E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Sistema terrestre locale

Questa pagina si ricollega direttamente alla precedente :

        SistemaRuotante.htm .

Qui, semplicemente esprimiamo la traiettoria ricavata precedentemente definendola rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano locale situato sulla superficie terrestre.

01 - Sistema di riferimento terrestre locale.

Definiamo tale sistema di riferimento, che chiameremo  ,  come indicato nel grafico :

       

Il sistema di riferimento    è cioè un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine    nel punto della superficie sferica (la superficie della Terra) :

       

dove    è il raggio della sfera,    è la colatitudine (da    a  ) del punto  e   è la sua longitudine (da   a  ).

Il semiasse    è tangente al meridiano passante per     ed orientato verso sud (nel senso crescente della colatitudine), il semiasse    è tangente al parallelo passante per     ed orientato verso est (nel senso crescente della longitudine). Il semiasse    ha stessa direzione e verso di  .

Il sistema    è "caratterizzato" dai tre versori unitari :

       

che ne costituiscono una base ortonormale.

       

Il sistema   ruota in senso antiorario con velocità angolare uniforme .

Definiamo le componenti dei versori    rispetto al sistema  .

Per fare questo consideriamo il generico punto   sulla sfera ed, utilizzando le derivate parziali di  rispetto alle coordinate locali  , , ricaviamo direttamente i versori cercati a causa di un noto fondamentale risultato della geometria differenziale.

Abbiamo :

          

dove le derivate sono calcolate nel punto  .

Se eseguiamo i prodotti interni fra i suddetti versori (a due a due distinti) ricaviamo identicamente zero per cui verifichiamo il fatto, affermato sopra senza dimostrazione, che il sistema cartesiano     è ortogonale.

Le componenti del vettore  , che ha origine in  , rispetto al sistema di riferimento    saranno allora :

        .

Queste formule ci permettono quindi, conosciuto    nel sistema ruotante  , di ricavarne le componenti nel sistema locale  .

Conosciuti i vettori    ed    nel sistema  , siamo in grado di ricavare il vettore  ,  sempre nel medesimo sistema, con la evidente formula :

         

e  quindi, successivamente, esprimerne le componenti rispetto al sistema locale   .

Per le velocità, rispetto al sistema  , vale :

       

e per le componenti di    rispetto a    si procede come per  .

02 - Esempi.

Tramite il programma di calcolo numerico :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/SistemaTerrLocale/sistematerrlocale.htm 

abbiamo elaborato i seguenti casi :

        - 1 -    caduta di un  grave da  100  metri di altezza nei pressi del polo nord

       

        Valori finali : x = 2.86492741411E-008 y = 1.20955240546E-009 z = -0.130415071733 R = 0.130415071733

        Valori finali : vx = 2.87187276035E-009 vy = 1.3181759445E-010 vz = -10.0376136433 v = 10.0376136433

        La caduta avviene pressoché lungo la verticale.

        - 2 -    caduta di un  grave da  100  metri di altezza a  45°  di latitudine nord (colatitudine  ) 

       

        Valori finali : x = 0.143337169331 y = 0.00856013830639 z = -0.0508587847652 R = 0.152333305838

        Valori finali : vx = 0.0143691383667 vy = 0.000932989279031 vz = -10.03009144 v = 10.030101776

        Si noti che il grave devia maggiormente a sud rispetto che ad est !!! Questo fatto può sorprendere perché "usualmente" si afferma che un grave, in caduta, devia verso est. In effetti l'accelerazione centrifuga alla latitudine dell'esempio non per nulla trascurabile (ne lasciamo il calcolo al lettore). Probabilmente, si preferisce considerare la deviazione rispetto ad est perché la deviazione verso sud è più difficile da misurare in quanto anche il "filo a piombo" subisce la stessa (o analoga) deviazione.

        - 3 -    caduta di un  grave da  100  metri di altezza all'equatore 

       

        Valori finali : x = 1.4046293033E-012 y = 0.0121259345678 z = 0.0287894075736 R = 0.0312388904666

        Valori finali : vx = 1.40815829045E-013 vy = 0.00132177799827 vz = -10.0225616753 v = 10.0225617624

        Qui la deviazione avviene solo ad est.

        - 4 -    caduta di un  grave da  100  metri di altezza a  45°  di latitudine sud (colatitudine  ) 

       

        (attenzione alla prospettiva !!!)

        Valori finali : x = -0.143338007319 y = 0.00857380592836 z = -0.0506053512876 R = 0.15225043865

        Valori finali : vx = -0.0143691331478 vy = 0.000934479268979 vz = -10.0300674674 v = 10.0300778036

        Questo caso è analogo a quello del punto  - 2 - , ma la deviazione, invece che a sud, avviene a nord. La deviazione ad est è della medesima entità (dell'esempio  - 2 - ).

        - 5 -    caduta di un  grave da  100  metri di altezza nei pressi del polo sud

       

        Valori finali : x = 5.92533914819E-014 y = 2.50163391603E-015 z = -0.130415071733 R = 0.130415071733

        Valori finali : vx = 5.93969659134E-015 vy = 2.7262924989E-016 vz = -10.0376136433 v = 10.0376136433

        Anche qui la caduta avviene pressoché lungo la verticale.

        - 6 -    lancio di un grave a  45°  di latitudine nord (colatitudine  )

       

        Valori finali : x = 0.0117872389804 y = 7.8381726758 z = -0.063487213347 R = 7.83843864943

        Valori finali : vx = 0.014391762614 vy = 3.21333888254 vz = -6.50921962201 v = 7.25917998017

        Qui si ha una deviazione verso sud ed un "accorciamento" della traiettoria.

        - 7 -    lancio di un grave all'equatore in direzione est  (colatitudine  ) 

       

        Valori finali : x = 1.14107146953E-013 y = 7.83826427037 z = -0.052632345818 R = 7.83844097611

        Valori finali : vx = 1.39662019812E-013 vy = 3.21476367525 vz = -6.49711387201 v = 7.24894434753

        Qui, invece, non si ha deviazione verso sud, ma solo "accorciamento" della traiettoria.

Fine.

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