    appartenente a 
. La sua norma (euclidea) sarà  :

       

dove  indica il prodotto interno (euclideo) di 
.

Chiamiamo :

       

la prima forma fondamentale di 
  in  (   appartenente ad  ).

Essendo :

          

nella base 
, avremo :

       

dove :

        .

In questo modo abbiamo espresso la lunghezza di un vettore del piano tangente in funzione dei vettori tangenti alle 
coordinate curvilinee nel punto  
  di  , ovvero in funzione delle coordinate curvilinee    della superficie.

In altre parole abbiamo costruito una metrica locale, ovvero definita in funzione delle coordinate locali della 
superficie e non in funzione delle coordinate  dello spazio tridimensionale 
  in cui è "immersa
la superficie.

Questo fatto è di estrema importanza e costituisce un enorme passo avanti nella conoscenza con fondamentali 
implicazioni anche in fisica (teoria della relatività generale)

Vediamo ora come si "misura" la lunghezza di un arco di curva giacente su 
.

Sia 
  una curva regolare contenuta in  . La lunghezza di un suo arco, come ben sappiamo, è :

          .

Esprimiamo questa lunghezza in funzione della prima forma fondamentale.

Avremo :

         

essendo    nella base 
.

La formula può essere scritta come :

        ,

dove    è detto elemento (infinitesimo) di arco, per cui possiamo scrivere infine :

       

che fornisce la lunghezza dell'elemento infinitesimo di arco su una superficie in funzione delle coordinate curvilinee locali.

Questa formula, trattata nell'ottica più generale del calcolo tensoriale, diventa :

        con  ,

dove    è il tensore metrico, gli indici in alto esprimono le componenti controvarianti di un vettore ed è 
sottintesa la sommatoria per gli indici ripetuti (convenzione di Einstein). 

Questa formula, che vale per un numero di dimensione  qualunque, è quella che comunemente si trova alla base 
della teoria della relatività generale.

Confrontando le due formule abbiamo :

        .

La conoscenza della prima forma fondamentale permette di ricavare tutte le proprietà metriche di una superficie
E' possibile definire curve geodetiche (linee di minima distanza), angoli fra vettori, aree di porzioni di superficie ecc. 
ecc.

Fine. 

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