E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Esempi di propagazione di onde

La natura è costituita da particelle ed onde

Questi due aspetti della realtà sono addirittura, secondo la meccanica quantistica, intrinsecamente collegati
le due facce di una stessa medaglia. Questo concetto va sotto il nome di dualismo onda-particella

In questa pagina mostriamo qualche esempio di propagazione di onde dal punto di vista della meccanica classica 

e della teoria della relatività. In particolare dimostreremo come la frequenza delle onde possa essere percepita  
in modo apparentemente diverso da un ricevitore in moto rispetto al generatore (effetto Doppler). 

Vedremo anche come le deformazioni dello spazio-tempo, causate secondo la teoria della relatività generale dalle 
masse, modificano le frequenze ricevute (red-shift gravitazionale, red-shift cosmologico (red-shift = spostamento 
verso il rosso)).

Consideriamo essenzialmente un generatore di onde, un mezzo in cui le onde si propagano ed un ricevitore


Il tutto è riferito ad un sistema di riferimento inerziale    rispetto al quale il mezzo sarà considerato in quiete
mentre generatore e ricevitore sono in moto relativo. Il mezzo è quindi solidale con 
.

La propagazione delle onde è considerata avvenire rispetto al mezzo con velocità costante, quindi con velocità 

costante rispetto a  , indipendentemente dal moto del generatore e del ricevitore. Si può pensare che  
l'onda sia una eccitazione del mezzo e che in esso vi si propaghi così come un'onda marina si propaga rispetto 
al suo mezzo, il mare. Il ricevitore, nel suo moto rispetto a  , e quindi rispetto al mezzo, incontrerà tale onda 
e ne potrà misurare le caratteristiche, che saranno di conseguenza caratteristiche apparenti.

Per esigenze di semplicità ci riferiremo ad
un sistema di riferimento inerziale spazio-temporale a due dimensioni  

, dove    è la variabile spaziale e    la variabile temporale

Prima di passare ai modelli matematici, richiamiamo qui alcuni concetti e definizioni relative alle onde.


Un'onda è una entità che, per quello che ci serve, può essere descritta essenzialmente dalle seguenti grandezze :

        -    lunghezza d'onda    ("lambda")


        -    periodo   


        -    frequenza ("ni")

        -    velocità   .

Graficamente, per un'onda sinusoidale :


       

La lunghezza d'onda è la distanza fra due creste dell'onda e si misura in metri.


Il periodo è la quantità di tempo in cui avviene una oscillazione completa dell'onda, ovvero il tempo in cui 
un'onda passa da una cresta alla successiva, e si misura in secondi.

La frequenza indica quante oscillazioni complete un'onda compie nell'unità di tempo (il secondo) e si misura 
in hertz

La velocità dell'onda è la velocità, espressa in metri al secondo, con cui l'onda procede nel mezzo.

Le grandezze qui definite soddisfano le fondamentali relazioni matematiche :

       
          .

Per semplificare i calcoli, immaginiamo che il generatore emetta con continuità ad intervalli regolari di 
tempo 
  brevissimi (infinitesimi) impulsi di onde. In questo modo è come se considerassimo una sola 
cresta di onda avanzare nel mezzo e possiamo così facilmente descrivere la cinematica di questi impulsi.

Passiamo ora alla definizione di alcuni differenti modelli di generazione, propagazione e ricezione di onde.

01 - Modello classico.

In questo modello
assumiamo anche che il tempo sia assoluto, ovvero che vi sia un orologio solidale con 
il generatore ed un orologio solidale con il ricevitore e che entrambi segnino lo stesso tempo, il tempo 
assoluto del sistema.

Un tale modello si presta a descrivere la propagazione di onde acustiche in un mezzo materiale o di 
onde elettromagnetiche in un'etere classico (ovvero in un ipotetico mezzo di propagazione delle onde 
elettromagnetiche, mezzo considerato immobile rispetto ad un sistema di riferimento inerziale assoluto che 

qui coincide con  ).

Immaginiamo allora un generatore dotato di velocità  ed un ricevitore dotato di velocità  in moto 

rispetto a 

Disegniamone i grafici orari rispetto a :

        

Il ricevitore, al tempo  , si trova nella posizione  . Le velocità abbiano valore qualunque (nel grafico 
  è 
positiva e    è negativa).

Immaginiamo ora che il trasmettitore emetta una sequenza di impulsi ad intervalli di tempo regolari 
a partire 
dall'istante 
e consideriamo i soli eventi  di coordinate   e  di coordinate . Dei due fronti 
ondosi generati, consideriamo solo quello che avanza nel senso positivo dello spazio. 

Graficamente abbiamo :

       

Il ricevitore incontrerà le onde emesse nei punti  .

Determiniamo le coordinate di tali punti e, tenendo presente che :

       

calcoliamo la differenza delle coordinate temporali (la coordinata temporale di    meno quella di  ).


Chiamando con 
  tale differenza, dopo semplici calcoli otteniamo :

        .

Il numero 
  rappresenta il periodo dell'onda così come viene trasmessa dal trasmettitore mentre il numero  
  rappresenta il periodo dell'onda così come viene ricevuta dal ricevitore in moto rispetto al trasmettitore 
ed al mezzo, ovvero il periodo apparente dell'onda.

Come si vede bene, tali periodi sono diversi. Questo fenomeno va sotto il nome di effetto Doppler.

Di conseguenza, per le frequenze vale :

        .

Lasciamo al lettore le molteplici ed interessanti considerazioni che da questa formula scaturiscono, specialmente 
ponendo separatamente  , .

Si noti che queste due situazioni fisiche sono completamente diverse

02 - Modello relativistico per le onde elettromagnetiche.

Qui poniamo per semplicità  e  .  

Nel modello precedente classico abbiamo presupposto che il tempo sia assoluto. La teoria della relatività 

ristretta modifica radicalmente questo concetto abolendo anche la necessità di un mezzo (l'etere) rispetto 
al quale la radiazione elettromagnetica si propaga.

Ogni sistema di riferimento inerziale ha il proprio spazio-tempo e le trasformazioni che legano queste entità 
sono le trasformazioni di Lorentz. All'interno di ogni sistema di riferimento inerziale la velocità della radiazione
elettromagnetica è costante per cui non vi è più bisogno dell'etere.

Il precedente modello va quindi modificato introducendo un periodo (tempo) proprio del trasmettitore di 
onde (trasmettitore inteso come solidale con un proprio sistema di riferimento inerziale a sé stante) distinto dal

periodo  misurato dal ricevitore.

Chiamiamo il periodo proprio del trasmettitore con  . La relazione fra    e 
, numero che continua  
ad indicare l'intervallo di tempo del sistema 
che rappresenta la scansione in cui vengono emessi gli impulsi, 
è espressa dalla nota formula (ricavata dalle trasformazioni di Lorentz) :

        .

Il grafico diventa allora :

       

Rispetto al modello precedente l'unica modifica sostanziale consiste nell'introduzione del periodo proprio 
del trasmettitore  . La formula dell'effetto Doppler diventa perciò :

         

e per la frequenza :

         

dove    è la frequenza propria del trasmettitore.

E' interessante mostrare il grafico di 
  che risulta (per  ) :

       

Naturalmente, per    le formule relativistiche coincidono (a meno di infinitesimi irrilevanti) con il caso classico
Facendo infatti lo sviluppo in serie di Taylor del valore di 
ricavato sopra otteniamo :

         

dove i puntini sottintendono termini di grado superiore di  e perciò trascurabili in quanto 
.

In queste condizioni ( 
) si ha anche ovviamente  per cui si ottiene ancora la formula classica 
dell'effetto Doppler :

       


(ricordare che qui abbiamo posto  
,  ).

Passando alla frequenza si ha :


       


che, sviluppata in serie di Taylor per 
, diventa :

        .

03 - Red-shift gravitazionale.

Secondo la teoria della relatività generale le masse incurvano lo spazio-tempo per cui il tempo, in 

generale, appare non scorrere allo stesso modo in tutti i punti dello spazio. 

Può allora succedere che, in prossimità di una massa, il tempo sembri scorrere diversamente rispetto
ad   
un punto più lontano. Questo è esattamente ciò che succede e può essere verificato sperimentalmente 
osservando lo spettro delle stelle massicce e dense e, oggi, grazie ad una tecnologia sempre più precisa, 
anche confrontando 
i tempi di orologi atomici a bordo di satelliti artificiali rispetto ad analoghi orologi posti 
sulla superficie terrestre.

Consideriamo il campo gravitazionale generato da una massa puntiforme  nel vuoto ed introduciamo la 
metrica di Schwarzschild :

        
                        

dove :

                   

è il cosiddetto raggio gravitazionale che corrisponde all'orizzonte degli eventi del buco nero prodotto dalla 
massa  (    è la costante di gravitazione universale di Newton).

Consideriamo un punto   che dista    dal centro ove è posta la massa  e supponiamo che sia  . 

Supponiamo che in tale punto vengano emessi impulsi elettromagnetici con periodo (infinitesimo) 
  (il tempo 
costante fra un impulso ed il successivo), periodo calcolato rispetto al tempo universale    (il tempo della metrica 
di Schwarzschild). 

Consideriamo un secondo punto    distante    dal centro, posto praticamente all'infinito e dotato delle stesse 
coordinate angolari di  . Graficamente :

       

Osserviamo da  gli impulsi che provengono generati da    . 


Ovviamente tali impulsi eseguono lo stesso percorso da    a  e vengono captati in  con lo stesso periodo 
  in quanto misurati rispetto allo stesso tempo universale.

Essendo per la radiazione elettromagnetica    ed essendo nel nostro caso (moto radiale)  , ,
dalla metrica otteniamo :

         

che integrata fornisce il tempo impiegato dal segnale
da    a    , tempo che dipende solo dal punto di partenza 
al punto di arrivo. In questo modo abbiamo dimostrato che il periodo degli impulsi emessi è uguale al periodo 
ricevuto (rispetto al tempo universale 
).

Secondo la relatività generale, un intervallo di tempo proprio  (per esempio il tempo misurato da un orologio 
atomico in un punto) è legato al corrispondente intervallo di tempo universale  dalla relazione : 

       

dove :

         

e    rappresenta la componente temporale pura del tensore metrico del campo gravitazionale.

Nella metrica di
Schwarzschild si ha :

        .

Risulta allora evidente che, in questa metrica, all'infinito ( )    diventa  1  per cui il tempo proprio 
all'infinito coincide col tempo universale

Questo fatto ci permette di affermare che in    siamo quasi come in un sistema galileiano (inerziale a metrica 
piatta) e questo rappresenta un grande privilegio perché ci permette di "ragionare con il senso comune" e, cosa 
più importante, di affermare che l'orologio atomico che segna il tempo in  segna il tempo universale e che, per 
esempio, cosa ancora più importante,  gli spettri degli elementi chimici presenti in  che noi osserviamo sono 
a tutti gli effetti spettri di riferimento.

Posizioniamoci allora in  
  ed osserviamo gli impulsi elettromagnetici che ci provengono inviati da 
.

Possiamo affermare che il periodo di tempo proprio 
  degli impulsi emessi in  è legato al periodo di 
tempo assoluto   dalla relazione :

         

e, siccome :

         

è minore di uno, come è ben indicato dal grafico : 

       

arriviamo al risultato che, essendo :

        ,

il periodo assoluto misurato in  
  è maggiore del periodo proprio emesso in  .

Abbiamo cioè :

         

per cui in 
  misuriamo periodi maggiori ovvero frequenze minori di quelli emessi. Se ad emettere gli impulsi 
sono sostanze chimiche (che si presuppongono avere le stesse caratteristiche fisiche ovunque nell'universo), 
dovremmo verificare in     uno spostamento verso il rosso delle righe spettrali.  

Questo fenomeno si chiama red-shift gravitazionale e si verifica osservando gli spettri delle stelle massicce

dense.

04 - Red-shift cosmologico.

Il moto di un'onda elettromagnetica (in particolare la luce) nel vuoto in un sistema di riferimento galileiano 

(piatto) avviene secondo una traiettoria rettilinea. Se invece la metrica dello spazio-tempo non è più galileiana,
allora il moto della luce avviene secondo traiettorie curve.

Se la metrica è :

        ,


dove sono come al solito sottintese le somme sugli indici ripetuti, la luce si propaga in raggi lungo traiettorie per 

cui si ha :

        .

Se la metrica è galileiana, si ha :

       

dove il tempo universale 
  coincide con il tempo proprio  e    sono le coordinate cartesiane di un 
punto.

In questo caso, ponendo  , si ottiene :

       

ovvero :

       

e quindi :

       

(   indica il modulo del vettore velocità) che fornisce appunto una traiettoria rettilinea (in verità sarebbero 
possibili anche traiettorie curve per cui il vettore velocità abbia modulo costante, quindi, per avere traiettorie 
rettilinee per la luce, occorrono ulteriori condizioni restrittive come il principio variazionale di Fermat).

Consideriamo ora un caso di metrica molto interessante corrispondente ad un varietà spazio-temporale 
bidimensionale piatta in espansione o contrazione. Una tale metrica rappresenta un universo piatto non 

stazionario in espansione, una delle possibili soluzioni cosmologiche dell'equazione gravitazionale di 
Einstein.

La metrica sia :

       

dove    è un fattore di scala dipendente dal tempo.

Osservando la formula si vede bene che ad in ogni istante 
essa rappresenta una metrica galileiana (piatta). 
Al passare del tempo, la struttura galileiana permane ma cambia la distanza fra due punti spaziali dati.

Graficamente :

       

Si ha cioè    (anche se dal grafico appaiono uguali).


Dalla formula si deduce anche che, essendo  , il tempo universale coincide con il tempo proprio.

Calcoliamo ora la distanza fra gli eventi    e    per un dato istante 
. Essa vale :  

         .

Siccome tale distanza è funzione di 
, il punto    vedrà il punto    allontanarsi progressivamente (se    
è una funzione crescente). La stessa cosa si verifica per il punto . 

La velocità con cui i punti appaiono allontanarsi (non si tratta di un moto reale di punti, ma di una dilatazione 
della metrica) sarà : 

        

dove l'apice indica la derivata rispetto al tempo e    indica la velocità  . 


La formula può essere scritta nel seguente modo :


         

ovvero :


          


dove :


         .

La formula esprime un fatto molto importante :


        in un dato istante, la velocità con cui due punti si allontanano (apparentemente) fra loro è direttamente 

         proporzionale alla loro distanza.

Questa affermazione va sotto il nome di legge di Hubble e la costante (in un dato istante)  è detta costante di 

Hubble.

Studiano ora la traiettoria della luce in questa metrica e l'effetto Doppler che deriva dal fatto che i segnali luminosi, 

partendo da punti in apparente allontanamento o avvicinamento, pervengono al ricevitore con frequenza variata.

Consideriamo due impulsi che partono rispettivamente dal punto    e dal punto  . Poniamo  .
Questi impulsi arriveranno in 
  rispettivamente al tempo    e  . Poniamo  . Gli intervalli    e 
sono entrambi infinitesimi. Le traiettorie degli impulsi (le linee d'universo) siano rispettivamente    e  .

Graficamente :

       

Calcoliamo la generica traiettoria.

Ponendo 
  (la luce si propaga in modo che questa uguaglianza sia valida punto per punto), dalla metrica 

       

si ottiene :

       

che integrata, fornisce :

         

dove    è la costante di integrazione.

Ponendo per convenienza :

        

la traiettoria si riduce a :

        .

Imponendo le condizioni iniziali, la traiettoria 
  risulta :

       

e la traiettoria 
  risulta :

       

ma, essendo 
, approssimando al primo ordine, otteniamo :

         

dove l'apice indica la derivata prima.

Siamo allora in grado di ricavare  
  e  che, con semplici calcoli, risultano :

       

dove con    indichiamo la funzione inversa di  (ovviamente, poniamo la condizione restrittiva che    sia 
monotona).

Conosciuti  
  e  , possiamo ottenere infine   e confrontarlo con  . 

Per ricavare formule più semplici, procediamo in questo modo. Imponendo il passaggio di    per    ed il 
passaggio di    per  otteniamo :

       

da cui, sostituendo, ricaviamo :

       

ovvero :

        .

Notando che, per la definizione di 
, abbiamo :

          ,

la formula precedente diventa :

        .

Ora, essendo 
ed approssimando al prim'ordine, possiamo scrivere :

       

ovvero :

       

cioè, infine :

        .

Sostituendo la formula ricavata sopra per 
, possiamo scrivere :

         

e, considerando periodi brevi

       

dove 
  è il periodo emesso  è il periodo ricevuto ed    è una funzione di    ricavabile 
direttamente da 
.

Se, per esempio,   corrisponde ad una riga dello spettro dell'idrogeno misurata in laboratorio 

corrisponde all'analoga riga dello spettro di una galassia, dal loro rapporto si può dedurre la distanza  
della galassia dall'osservatore. 

Se :

       


si dice che siamo in presenza di un fenomeno di red-shift cosmologico.


Se :


       

si dice che siamo in presenza di un fenomeno di blue-shift.

Questo fenomeno di effetto Doppler cosmologico, dovuto alla metrica evolutiva dello spazio-tempo, 
permette di misurare le grandi distanze cosmiche. Questo è quello che si fa comunemente ed è alla base 
della cosmologia relativistica.

Il semplice esempio qui mostrato illustra in modo chiaro le linee teorico-metodologiche di questa scienza così 
attuale, profonda e dagli enormi sviluppi.

Fine. 

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