E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

L'esperimento classico di Guglielmini ... simulato al computer

Nel 1790 l'abate Giovan Battista Guglielmini eseguì, nella Specola Bolognese, il primo esperimento della Storia che dimostrava la rotazione della Terra. Questo esperimento, però, non ebbe il "successo" che meritava e fu "oscurato" dal più "eclatante" esperimento che Foucault eseguì 50 anni dopo nel Pantheon di Parigi

Il pendolo di Foucault aveva il merito di mostrate in modo inequivocabile la rotazione della Terra mentre l'esperimento di Guglielmini, anche se molto più sofisticato e complesso, aveva il demerito di "giocarsi la propria credibilità" in pochi millimetri ... di difficile previsione teorica e misurazione ...

L'idea alla base dell'esperimento di Guglielmini non era nuova. Galileo e Newton stessi avevano previsto che, essendo il pianeta Terra un sistema non inerziale, i gravi, cadendo, dovessero subire una deviazione rispetto alla verticale.

Guglielmini, per primo, misurò questa deviazione e la confrontò con i dati teorici previsti ottenendo una buona precisione

In questa pagina, noi, non analizzeremo l'esperimento in questione ma lo simuleremo al computer trovando i "nostri" risultati che non confronteremo con quelli ottenuti da Guglielmini. Circa le previsioni teoriche, in letteratura ne esistono diverse in quanto le equazioni differenziali, che descrivono la caduta di un grave in un sistema ruotante, non sono (fino a prova contraria) risolubili analiticamente.

Si possono ricavare soluzioni teoriche approssimate ponendo condizioni restrittive. Noi ci confronteremo solamente con la soluzione data da L. Landau nel suo testo di Meccanica ricavata non considerando l'atmosfera né la forza centrifuga. Tale soluzione approssimata presenta una deviazione verso est (e nessuna deviazione verso sud (nell'emisfero nord)) pari a :

       

dove    è la quota da cui il grave cade,    è l'accelerazione di gravità (considerata costante),    è la velocità angolare della Terra e    è la latitudine (nel nostro caso nord (la colatitudine è    )).

01 - L'esperimento.

Guglielmini fece cadere dei gravi di forma sferica dall'alto della Specola Bolognese lungo lo spazio ottenuto nel centro della scala a chiocciola della Specola stessa (ripeté poi l'esperimento sulla più alta Torre degli Asinelli) e misurò, alla base, la deviazione che i gravi subivano rispetto ad un filo a piombo di riferimento.

I dati dell'esperimento sono i seguenti :

 grandezza :  descrizione :  valore (nel SI) :  note :
 T  periodo di rotazione della Terra  86400  
 G  costante di gravitazione universale  6.67259E-11  
 M  massa della Terra  5.9736E+24  
 R0  raggio della Terra  6.37815E+6  
 θ  colatitudine di Bologna  0.7939939  in radianti (la latitudine è 44° 30' 27'' N)
 φ  longitudine   0  dato non influente
 ρ  densità dell'aria  1.25  
 k1  1' coefficiente attrito del mezzo   3.43E-6  calcolato per r = 0.01
 k2  2' coefficiente attrito del mezzo  7.85E-5  idem come sopra 
 m  massa del grave sferico  0.04775  si tratta di una sfera di piombo
 r  raggio del grave sferico  0.01  
 z  quota da cui cade il grave  29  

Per l'attrito del mezzo si sono usate le seguenti formule :

       

dove    è la viscosità dell'aria (valore utilizzato ),   è il raggio del grave (di forma sferica),  è il coefficiente aerodinamico di resistenza (valore utilizzato  ),   è la densità dell'aria (valore utilizzato  ) e  è la sezione del grave (di forma sferica).

02 - Il modello teorico ed il modello numerico.

Il modello teorico che sottende all'esperimento descrive la caduta di un grave rispetto ad un sistema di riferimento solidale con la Terra in rotazione ed in presenza di un campo gravitazionale centrale e di atmosfera.

Il modello numerico è basato sulla approssimazione "step by step" delle equazioni differenziali  del modello teorico secondo un certo  "abbastanza piccolo".

I modelli teorici e numerici sono presentati alle pagine :

        http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/1/SistemaRuotante.htm 

        http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/1/SistemaTerrestreLocale.htm 

Elaborando i dati del problema con il programma numerico :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/SistemaTerrLocale/sistematerrlocale.htm 

si ottiene il seguente grafico :

       

        (attenzione alle scale usate)

Il grafico è stato elaborato con :

        (incremento temporale)

           (numero iterazioni).

Sono utili i seguenti dati :

g = 9.79808316195 (accelerazione di gravità al suolo  )

deviazione teorica verso sud del filo a piombo = 0.0499977088095 (inizio filo in (0,0,z) lunghezza filo = z) (vedi paragrafo successivo)

deviazione teorica verso est secondo Landau = 0.00243950929817 (caduta di un grave da quota z senza atmosfera e trascurando la forza centrifuga, da formula data in precedenza)

I valori finali (dopo l'iterazione numerica) di coordinate e velocità sono :

Valori finali : x = 0.0500120692379 y = 0.00243799266713 z = -0.00467092193399 R = 0.0502888495535

Valori finali : vx = 0.0401081067943 vy = 0.00293275094138 vz = -23.2608623564 v = 23.2608971199 .

Come si vede bene il grave subisce una deviazione verso sud pari a    ed una deviazione verso est pari a  .

A meno di errori dell'ordine di meno del decimo di millimetro, il modello numerico ottiene una deviazione verso sud uguale alla deviazione del filo di piombo ed una deviazione verso est è uguale al valore teorico previsto.

Per quanto riguarda la deviazione del filo a piombo occorre precisare quanto segue.

03 - La deviazione del filo a piombo.

Consideriamo un filo a piombo applicato alla quota  , lungo    e tale per cui il filo abbia massa trascurabile

Il "piombo" (la cui massa è  ) subisce oltre la forza di gravità anche la forza centrifuga. Il filo a piombo, di conseguenza, non "punta" effettivamente il centro del campo gravitazionale (il centro della Terra) ma si allinea sulla direzione della risultante fra la forza di gravità e la forza centrifuga

Graficamente :

       

        (la forza centrifuga è stata ingrandita per esigenze grafiche)

Determiniamo tale direzione rispetto alla verticale teorica passante per il centro della Terra.

Calcoliamo nel sistema   le componenti della forza gravitazionale  e della forza centrifuga  . Abbiamo :

       

dove    è il raggio della Terra e    è la colatitudine.

La forza risultante sarà :

        .

Calcoliamo ora l'angolo    che rappresenta la deviazione del filo a piombo rispetto alla retta passante per il centro della Terra.

Graficamente :

        

Si ha :

       

da cui si ricava facilmente :

        .

La deviazione verso sud del filo a piombo sarà allora :

         

essendo    la lunghezza del filo a piombo.

04 - Conclusione.

Il modello numerico qui presentato fornisce un risultato coerente con la previsione teorica a meno del decimo di millimetro. Si tratta di un'ottima precisione !!!

Si noti che la deviazione verso sud del grave è "praticamente" identica alla deviazione verso sud del filo a piombo. Per questo motivo l'esperimento di Guglielmini è in grado di determinare solamente una deviazione verso est del grave.

Fine.

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