E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Un modello economico di scambio multiplo

Questa pagina è a compendio delle precedenti :

        ../GeomDiffEdEconomia.htm 

        Geom1DiffEdEconomia.htm 

        SistEconElemDiScamb.htm .

Qui presentiamo in sintesi un modello di scambio multiplo di più merci fra più agenti. Il modello è basato sull'approccio marginalista dell'economia tramite la massimizzazione delle funzioni di utilità.

Consideriamo  agenti ed    merci.

Dotazione iniziale dell’agente i-esimo :

         .

 Dotazione finale dell’agente i-esimo :

         .

Funzione di utilità dell’agente i-esimo :

         .

Scambio multiplo dell’agente i-esimo :

       

dove le   sono quantità positive, detti prezzi  (la merce 1 è la merce di riferimento nella determinazione dei prezzi) e le quantità positive, negative o nulle  sono le quantità scambiate (esattamente  ).

La condizione di scambio multiplo dell’agente i-esimo è quindi :

          .

Condizione di conservazione :

          .

Massimizzazione scambio agente i-esimo col metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Si cerca il massimo relativo della funzione   per l’agente i-esimo vincolato dalla condizione   che rappresenta un iperpiano di dimensione .

Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange porta alla ricerca dei punti critici della funzione :

        .

Si ottiene quindi :

         

da cui :

         

ovvero :

       

Quest’ultimo è un sistema di  equazioni in    incognite, le dotazioni finali   .

 Il sistema conduce alla seguente soluzione :

          .

Si tratta della dotazione finale dell’agente i-esimo espressa in funzione della dotazione iniziale del medesimo agente e dei prezzi che sono fissati per tutto il sistema.

Procedendo nello stesso modo per tutti gli  agenti, si ottengono tutte le    singole dotazioni finali.

Sostituendo queste ultime nella condizione di conservazione si ottiene :

         

che è un sistema di    equazioni in    incognite, i prezzi  .

Considerazioni finali.

Il presente modello fornisce, almeno in linea di principio, una soluzione univoca che determina dotazioni finali e prezzi. Il modello si presenta fortemente non lineare. Sia nella determinazione delle dotazioni che nella determinazione dei prezzi.

Fine.

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