E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Operatori integrali

Le equazioni della fisica sono di solito equazioni differenziali alle derivate parziali la cui soluzione analitica (esatta) è possibile solo in pochissimi casi. Nei casi concreti si deve ricorrere a tecniche di approssimazione numerica da eseguirsi al computer.

Una equazione differenziale contiene ovviamente delle derivate le quali possono essere approssimate come rapporti

Per esempio, le formule che di solito si usano sono (in una dimensione) :

       

e :

        .

Ovviamente, l'approssimazione è tanto maggiore quanto più    è piccolo. 

D'altro canto, la "costruzione" della soluzione approssimata di un'equazione differenziale avviene partendo dai valori iniziali dati e procedendo passo passo (iterazione) per cui l'errore che si produce ad ogni iterazione viene riportato ed amplificato nel passo successivo. La scelta di  piccoli diminuisce sì l'errore di ogni iterazione ma costringe a fare più iterazioni per cui non vi è un miglioramento oggettivo della soluzione. 

Gli errori, quindi, con questo metodo (detto anche metodo alle differenze finite), si propagano enormemente rendendo la soluzione più o meno (a volte anche molto) instabile.

Diversamente sarebbe se le equazioni fossero non più in forma differenziale, ma fossero in forma integrale

Un integrale può essere approssimato tramite somme di prodotti con formule di questo tipo :

        .

L'approssimazione in questo caso è tanto migliore quanto più    è grande, ma il grande vantaggio nell'uso degli integrali è che in generale non si ha la propagazione degli errori. La scelta di    introduce una scomposizione nell'intervallo di integrazione e maggiore è  migliore è l'approssimazione senza che vi sia il "passaggio" dell'errore da un "sottointervallo" (in cui è scomposto l'intervallo di integrazione) all'altro.

E' quindi evidente che se le equazioni della fisica fossero in forma integrale si avrebbe sicuramente un grosso vantaggio nella loro approssimazione.

La trasformazione di una equazione differenziale in equazione integrale (ed in una forma utile dal punto di vista della risoluzione numerica) è, purtroppo, problema in generale non semplice.

In questa pagina mostriamo come in generale un operatore lineare (di solito differenziale ma non necessariamente) definito su uno spazio funzionale  può essere trasformato in operatore integrale

Queste considerazioni potranno poi essere utilizzate nei vari casi concreti fra cui, in particolare, per l'equazione temporale di Schrödinger che è l'equazione di base della meccanica quantistica.

Per semplicità di esposizione ci riferiremo al solo caso di funzioni reali ad una dimensione ( ). 

L'esposizione dei concetti e delle formule avverrà inoltre in modo "intuitivo" ed "informale" e questo per evitare l'appesantimento della trattazione. Diremmo che avremo usato uno stile ... da fisici ... più che da matematici .... In particolare, introdurremo la delta di Dirac in modo "simbolico" ed "intuitivo" e non rigoroso come avviene tramite la teoria delle distribuzioni

In definitiva, useremo uno stile "pragmatico" e "conciso" tenendo sempre in vista lo scopo che ci prefiggiamo : le applicazioni numeriche.

01 - Gaussiane.

Nella trattazione che seguirà faremo largo uso della funzione gaussiana    (usiamo la notazione  exp  per comodità grafica) il cui grafico è :

       

I grafici della derivata prima e seconda della gaussiana sono :

       

Come è noto, l'integrale della gaussiana su tutto    vale :

        .

Risulterà utile anche la funzione dispari    il cui grafico è :

         ,

il cui integrale su tutto  vale :

          

e la funzione pari    il cui grafico è :

       

ed il cui integrale su tutto  è :

        .

Una gaussiana normalizzata (con integrale su tutto   ed unitario ( = 1 )) centrata sul punto    è :

          

dove  è un numero reale positivo.

Con    ed    , per esempio, si ha il seguente grafico :

       

02 - La delta di Dirac.

La delta di Dirac non è una funzione. Essa però può essere definita nel seguente modo supponendo che in effetti lo sia, così che in molti casi essa possa essere usata come una funzione qualsiasi. La "funzione" :

       

per cui :

         

si chiama delta di Dirac centrata in  .

Il suo grafico può essere :

       

Una definizione più precisa ed utile può essere data considerando la successione di funzioni rettangolari centrate in    tutte di integrale unitario :

        .

In questo modo la delta di Dirac può essere considerata come una successione di funzioni con supporto a misura tendente a zero ed area unitaria.

Consideriamo ora l'integrale :

        .

Esso è approssimabile dall'integrale :

       

per  .

Ma per  che tende a zero, la funzione   praticamente diventa la costante    e può essere portata fuori dall'integrale. Otteniamo perciò :

        .

Abbiamo perciò dimostrato la fondamentale formula :

        .

Un altro modo per noi molto proficuo di definire la delta di Dirac è tramite le gaussiane normalizzate a uno. Abbiamo cioè :

       

dove    è un numero reale positivo.

Graficamente :

       

Possiamo allora scrivere :

        .

L'operatore integrale :

         

che trasforma la funzione    in un'altra funzione in dipendenza del parametro  è detto operatore di Weierstrass  (nella letteratura si trova il coefficiente  , ma questo è ininfluente).

03 - Operatori integrali.

La forma generale di un operatore integrale che agisce su uno spazio di funzioni definite su tutto    (non entriamo in ulteriori dettagli) è :

         

dove la funzione    è detta nucleo dell'operatore e caratterizza completamente l'operatore stesso. 

E' evidente che un tale operatore trasforma    in  .

Sorge ora spontanea l'esigenza di trasformare un operatore qualsiasi in un operatore integrale. Per esempio, qual'è il nucleo dell'operatore integrale che corrisponde all'operatore differenziale  ?

Se riuscissimo a trovare una formula generale per ricavare il nucleo, potremmo, almeno in linea di principio, trasformare ogni operatore in operatore integrale.

Per fare questo possiamo utilizzare la delta di Dirac.

Sia    un operatore lineare definito su uno spazio di funzioni su  per cui si abbia :

         

essendo    e  due funzioni.

Siccome, per la nota proprietà della delta di Dirac si ha :

        ,

possiamo scrivere :

       

dove con    indichiamo che esprimiamo la funzione    in funzione di  ovvero che     agisce su funzioni di  (analogamente per  ).

D'altra parte abbiamo :

         

per cui, sostituendo, possiamo scrivere :

         

che, agendo    qui su funzioni di  , diventa :

         

dove    agisce sulla delta di Dirac (si noti che è ovviamente  ).

L'integrale doppio può essere scritto come : 

         

per cui, confrontando con  , abbiamo finalmente :

        .

Questa è la formula generale cercata che trasforma ogni operatore    in un operatore integrale fornendoci il suo nucleo  .

Il problema, a questo punto, è spostato a livello di calcolo e la difficoltà consiste nel calcolare    , ovvero come un operatore agisce sulla delta di Dirac, la quale, non essendo una funzione, introduce difficoltà anche concettuali.

Possiamo però considerare, come mostrato sopra, la delta di Dirac come una successione di gaussiane normalizzate a uno :

       

e calcolare come l'operatore agisce su ognuna di esse (questo, in linea di principio è un problema di semplice soluzione). 

Avremo così trovato un nucleo approssimato, dipendente da  , dell'operatore. 

Tale nucleo approssimato sarà :

        .

Infine, facendo il limite  per    , avremo ricavato la trasformata della funzione di partenza  , cioè :

        .

Avremo ricavato tramite il corrispondente operatore integrale.

Mostriamo tutto ciò con alcuni esempi.

04 - L'operatore identità.

Il nucleo    dell'operatore identità  , per cui  , è :

       

ovvero, semplificando :

        .

L'integrale è risolubile elementarmente e fornisce :

        .

Tale nucleo, è identico, come è giusto che sia, all'operatore di Weierstrass.

Abbiamo allora per l'operatore identità :

         

cioè :

        .

Come esempio numerico, consideriamo una funzione lineare  , definita su un intervallo centrato nell'origine e nulla altrove, e vediamo come, per valori di    tendenti a zero, la soluzione venga sempre meglio approssimata. 

La funzione data    è disegnata in blu, le sue successive trasformate sono in rosso (la gaussiana in nero è relativa al nucleo, ma con il coefficiente 4 invece di  2 ).

Per  :

       

Per  :

       

Per  :

        

Per  :

        

La convergenza del metodo è evidente.

05 - L'operatore derivata prima  .

Il nucleo approssimato di tale operatore è :

       

che conduce, eseguita la derivata, alla soluzione dell'integrale :

        .

Si tratta di un integrale elementare anche se i calcoli sono laboriosi. Utilizzando le proprietà della gaussiana espresse al punto - 01 -, con opportune trasformazioni di variabile ed accorgimenti vari, si ottiene :

        .

Come esempio numerico consideriamo la funzione :

          

la cui derivata è ovviamente :

        .

Per  abbiamo :

       

Per  :

       

Per  :

       

Per  :

       

Anche qui la convergenza del metodo è evidente tenendo anche presente che abbiamo ristretto l'intervallo di integrazione su  non potendo ovviamente integrare su tutto  .

06 - L'operatore derivata seconda  .

Il nucleo approssimato di tale operatore è :

        .

Si tratta anche qui di un integrale elementare anche se i calcoli sono laboriosi. Si ottiene :

        .

Come esempio numerico consideriamo ancora la funzione :

          

la cui derivata seconda è ovviamente :

        .

 

Per  abbiamo :

       

Per  :

       

Per  :

       

Per  :

       

Anche qui la convergenza del metodo è evidente.

Fine.

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