E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Il pendolo di Foucault ... simulato al computer

Nel 1851, nel Pantheon di Parigi, Foucault eseguì il famoso esperimento che  dimostrò definitivamente la rotazione della Terra (l'esperimento di Guglielmini , altrettanto definitivo, ma meno "eclatante", avvenne a Bologna nel 1790 !). 

Il pendolo di Foucault è un pendolo molto alto e pesante ( 67  metri e  28  chilogrammi nell'esperimento originale) fatto oscillare in modo da compiere un angolo piccolo.

In queste condizioni e trascurando l'attrito con l'aria è possibile semplificare enormemente le equazioni del moto ed ottenere quindi un modello matematico numerico attendibile.

Consideriamo che il pendolo di massa    e lunghezza    sia soggetto alle seguenti forze come indicate nel grafico :

       

        (le intensità delle forze sono casuali)

Per semplicità abbiamo posto il la massa del pendolo nell'origine del sistema di riferimento  , sistema che, per comodità di calcolo e senza perdere di generalità, è stato posto in modo che il piano    sia parallelo alla superficie terrestre, l'asse    sia orientato verso sud e l'asse   sia orientato verso est

La forza centrifuga  , la forza gravitazionale    ed il vettore velocità angolare terrestre    giacciono su un piano parallelo (o coincidente come nel grafico) al piano  .

La forza di Coriolis    non giace in generale sul suddetto piano. 

La forza gravitazionale è considerata uniforme e questo costituisce una grossa semplificazione dei calcoli.

L'angolo    è la colatitudine del luogo in cui si compie l'esperimento. La longitudine è ininfluente

Il raggio terrestre è  .

Esprimiamo le componenti dei vettori in gioco rispetto al sistema  .

Abbiamo :

        .

La spiegazione delle formule circa la forza centrifuga e di Coriolis è alle pagine :

        SistemaRuotante.htm .

Poiché la lunghezza    del pendolo è grande e l'angolo della sua oscillazione piccolo, il pendolo può considerarsi (con ottima approssimazione) oscillare sul piano   e quindi il suo moto essere considerato un moto piano. Questa costituisce una ulteriore grande semplificazione che ci permetterà di scrivere equazioni non troppo complesse,

La forza di gravità uniforme, per piccole oscillazioni, genera sul piano    un campo di forze elastiche.

Infatti, osservando il grafico :

       

si deduce che, scomponendo la forza di gravità (forza peso) nelle due componenti (normale e tangenziale all'arco), la sola componente "attiva" è la componente tangenziale di intensità :

        .

Essendo l'angolo    piccolo, possiamo scrivere :

       

per cui tale componente diventa praticamente :

        .

Essendo altresì la lunghezza dell'arco :

        ,

possiamo affermare che l'intensità della componente attiva della forza di gravità è :

        .

Le forze che agiscono sul piano    sono allora :

        .

Si noti che la forza gravitazionale si è "trasformata" in una forza elastica.

Le equazioni del moto del pendolo di Foucault sono allora :

        .

Di questo sistema di equazioni differenziali del secondo ordine cerchiamo una soluzione numerica step by step (questa volta, purtroppo, non è possibile rendere disponibile in rete il relativo programma di calcolo a causa dei lunghi tempi di elaborazione che superano di molto i tempi di macchina forniti dal provider di questi sito).

Con    di iterazioni usando un "passo"  (corrispondenti al tempo complessivo di un'ora di oscillazioni del pendolo), abbiamo ottenuto i seguenti risultati :

       

e :

       

Si noti che la traiettoria di oscillazione ruota in senso orario (nell'emisfero australe ruoterà in senso antiorario).

Si noti anche che il "centro" delle oscillazioni non coincide con il centro degli assi  .

La "rotazione" della traiettoria dipende dalla forza di Coriolis, mentre la forza centrifuga, essendo qui uniforme, costituisce un "disturbo", esso stesso uniforme, della traiettoria.

Lasciamo al lettore la comprensione qualitativa della spiegazione del perché la traiettoria ruota (fra l'altro, compiendo un giro completo non esattamente in un giorno ...).

Fine.

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