E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Onde trasversali

Tutte le informazioni fisiche relative ad un'onda trasversale, nel caso più semplice di un'onda sinusoidale, sono riassunte dalla formula :

        .

In questa pagina ci proponiamo di descrivere le principali proprietà di questa formula ed alcune sue applicazioni nella descrizione di importanti fenomeni quali l'interferenza e la diffrazione.  

La suddetta formula rappresenta e descrive un'onda trasversale

Si ricordi che un'onda trasversale è un'onda generata da una "entità" oscillante trasversalmente alla direzione di propagazione. Onde di questo tipo sono le onde che si formano sulla superficie di un fluido (onde del mare), le onde elettromagnetiche  (in particolare la luce), ecc. Si ricordi anche che le onde sonore non sono trasversali, ma sono longitudinali in quanto oscillano lungo la direzione di propagazione (sono vibrazioni di molecole che si propagano da molecola a molecola). 

01 - Onda trasversale. 

Un'onda sinusoidale trasversale è descritta dalla formula :

        .

Questa formula è di fondamentale importanza e contiene in sé tutte le informazioni fisiche che caratterizzano l'onda stessa. Vediamo di approfondire il significato di questa formula e le sue proprietà più importanti.

Innanzitutto il significato delle costanti che essa contiene :

            è l'ampiezza dell'onda

            è la pulsazione dell'onda ed è analoga alla velocità angolare di un moto circolare

             è la velocità dell'onda.

Il significato di queste costanti sarà chiarito in seguito. 

Occorre però qui subito ricordare le formule fondamentali che sono legate a    . 

Come è noto, si ha :

          dove    è il periodo dell'onda

          è la frequenza dell'onda per cui si ha anche    (   è la lettera greca "ni").

Infine, si ha la formula fondamentale che lega lunghezza d'onda, frequenza e velocità dell'onda :

        .

Passiamo ora all'analisi della formula che descrive un'onda, cioè :

        . 

Come si vede subito, in essa (a parte le costanti definite sopra) sono presenti due variabili indipendenti

        il tempo    e lo spazio

Un'onda è quindi un fenomeno spaziotemporale !!!

Possiamo allora studiare l'onda fissando un istante di tempo e vedendo come essa si "sviluppa" nello spazio, oppure fissando un punto dello spazio e vedendo come l'onda si "sviluppa" nel tempo

        1) l'onda all'istante di tempo prefissato   

In questo caso, è come se "fotografassimo" un'onda marina in un dato istante. 

Sostituendo, tenendo anche presente che  , otteniamo :

        .

Cioè, riassumendo, abbiamo :

        ,

che è una funzione della variabile indipendente  , perché le altre lettere presenti sono tutte costanti date.

Il grafico di questa funzione è il seguente :

       

Infatti, se facciamo la sostituzione  , notando che  ,  otteniamo :

        .

Analogamente per la sostituzione  . Infatti si ha :

        .

Il significato geometrico della lunghezza d'onda    è quindi chiaro !!! Esso rappresenta la distanza fra due creste consecutive, o ventri o altri punti dell'onda in corrispondenza, quando l'onda viene vista "sviluppata" nello spazio. L'analogia con le onde del mare è evidente.

Si noti che, essendo la variabile    preceduta dal segno  "-" , la sinusoide, dal punto  verso destra, procede prima decrescendo e poi crescendo, in modo cioè opposto al normale andamento della sinusoide che presenta il segno  "+"  davanti alla  .

        2) l'onda all'istante di tempo prefissato  con  .

Supponiamo che l'istante    sia successivo all'istante . Avremo l'onda :

         

a cui corrisponde il grafico (confrontando la nuova onda con la precedente) :

       

(le due sinusoidi, la prima corrispondente a    e la seconda corrispondente a    , sono indicate chiaramente dalle frecce)

Il dato fondamentale che deduciamo osservando le due sinusoidi è che la seconda (quella corrispondente all'istante  ) si è "spostata" verso destra (verso destra, perché essendo  , sarà di conseguenza  ) rispetto alla prima (quella corrispondente a  ). 

L'onda si è propagata !!! Calcoliamo ora la velocità di questa propagazione che ci aspettiamo sia ovviamente la velocità dell'onda    presente nella formula stessa.

Il tratto percorso dall'onda sarà :

       

ed il tempo impiegato a percorrerlo :

        .

Avremo quindi che la velocità dell'onda è appunto :

        .

Ecco un esempio di propagazione di un'onda nello spazio in vari istanti di tempo in successione :

       

        3) l'onda nel punto dello spazio prefissato 

In questo caso, è come se osservassimo un'onda marina salire e scendere in un punto fisso dello spazio. 

Nel grafico seguente consideriamo un'onda che si propaga nello spazio in vari istanti di tempo in successione e concentriamo la nostra attenzione su un punto fisso    dello spazio (posto sull'asse delle ascisse). Il valore della variabile , che caratterizza l'onda, in tale punto oscilla  nel tempo fra un valore minimo ed un valore massimo pari a  ed , dove    è l'ampiezza dell'onda.

       

L'onda sarà, nel punto fisso  dello spazio, tenendo ancora presente che    :

       

ovvero :

       

essendo  .

Si tratta di una funzione della variabile indipendente  .

Il grafico di una tale sinusoide è :

       

Infatti, se facciamo la sostituzione  , tenendo presente che    e che  ,  otteniamo :

        .

Analogamente per la sostituzione  . Infatti si ha :

        .

In questo caso, la distanza fra due creste consecutive (o ventri o qualsiasi altra coppia di punti corrispondenti) è uguale al periodo  dell'onda !!! Questo fatto, di estrema importanza, sintetizza la diversità delle due sinusoidi, quella in funzione dello spazio (tenendo fisso il tempo) e quella in funzione del tempo (tenendo fisso lo spazio). 

        4) rappresentazione sintetica

Un'onda trasversale  , in conclusione, può essere vista come due sinusoidi diverse, ciascuna esprimente certe proprietà fisiche dell'onda !!! 

Vi è infine un modo "sintetico" di visualizzare la funzione   . Quella di considerarla, essendo una funzione di due variabili indipendenti, una superficie. Il grafico di tale superficie è :

        

Lasciamo al lettore il godimento "estetico" di questa superficie e le considerazioni fisiche che da esse si possono dedurre e che sintetizzano quelle fatte sopra.

02 - Equazione di d'Alembert.

L'onda trasversale    è detta anche onda piana monocromatica e rappresenta una soluzione dell'equazione delle onde di d'Alembert

Per una dimensione spaziale l'equazione di d'Alembert è :

          .

Le equazioni di Maxwell dell'elettromagnetismo conducono, con opportune trasformazioni matematiche, direttamente all'equazione di d'Alembert ed è per questo che, storicamente, le onde elettromagnetiche vennero prima ipotizzate teoricamente e poi successivamente rivelate fisicamente (da Hertz). 

Verifichiamo che l'onda    verifica l'equazione di d'Alembert.

Abbiamo :

         

per cui :

        .

L'onda piana monocromatica è quindi una soluzione delle equazioni di Maxwell di cui l'equazione di d'Alembert è, per così dire, una "sintesi". Le onde elettromagnetiche, quindi, nel caso più semplice, sono onde piane monocromatiche che avanzano lungo linee rette (i cosiddetti raggi luminosi dell'ottica geometrica). Ciò che oscilla è il vettore campo elettrico ed il vettore campo magnetico e l'oscillazione avviene trasversalmente. Come poi i suddetti vettori siano correlati non sarà mostrato qui perché ciò esulerebbe dallo scopo di queste semplici note introduttive.  

In realtà, le onde elettromagnetiche hanno "strutture geometriche" molto più complicate di queste semplici onde piane monocromatiche e si propagano nello spazio in modi molto complessi, ma sempre in modo da soddisfare l'equazione di d'Alembert. Le onde elettromagnetiche sono prodotte da cariche elettriche in moto accelerato (una carica in moto rettilineo uniforme non emette onde elettromagnetiche !!!) e la "struttura" delle onde che esse emettono dipende da come queste cariche si muovono

Non entriamo in ulteriori dettagli e continuiamo a limitarci alle semplici onde piane monocromatiche.

03 - Composizione di onde trasversali.

Supponiamo che più onde si incontrino in un punto. In quel punto esse si comporranno, si sovrapporranno, ovvero, le funzioni matematiche che le rappresentano si sommeranno

In questo modo avviene la composizione (sovrapposizione) di onde trasversali. Questo è esattamente ciò che avviene fisicamente nei fenomeni di interferenza e diffrazione. Tali fenomeni, molto importanti ed interessanti, possono essere spiegati facendo riferimento al seguente semplice modello matematico.

Facciamo l'esempio di due onde trasversali prodotte da due punti e che vanno a sovrapporsi (interferiscono) su di uno schermo (come nell'esperimento classico di Young). In sezione, guardando dall'alto :

       

La distanza fra il piano    e lo schermo è  , la distanza    è  , i cammini compiuti dalle onde sono  , .

Introducendo la coordinata  :

       

possiamo ricavare  ,   in funzione di  , . Si ha :

       

per cui, per il teorema di Pitagora, si ottiene :

        .

Le onde che interferiscono nel punto    di ascissa  hanno equazione :

        .

Nel punto    si ha la l'interferenza, ovvero la sovrapposizione delle due onde, ovvero la somma delle funzioni che le rappresentano. 

Si ha perciò :

        .

Proponiamoci di studiare questa funzione che, come sottolineiamo subito, è funzione del tempo (le altre sono costanti date, compresi i due cammini  , ).

Abbiamo :

        .

Ponendo :

        ,

essendo :

        ,

confrontando, otteniamo :

       

da cui, dividendo ambo i membri in colonna, si ricava :

       

e, sommando i quadrati di ambo i membri, anche :

       

ovvero :

        .

Questa formula, di grande importanza, dà l'intensità    dell'onda risultante dall'interferenza nel punto  . Essa descrive completamente il fenomeno (la formula che fornisce lo sfasamento    dell'onda risultante non è così importante).

Approfondiamo lo studio di  . 

Innanzitutto si ha :

         

per cui possiamo scrivere :

        .

La nuova ampiezza    si annulla quando :

          

dove    (un numero intero positivo, negativo, nullo qualunque).

Semplificando, otteniamo :

       

cioè (in sintesi) :

         .

Questo è un risultato molto importante

        l'ampiezza dell'onda risultato dell'interferenza si annulla quando la differenza dei cammini è un multiplo dispari di mezza lunghezza d'onda (in particolare quando  ).

In questi casi si ha interferenza distruttiva ed in corrispondenza, sullo schermo, appaiono righe nere.

La nuova ampiezza    è massima quando :

       

dove    (un numero intero positivo, negativo, nullo qualunque).

Semplificando, otteniamo :

         

cioè :

        .

Anche questo è un risultato molto importante

        l'ampiezza dell'onda risultato dell'interferenza è massima quando la differenza dei cammini è un multiplo di una lunghezza d'onda.

In questi casi si ha interferenza costruttiva ed in corrispondenza, sullo schermo, appaiono righe bianche.

Esprimiamo ora l'ampiezza    in funzione della variabile  .

Sostituendo i valori ricavati in precedenza di   , , avremo :

        .

Questa formula rappresenta l'ampiezza della nuova onda risultante dall'interferenza in funzione di    (oltre che dei parametri legati alle dimensioni geometriche dell'esperimento e all'onda). 

Calcoliamo ora quanti picchi possiede l'ampiezza    al variare di  . In pratica calcoliamo quante righe bianche presenta l'interferenza.

I massimi relativi di     si presentano quando :

         

dove  .

Semplificando, otteniamo :

       

e :

       

ed, elevando al quadrato :

       

e :

       

ed, elevando al quadrato (dopo avere isolato la radice) :

       

e :

       

e :

       

ed infine :

        .

Si hanno massimi relativi di    quando :

       

ovvero, quando :

       

che fornisce :

        .

Questa importante espressione esprime il fatto che si ha più di una riga di interferenza quando  .

Esempi grafici :

        1)     , , , :

       

        2)     , , , :

       

        3)    , , , :

       

        4)    , , , :

       

        5)    , , , :

       

Molte sono le considerazioni che si possono fare sulla forma dell'ampiezza    in dipendenza delle varie scelte dei parametri (da cui essa dipende) che si possono fare. Tali considerazioni forniscono la base di interpretazione degli importanti fenomeni fisici di interferenza e diffrazione.

Si noti infine il fatto molto importante che, quando  ,  si ha  (ed anche    per  ). Questo significa che :

        .

All'infinito (sullo schermo), quindi si otterrebbe una intensità dell'onda (che è legata all'ampiezza)  che ha valore finito ed anche in generale non nullo. Questo fatto porta ad un assurdo fisico. Essendo l'intensità dell'onda legata all'energia dell'onda, si otterrebbe così un'energia infinita (valori finiti che si sommano all'infinito !!!).

In effetti, questo fin qui mostrato è un modello teorico che non corrisponde alla realtà fisica se non per cammini non troppo grandi. Nella realtà, in situazioni come nell'esperimento di Young, non si hanno onde monocromatiche piane, bensì onde sferiche la cui intensità diminuisce come l'inverso del quadrato del raggio.

Graficamente (in sezione e per una sola fenditura) :

         

Fine.

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