Miscellanea
Geometria differenziale ed ... economia (2' parte)
Il modello economico proposto alla precedente pagina :
GeomDiffEdEconomia.htm
si basa sul concetto della ricerca della massima utilità per l'intero sistema.
In questa pagina presenteremo un modello economico basato sul concetto della ricerca della massima utilità
per ogni singolo individuo.
In altre parole, il presente modello in qualche modo introduce una certa idea di dinamica competitiva,
concorrenziale, fra gli individui.
Per il presente modello valgono tutte le impostazioni date per il precedente. Anche per gli esempi numerici ci
rifacciamo alle funzioni di utilità ed alle condizioni iniziali date in precedenza, cioè si hanno le funzioni di utilità :
dove
, 
, 
e la derivata
prima è :
.Si ha inoltre :
.
Come sopra accennato, teniamo separate le utilità per i singoli individui e cerchiamo separatamente la loro
massimizzazione per un fissato prezzo.
01 - Massimizzazione dell'utilità per l'individuo 1 .
La funzione di utilità per l'individuo 1 è :
mentre l'equazione del vincolo è :
ovvero :
dove
rappresenta un dato prezzo che deve essere positivo. Graficamente :
Le frecce indicano il verso della transazione economica. Si noti che quando una merce cresce, l'altra cala e
viceversa.
A partire dal punto iniziale
l'individuo 1 "cercherà", scambiando le proprie merci, di
raggiungere il punto
finale
che, per un dato prezzo ,
renderà massima la sua funzione di utilità 
seguendo il vincolo
suddetto.
La funzione di utilità
, nell'esempio numerico scelto, risulta :
Se esprimiamo
in funzione della sola 
otteniamo :
che assume le seguenti rappresentazioni grafiche (sempre nell'ambito dell'esempio numerico prescelto) :
Il punto di massimo della funzione di utilità
dipende evidentemente dal prezzo
.
Troviamo tale punto con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Costruiamo la funzione :
e troviamo le relazioni che ne determinano i punti critici. Esse sono :
Ebbene, il punto
per cui l'utilità 
è massima (massimo relativo condizionato) deve soddisfare
l'equazione :
ottenuta immediatamente dalla precedente eliminando il parametro
.
Il punto di massimo relativo condizionato di
viene quindi fornito dal sistema :
.
Per l'esempio numerico prescelto, otteniamo con semplici calcoli :
.
Ovviamente i valori trovati sono in funzione del prezzo
.
02 - Massimizzazione dell'utilità per l'individuo 2 .
Per l'individuo 2 si procede allo stesso modo.
La funzione di utilità per l'individuo 2 è :
mentre l'equazione del vincolo è :
ovvero :
dove
rappresenta un dato prezzo che deve essere positivo.
Naturalmente si tratta del medesimo prezzo
definito per l'individuo 1 .
Graficamente :
Le frecce indicano il verso della transazione economica. Si noti che quando una merce cresce, l'altra cala e
viceversa.
A partire dal punto iniziale
l'individuo 2 "cercherà", scambiando le proprie merci, di
raggiungere il punto
finale
che, per un dato prezzo
,
renderà massima la sua funzione di utilità 
seguendo il vincolo
suddetto.
La funzione di utilità
, nell'esempio numerico scelto, risulta :
Se esprimiamo
in funzione della sola 
otteniamo :
che assume le seguenti rappresentazioni grafiche (sempre nell'ambito dell'esempio numerico prescelto) :
Il punto di massimo della funzione di utilità
dipende evidentemente dal prezzo
.
Trovando tale punto con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, in analogia con quanto fatto per l'individuo 1 ,
si ottiene il sistema :
.
Per l'esempio numerico prescelto, otteniamo con semplici calcoli :
.
Ovviamente i valori trovati sono in funzione del prezzo
.
03 - Determinazione del prezzo.
Lo scambio effettivo delle merci avviene solo quando le equazioni di conservazione :
vengono soddisfatte (altrimenti, lo scambio non può avvenire).
Si devono allora sostituire i valori ricavati
dai precedenti sistemi, valori che sono in funzione di ,
nelle equazioni di conservazione. Sostituendo in una delle due relazioni di conservazione si ottiene una equazione
in
risolvendo la quale si ricava
(stesso risultato scegliendo l'altra equazione).
Nel caso dell'esempio numerico, otteniamo :
.
da cui :
(la non perfetta "quadratura" dei dati dipende dalla precisione con cui è stato ricavato con metodi numerici
).
04 - Confronto fra i due modelli.
E' immediato verificare che il prezzo
è diverso nei due modelli. In questo caso abbiamo ricavato un valore
inferiore al precedente.
I due modelli, come già dichiarato, sono diversi e portano a risultati diversi.
La ricerca del massimo dell'utilità del sistema non coincide con la ricerca del massimo di utilità per i due individui.
Questa affermazione è di grande importanza e stimola ulteriori indagini.
I risultati numerici ottenuti (a parità di singole funzioni di utilità e di condizioni iniziali) per il modello precedente
sono :
.L'utilità totale è :
.
I risultati numerici ottenuti (a parità di singole funzioni di utilità e di condizioni iniziali) per il modello attuale
sono :
L'utilità per l'individuo 1 è :
.
L'utilità per l'individuo 2 è :
.
L'utilità per il sistema è :
.
I risultati numerici circa i totali ottenuti non devono "trarre in inganno". Da essi non è possibile confermare o meno
una eventuale legge che i due modelli portano alla stessa utilità totale. L'approssimazione numerica qui usata (due
decimali) non è sufficiente a "competere" contro il comportamento asintotico delle funzioni di utilità.
Fine.
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