E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Sistema ruotante

Consideriamo il sistema inerziale    ed il sistema in rotazione  aventi la medesima origine    e gli assi  . La rotazione sia uniforme e sia indicata dal vettore velocità angolare  (i vettori sono indicati in grassetto).

Graficamente :

       

Il piano    ruota in senso antiorario sul piano  .

Passiamo ora alle equazioni del moto considerando dapprima l'assenza di ogni interazione e poi la presenza di un campo gravitazionale centrale e di una atmosfera solidale con il sistema ruotante . Questa seconda situazione simula il moto di un grave nel caso reale di un pianeta con atmosfera.

01 - Equazioni del moto libero.

La lagrangiana di un punto materiale (diremo anche particella) libero di massa  nel sistema inerziale    è :

        ,

dove    è il modulo (norma) del vettore velocità :

         

(come sempre, il punto indica la derivata rispetto al tempo).

La velocità della particella nel sistema inerziale    è quindi    mentre la velocità della medesima particella nel sistema ruotante    è :

        .

Le due velocità sono legate dalla formula :

       

dove il simbolo    indica il prodotto vettoriale ed    è il raggio vettore della particella nel sistema ruotante  , cioè :

         .

Trasformiamo ora la lagrangiana della particella libera esprimendola in funzione delle coordinate del sistema ruotante  . 

Si ha :

         

dove    indica il prodotto scalare (prodotto interno) fra due vettori.

L'equazioni di Lagrange (equazione del moto) nel sistema ruotante    è :

        .

Calcolando le derivate parziali utilizzando note regole del calcolo vettoriale, otteniamo :

        .

L'equazione del moto diventa allora :

          .

Questo risultato, di grande importanza, mostra che in un sistema ruotante una particella libera è soggetta a due forze apparenti. La prima, , è detta forza di Coriolis e la seconda, , forza centrifuga.

Si noti che la forza di Coriolis dipende dalla velocità della particella mentre la forza centrifuga dipende dalla posizione della medesima ed è perpendicolare all'asse di rotazione e diretta verso l'esterno (ovviamente entrambe le forze dipendono dal vettore velocità angolare  ).

Introduciamo ora le forze reali (non apparenti) che agiscono sulla particella.

02 - Equazioni del moto in presente di campo gravitazionale centrale ed atmosfera.

Nell'origine    sia situata una massa  immobile mentre nel punto  , rispetto al sistema  , come già sappiamo, è situata la particella di massa    . Tale massa    è supposta essere di materiale omogeneo e di forma sferica con raggio  . Fra le due masse è presente una interazione gravitazionale newtoniana.

Abbiamo posto, per esigenze di semplicità, la condizione che la massa    sia immobile. Questo, fisicamente, si verifica se   perché solo così la massa    sta "praticamente" ferma mentre la massa    gli ruota attorno. Questo fatto permette di immaginare la massa    immersa in un campo gravitazionale dato e non da essa modificato. Nella realtà, il sistema " +  " è un sistema a due corpi in moto rispetto al comune centro di massa. Ovviamente, le condizioni da noi poste (massa  immobile) semplificano assai il problema. 

Fisicamente tale condizione è verificata con grande approssimazione per il moto dei gravi nel campo gravitazionale generato da un pianeta.

Graficamente :

       

Solidale con il sistema ruotante  , rispetto ad esso in quiete, sia presente una atmosfera fluida di densità omogenea    (che per la Terra in condizioni normali vale circa  ).

Inseriamo nella formula della forza per il moto libero in un sistema ruotante la forza di attrazione gravitazionale :

        ,

la forza di Archimede :

       

e la forza di attrito del mezzo (atmosfera) :

        .

La costante    è la costante di gravitazione universale e vale :

        .

Le costanti positive (o nulle se l'atmosfera è assente)    caratterizzano l'attrito con cui l'atmosfera si oppone al moto della particella. Si noti che abbiamo considerato due termini, il secondo dei quali, è trascurabile per velocità piccole.

L'equazione del moto diventa allora :

        .

Esplicitiamola nelle sue componenti. 

Per fare questo, ricaviamo preventivamente   ed  tenendo presente che  . 

Si ha :

        

e :

       

dove  .

Le equazioni del moto allora diventano :

         

da cui, raccogliendo e sistemando :

        .

Questo sistema rappresenta le equazioni del moto della particella. Una sua soluzione analitica sembra impossibile (fino a prova contraria) per cui procediamo con una soluzione numerica approssimata al computer.

03 - Modello numerico.

Il sistema di equazioni differenziali del secondo ordine a cui siamo pervenuti, che indichiamo sinteticamente con :

        ,

può essere approssimato, partendo dalle condizioni iniziali (al tempo  ) :

          ,

utilizzando la seguente routine :

     dati iniziali : 
       ,  , , , ,   
     steps : 
  1      

 

 

  2    

 

 

  3    

 

 

  4     , , , , ,  
     vai a 1 :

Tale routine è realizzata alla pagina :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/SistemaRuotante/sistemaruotante.htm .

04 - Esempi.

Riportiamo qui alcuni casi interessanti.

        - 1 -    Caduta di un grave con velocità iniziale nulla da una posizione equatoriale senza atmosfera :

       

        Si noti la deviazione nel senso della rotazione. Qui, sulla Terra, tale deviazione è verso est.

        - 2 -    Caduta di un grave con velocità iniziale nulla da una posizione equatoriale con atmosfera :

       

        Si noti l'effetto di "trascinamento" e di "smorzamento" che introduce la presenza dell'atmosfera.

        - 3 -    Caduta di un grave con velocità iniziale nulla da una posizione non equatoriale senza atmosfera :

       

        Il moto del grave è periodico ed altamente ... spettacolare ...

        - 4 -    Caduta di un grave con velocità iniziale nulla da una posizione non equatoriale con atmosfera :

       

        Si noti la formazione di un "disco equatoriale". L'effetto dell'atmosfera cambia completamente lo "scenario" rispetto a quando essa è assente (rispetto al caso precedente, qui cambia solo la presenza dell'atmosfera !!!). Questo potrebbe essere un modello semplicistico per la formazione dei dischi stellari e planetari (anelli di Saturno ecc.).

05 - Conclusione.

Il modello numerico collegato a questa presentazione è molto versatile e potente. Con esso si possono emulare anche lanci di missili, voli di palloni aerostatici ecc. ecc.

All'eventuale utilizzatore del modello consigliamo di eseguire più prove dello stesso caso particolare prendendo volta per volta intervalli di scansione temporali più piccoli. Se i risultati grafici ottenuti non divergono apprezzabilmente si può essere sicuri di avere ottenuto una buona precisione.

Fine.

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