E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Onde e fenditure

In questa pagina mostriamo un modello matematico in due dimensioni per la costruzione delle figure di diffrazione ed interferenza (non vi è reale distinzione fisica fra i due fenomeni !!) su una e due fenditure prodotte da onde trasversali.

Tale modello su basa sul principio di Huygens per cui ogni punto di un fronte d'onda è considerato generare un'onda sferica (nel nostro caso, date le due dimensioni del modello, circolare).

In un punto qualunque dello schermo si avrà la sovrapposizione (somma) di tali onde sferiche.

Chiameremo oscillatore infinitesimale unidimensionale un segmento infinitesimo generante un'onda sferica nel nostro "ambiente" bidimensionale. Ne definiremo la forma matematica e costruiremo l'integrale che dà la sovrapposizione delle onde sferiche (circolari) in un punto dello schermo. Mostreremo infine alcune elaborazioni del modello nel caso di una e due fenditure.

01- Oscillatore infinitesimale unidimensionale.

Definiamo il concetto di oscillatore infinitesimale unidimensionale osservando il seguente grafico che rappresenta una situazione simile all'esperimento classico di Young (visto dall'alto ed in sezione) :

L'oscillatore  è situato sull'asse  e si suppone che tutti gli oscillatori in gioco siano posizionati sull'asse  . L'asse     viene perciò chiamato retta sorgente. Tutti gli oscillatori infinitesimali sono in fase. Il punto    , su cui pervengono tutte le onde sferiche (circolari) prodotte dagli oscillatori giacenti sulla retta sorgente, si trova sullo schermo che dista    dalla retta sorgente.

Supponiamo che vi sia uno smorzamento del segnale rappresentabile da un coefficiente : 

          , 

dove    è un opportuno esponente positivo.

Il segmento  sullo schermo corrispondente, così come indicato in figura, a   vale di conseguenza :

        .

Introducendo l'oscillazione sinusoidale, possiamo supporre che nel punto    l'onda prodotta dall'oscillatore    sia rappresentata dalla grandezza   che definiremo subito. Tale grandezza potrebbe, per esempio, essere la componente lungo lo schermo del campo elettrico o magnetico oscillante (nel caso di onde elettromagnetiche ed in particolare di luce).

La grandezza  potrebbe valere :

dove     è un opportuno coefficiente (positivo) di ampiezza,   è la pulsazione dell'onda (essendo ,   è il periodo,   è la frequenza e  dove   è la lunghezza d'onda e   è la velocità dell'onda).

Essendo :

otteniamo :

        .

Occupandoci dei soli punti    appartenenti allo schermo ed ordinando, avremo infine :

        .

Questa formula fornisce il "contributo" dell'oscillatore    calcolato nel punto  e si tratta di una funzione del tempo  e dello spazio  .

02 - Una fenditura.

Consideriamo ora il fenomeno di diffrazione (od interferenza che dir si voglia) prodotto da una fenditura larga  .

Avremo graficamente :

Le onde che colpiranno il punto    saranno solo quelle emesse dagli oscillatori compresi nell'intervallo    dell'asse    centrato nell'origine. 

Avremo allora che la grandezza  , funzione di  e di    , che esprime la "perturbazione" ondosa  in  , vale :

        .

Si tratta di un integrale "a prima vista" non risolubile analiticamente. Procediamo quindi alla sua approssimazione numerica in alcuni casi.

Produciamo grafici di  in funzione di    considerando il tempo    come un parametro che varia nell'intervallo  (dove    è il periodo) con una scansione di   (quindi dieci curve ogni grafico).

        1)    , , , , , : 

        (in altra scala)

        2)    , , , , , : 

        3)    , , , , , : 

        4)    , , , , , : 

        (in altra scala)

        5)    , , , , , : 

        (in altra scala)

        6)    , , , , , : 

Molte sono le considerazioni che si possono trarre osservando i grafici. 

Lasciamo al lettore il confronto dei risultati ottenuti con detti grafici con le nozioni su interferenza e diffrazione che si trovano sui testi scolastici. Noi notiamo il fatto fondamentale che si ha la cessazione dei fenomeni di interferenza quando  con relativo "sparpagliamento" dell'onda. Notiamo anche che quando  le onde si propagano oltre la fenditura "praticamente" in linea retta. 

Per valori    si ha interferenza con sequenze di massimi e minimi tali per cui il primo minimo si trova all'angolo che soddisfa la relazione :

(verifica ottenuta direttamente sui grafici) cioè :

         .

Per esempio, nel caso con   si ottiene :

che corrisponde a ciò che si è ottenuto nel grafico relativo qui riportato con la scala corrispondente :

03 - Due fenditure.

Consideriamo ora due fenditure come indicato nel grafico :

Esse sono separate da un intervallo lungo    centrato nell'origine.

Naturalmente, l'integrale che fornisce la grandezza    in    è :

        .

Consideriamo i seguenti casi indicativi :

        1)    , , , , , , : 

        2)    , , , , , , : 

        (in altra scala)

Si confrontino i risultati qui ottenuti con due fenditure rispetto a quelli con una fenditura. 

Nel primo caso, con  , ora abbiamo interferenza che era assente con una sola fenditura.

Nel secondo caso, con  , continuiamo ad avere onde che fuoriescono dalle fenditure "praticamente" in linea retta e senza interferire.

Fine.

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