E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea
Un elementare sistema economico di scambio (1' parte)

01 - Definizione di un elementare sistema economico di scambio.

Consideriamo due agenti (due persone che indichiamo brevemente con agente   ed agente  ) e due tipi di merce (merce    e  merce  ). 

Supponiamo che al tempo    l'agente    possegga una quantità    di merce    ed una quantità  di merce  e l'agente  possegga una quantità    di merce    ed una quantità  di merce  . 

Ovviamente le quantità   , , ,   sono numeri non negativi.

Indichiamo con    e    i totali per tipo di merce, cioè :

       

        .

Definiamo per ogni agente e per ogni tipo di merce una funzione di utilità in modo che :

          indichi la funzione di utilità per l'agente    relativa alla merce  ,

          indichi la funzione di utilità per l'agente    relativa alla merce  ,

          indichi la funzione di utilità per l'agente    relativa alla merce  ,

          indichi la funzione di utilità per l'agente    relativa alla merce  .

Le funzioni  , , , siano funzioni continue monotone crescenti a valori non negativi definite per valori non negativi. Si ha anche :

          con  .

Graficamente :

       

Definiamo inoltre una funzione di utilità (complessiva)  per l'agente    , una funzione di utilità (complessiva)    per l'agente    ed una funzione di utilità (complessiva)    del sistema. Esattamente :

        ,

         

e :

        .

Supponiamo ora che al tempo    (   ) fra i due agenti avvenga uno scambio di merci in modo che dopo lo scambio l'agente    possegga una quantità    di merce di tipo    ed una quantità  di merce di tipo  . Di conseguenza, l'agente  possiederà una quantità    di merce di tipo    ed una quantità    di merce di tipo  .

Le quantità  , , ,   al tempo    soddisferanno le seguenti condizioni :

          condizione di non negatività 

        ,   condizione di conservazione 

        ,   condizione di scambio.

Introduciamo infine il prezzo  ( ) definito da :

        .

Abbiamo così definito un sistema economico elementare di scambio.

02 - Gradi di libertà del sistema e sue rappresentazioni.

A causa delle condizioni di conservazione, il sistema economico possiede due gradi di libertà.

Sono possibili allora diverse rappresentazioni.

Chiamiamo rappresentazione    quella in funzione delle variabili     e .

Chiamiamo rappresentazione     quella in funzione delle variabili    e  .

Fra le due, concentriamo la nostra attenzione sulla seconda ed esprimiamo di conseguenza le funzioni di utilità.

Ricaviamo immediatamente :

        .

La funzione di utilità del sistema è :

        .

03 - Considerazioni sulle funzioni di utilità.

Soffermiamoci sulle funzioni    e    .

Se consideriamo    come parametro, esse rappresentano i fasci di curve :

       

e :

        .

Studiamone le proprietà.

        - 1 -    I fasci    e    hanno ciascuno un unico centro.

                   Per due valori distinti  ,   ( ) del parametro si ha per  :

                       

                   cioè :

                             

                   da cui :

                           

                   e :

                            .

                   Poiché    è monotona, perché l'uguaglianza sia verificata, occorre che :

                            

                   cioè :

                             

                   ovvero :

                            . .

                   Essendo    , si deve perciò avere :

                            .

                   Il centro del fascio    è allora il punto :

                            .

                   Analogo ragionamento per il fascio    il cui centro è :

                            .

        - 2 -    Confronto fra le curve del fascio     .

                   Consideriamo    e studiamo la disequazione :

                            .

                   Abbiamo :

                             

                   cioè :

                            .

                   Poiché    è monotona crescente, si deve avere :

                           

                   ovvero :

                           

                   cioè :

                            .

                   Essendo    si deve avere :

                            .

                   Graficamente :

                             

                   Per    ovviamente si ha  .

        - 3 -    Confronto fra le curve dei fascio     .

                   Consideriamo    e studiamo la disequazione :

                            .

                   Abbiamo :

                             

                   cioè :

                            .

                   Poiché    è monotona crescente, si deve avere :

                           

                   ovvero :

                           

                   cioè :

                            .

                   Essendo    si deve avere :

                            .

                   Graficamente :

                             

                   Per    ovviamente si ha  .

        - 4 -    Confronto fra i fasci     e    .

                   Riassumendo i risultati ottenuti ai due punti precedenti in un unico grafico otteniamo : 

                           

                   L'importante proprietà a cui soddisfano i due fasci è quella che al crescere del parametro  le curve dei due fasci si "muovono" nel modo indicato dal grafico :

                           

Le curve del fascio    "ruotano in senso orario" (al crescere del parametro) mentre le curve del fascio  "ruotano in senso antiorario". 

Questa proprietà è indipendentemente dalla scelta delle funzioni  , , , purché siano monotone crescenti. 

Naturalmente, ogni curva dei due fasci si trova completamente "sopra" o "sotto" ogni altra nel modo indicato dal grafico.

04 - Grafico sinottico in rappresentazione  .

Prendiamo qui in considerazione un caso particolare e mostriamo come i tre fasci  , ,   possano essere rappresentati in modo molto proficuo in uno stesso grafico.

Siano :

       

e :

        .

Le funzioni di utilità degli agenti e del sistema sono :

        .

Il grafico sinottico in questo caso è :

       

Nell'esempio i due agenti scambiano quantità di merce al prezzo  . 

Da questo grafico è possibile "vedere" direttamente l'andamento delle utilità. Nell'esempio abbiamo che l'utilità dell'agente    diminuisce, quella dell'agente    aumenta e l'utilità del sistema aumenta.

Da questo grafico è possibile trarre direttamente considerazioni sui massimi di utilità per gli agenti e per il sistema.

In quest'altro esempio abbiamo :

       

       

        .

Il grafico sinottico in questo caso è :

       

Si noti che per  e per  , entrambi gli agenti ottengono un massimo di utilità così come il sistema nel suo complesso.

Questi due valori si ottengono risolvendo il sistema :

        

dove, nella derivazione,    viene considerato costante.  

Nell'altro caso indicato nel grafico, corrispondente a  , l'agente    ottiene un'utilità maggiore rispetto al valore iniziale mentre l'agente    ottiene una utilità minore di quella iniziale.

Fine.

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