Miscellanea : sistema ruotante

Consideriamo il sistema inerziale

ed il sistema in rotazione

aventi la medesima origine

e gli assi

. La rotazione sia uniforme e sia indicata dal vettore velocità angolare

(i vettori sono indicati in grassetto).

Passiamo ora alle equazioni del moto considerando dapprima l'assenza di ogni interazione e poi la presenza di un campo gravitazionale centrale e di una atmosfera solidale con il sistema ruotante

. Questa seconda situazione simula il moto di un grave nel caso reale di un pianeta con atmosfera.

La lagrangiana di un punto materiale (diremo anche particella) libero di massa

nel sistema inerziale

è :

La velocità della particella nel sistema inerziale

è quindi

mentre la velocità della medesima particella nel sistema ruotante

è :

dove il simbolo

indica il prodotto vettoriale ed

è il raggio vettore della particella nel sistema ruotante

, cioè :

Trasformiamo ora la lagrangiana della particella libera esprimendola in funzione delle coordinate del sistema ruotante

Calcolando le derivate parziali utilizzando note regole del calcolo vettoriale, otteniamo :

Questo risultato, di grande importanza, mostra che in un sistema ruotante una particella libera è soggetta a due forze apparenti. La prima,

, è detta forza di Coriolis e la seconda,

, forza centrifuga.

Si noti che la forza di Coriolis dipende dalla velocità della particella mentre la forza centrifuga dipende dalla posizione della medesima ed è perpendicolare all'asse di rotazione e diretta verso l'esterno (ovviamente entrambe le forze dipendono dal vettore velocità angolare

Introduciamo ora le forze reali (non apparenti) che agiscono sulla particella.

02 - Equazioni del moto in presente di campo gravitazionale centrale ed atmosfera.

Nell'origine

sia situata una massa

immobile mentre nel punto

, rispetto al sistema

, come già sappiamo, è situata la particella di massa

. Tale massa

è supposta essere di materiale omogeneo e di forma sferica con raggio

. Fra le due masse è presente una interazione gravitazionale newtoniana.

Abbiamo posto, per esigenze di semplicità, la condizione che la massa

sia immobile. Questo, fisicamente, si verifica se

perché solo così la massa

sta "praticamente" ferma mentre la massa

gli ruota attorno. Questo fatto permette di immaginare la massa

immersa in un campo gravitazionale dato e non da essa modificato. Nella realtà, il sistema "

" è un sistema a due corpi in moto rispetto al comune centro di massa. Ovviamente, le condizioni da noi poste (massa

immobile) semplificano assai il problema.

Fisicamente tale condizione è verificata con grande approssimazione per il moto dei gravi nel campo gravitazionale generato da un pianeta.

Solidale con il sistema ruotante

, rispetto ad esso in quiete, sia presente una atmosfera fluida di densità omogenea

(che per la Terra in condizioni normali vale circa

Inseriamo nella formula della forza per il moto libero in un sistema ruotante la forza di attrazione gravitazionale :

Le costanti positive (o nulle se l'atmosfera è assente)

caratterizzano l'attrito con cui l'atmosfera si oppone al moto della particella. Si noti che abbiamo considerato due termini, il secondo dei quali, è trascurabile per velocità piccole.

Questo sistema rappresenta le equazioni del moto della particella. Una sua soluzione analitica sembra impossibile (fino a prova contraria) per cui procediamo con una soluzione numerica approssimata al computer.

Il sistema di equazioni differenziali del secondo ordine a cui siamo pervenuti, che indichiamo sinteticamente con :

	dati iniziali :
	, , , , ,
	steps :
1
2
3
4	, , , , ,
	vai a 1 :

- 1 - Caduta di un grave con velocità iniziale nulla da una posizione equatoriale senza atmosfera :

Si noti la deviazione nel senso della rotazione. Qui, sulla Terra, tale deviazione è verso est.

- 2 - Caduta di un grave con velocità iniziale nulla da una posizione equatoriale con atmosfera :

Si noti l'effetto di "trascinamento" e di "smorzamento" che introduce la presenza dell'atmosfera.

- 3 - Caduta di un grave con velocità iniziale nulla da una posizione non equatoriale senza atmosfera :

- 4 - Caduta di un grave con velocità iniziale nulla da una posizione non equatoriale con atmosfera :

Si noti la formazione di un "disco equatoriale". L'effetto dell'atmosfera cambia completamente lo "scenario" rispetto a quando essa è assente (rispetto al caso precedente, qui cambia solo la presenza dell'atmosfera !!!). Questo potrebbe essere un modello semplicistico per la formazione dei dischi stellari e planetari (anelli di Saturno ecc.).

Il modello numerico collegato a questa presentazione è molto versatile e potente. Con esso si possono emulare anche lanci di missili, voli di palloni aerostatici ecc. ecc.

All'eventuale utilizzatore del modello consigliamo di eseguire più prove dello stesso caso particolare prendendo volta per volta intervalli di scansione temporali più piccoli. Se i risultati grafici ottenuti non divergono apprezzabilmente si può essere sicuri di avere ottenuto una buona precisione.