agenti ed 
merci.E-school di Arrigo
Amadori
Miscellanea
Un modello economico di scambio multiplo
Questa pagina è a compendio delle precedenti :
Qui presentiamo in sintesi un modello di scambio multiplo di più merci fra più agenti. Il modello è basato sull'approccio marginalista dell'economia tramite la massimizzazione delle funzioni di utilità.
Consideriamo
agenti ed
merci.
Dotazione iniziale dell’agente i-esimo :
.
Dotazione finale dell’agente i-esimo :
.
Funzione di utilità dell’agente i-esimo :
.
Scambio multiplo dell’agente i-esimo :
dove le 
sono
quantità positive, detti prezzi,
(la
merce 1 è la merce di riferimento nella determinazione dei prezzi) e le quantità
positive, negative o nulle 
sono le quantità scambiate (esattamente 
).
La condizione di scambio multiplo dell’agente i-esimo è quindi :
.
Condizione di conservazione :
.
Massimizzazione scambio agente i-esimo col metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Si cerca il massimo relativo della funzione 
per l’agente i-esimo
vincolato dalla condizione 
che rappresenta un iperpiano
di dimensione 
.
Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange porta alla ricerca dei punti critici della funzione :
.
Si ottiene quindi :
da cui :
ovvero :
Quest’ultimo è un sistema di
equazioni in
incognite, le dotazioni finali 
.
Il sistema conduce alla seguente soluzione :
.
Si tratta della dotazione finale dell’agente i-esimo espressa in funzione della dotazione iniziale del medesimo agente e dei prezzi che sono fissati per tutto il sistema.
Procedendo nello stesso modo per tutti gli
agenti, si ottengono tutte le 
singole dotazioni finali.
Sostituendo queste ultime nella condizione di conservazione si ottiene :
che è un sistema di
equazioni in
incognite, i prezzi 
.
Considerazioni finali.
Il presente modello fornisce, almeno in linea di principio, una soluzione univoca che determina dotazioni finali e prezzi. Il modello si presenta fortemente non lineare. Sia nella determinazione delle dotazioni che nella determinazione dei prezzi.
Fine.