E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Equazione temporale di Schrödinger in forma integrale

Al fine di una maggiore precisione nelle metodiche di approssimazione numerica, ci proponiamo qui di ottenere l'equazione temporale di  Schrödinger in forma integrale.

Questa pagina fa riferimento diretto alle precedenti :

        ../CinematicaQuantistica.htm 

        ../DinamicaQuantistica.htm 

        OperatoriIntegrali.htm .

Per semplicità, anche qui ci riferiremo al solo caso del moto unidimensionale (la generalizzazione a tre dimensioni è conseguente) ed useremo, come nelle suddette pagine, uno stile "pragmatico" e "conciso" in vista delle possibili applicazioni numeriche.

(n.d.a. questo materiale è parte della tesi di Laurea in Fisica che presentai a Bologna nel 1975 dal titolo "Metodi funzionali per l'equazione di Schrödinger")

01 - Formule di base.

L'equazione temporale di Schrödinger in forma differenziale è :

       

dove    è l'operatore hamiltoniano che vale : 

        .

L'operatore    è l'operatore energia cinetica e vale :

        .

L'operatore    è l'operatore quantità di moto (o impulso) che vale :

         

dove    ("acca tagliata") vale  ,  essendo    la costante di Planck, ed    è l'unità immaginaria.

L'autostato della quantità di moto è :

        .

L'operatore    è l'operatore energia potenziale che è semplicemente una funzione della coordinata (e non del tempo, campo conservativo).

L'operatore energia potenziale agisce sulla funzione d'onda nel seguente modo :

       

cioè, la funzione della coordinata che esprime l'energia moltiplicata va a moltiplicare la funzione d'onda stessa.

Possiamo allora scrivere :

        .

L'equazione temporale di Schrödinger in forma differenziale diventa :

        .

La medesima equazione in forma evolutiva (rappresentazione di Heisenberg) è :

         

dove  è la funzione d'onda la tempo   e è la funzione d'onda la tempo  .

L'operatore :

       

è detto operatore di evoluzione temporale o propagatore per cui si può scrivere sinteticamente :

        .

Se    è un tempo piccolo vale il teorema di Trotter che dà :

        .

02 - Equazione temporale di Schrödinger in forma integrale.

Il problema consiste nel ricavare il nucleo del propagatore ovvero :

        .

Per comodità introduciamo la notazione di Dirac tramite i vettori bra e ket ("bracket", in inglese, significa parentesi). Abbiamo perciò :

         

dove    ,    sono gli autostati della coordinata  corrispondenti agli autovalori  ed    rispettivamente.

In generale vale :

       

che è il prodotto interno in ( è il coniugato complesso di  ).

Si deve tenere presente un'importante proprietà, detta "completezza", degli spazi con prodotto interno dotati di basi ortonormali

Se  , con  , è una base ortonormale discreta, abbiamo :

        .

Se  è una base ortonormale continua, abbiamo :

       

dove  è una la variabile continua.

Il nucleo di  , applicando il teorema di Trotter per piccoli, diventa allora :

        .

Inserendo la completezza corrispondente agli autostati dell'impulso    si ha :

        .

Procedendo, abbiamo :

       

(abbiamo espresso    in funzione di  e l'operatore    come funzione).

Poi si ha :

       

(abbiamo esplicitato le delta di Dirac e gli autostati dell'impulso ricordando di fare il coniugato complesso dove necessario)

e :

       

(abbiamo applicato la proprietà della delta di Dirac)

e :

       

(essendo  e anche  )

e :

       

(abbiamo applicato ancora la proprietà della delta di Dirac)

e :

       

(abbiamo semplificato e ordinato).

Per risolvere l'integrale facciamo la sostituzione :

         

per cui ricaviamo :

       

e la sostituzione :

       

per cui otteniamo :

       

e :

         

(il termine    è costante rispetto a 

e :

         .

I due integrali così ottenuti sono gli integrali di Fresnel di cui sono noti i valori. Si ha :

        .

Con una semplice sostituzione si arriva al risultato definitivo :

        .

L'equazione temporale di Schrödinger in forma integrale è allora :

         

che può essere agevolmente approssimata, per  piccoli, con semplici programmi di calcolo numerico.

03 - Esempi numerici.

I seguenti esempi numerici sono stati elaborati con il programma di calcolo numerico disponibile alla pagina :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Schroedinger/schroedinger.htm .

Nei diagrammi che seguono, la funzione d'onda iniziale è in nero così come ad ogni iterazione. La funzione energia potenziale è in blu e la funzione d'onda relativa all'ultima iterazione è in rosso. Si parte sempre da una funzione d'onda che rappresenta una distribuzione di probabilità gaussiana.

In ascissa c'è la posizione    della particella ed in ordinata la densità di probabilità  .

        - 1 -    Particella libera.

                   Si noti lo "sparpagliamento" della funzione d'onda.

       

        - 2 -    Barriera rettangolare di potenziale.

                   Si noti l'effetto tunnel. La particella "passa" oltre la barriera.

       

        - 3 -    Buca di potenziale.

                   La particella può trovarsi anche fuori dalla buca ed entra in una specie di "risonanza".

       

        - 4 -    Campo uniforme.

       

        - 5 -    Oscillatore armonico.

                   In ogni iterazione la funzione d'onda mantiene la forma originale di gaussiana e la funzione d'onda si trova ad "oscillare" attorno al centro.

       

        - 6 - Scalino di potenziale.

       

Fine.

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