E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Dinamica di un punto materiale vincolato ad una superficie

Consideriamo un punto materiale di massa    libero di muoversi senza attrito sulla superficie regolare  che ne costituisce quindi un vincolo del moto. Il punto materiale è soggetto ad una forza che in generale è funzione della sua posizione e della sua velocità. Consideriamo anche la velocità così da potere utilizzare anche forze dissipative (es. attriti) e forze virtuali (es. forza di Coriolis).

Studieremo il moto del punto materiale con gli strumenti della geometria differenziale e ne approssimeremo le equazioni del moto con tecniche numeriche.

01 - Impostazione del problema.

La superficie    è parametrizzata dalle coordinate locali  tramite la funzione vettoriale    così definita :

       

(in questa pagina i vettori di    sono scritti normalmente e non sono in grassetto).

Sia    una curva regolare nel sistema  e    la corrispondente curva regolare su  per cui :

        .

L'equazione parametrica di    sarà :

       

e quella di  :

         

(non vi è ambiguità chiamando con le stesse lettere sia le curve che le funzioni che le rappresentano).

Il punto materiale percorre la curva  e le equazioni appena scritte ne sono le equazioni orarie del moto. Il parametro   indica quindi il tempo.

Sia    il vettore tangente in    ad    e    il vettore tangente in    a  (il punto indica la derivata rispetto al parametro  ). Naturalmente è  .  

Il vettore    rappresenta la velocità del punto materiale.

Per una fondamentale proprietà del differenziale abbiamo :

       

dove    è il differenziale di  essendo :

         

la matrice che lo rappresenta.

Il piano tangente ad    in    è  ed il vettore    vi appartiene.

Il vettore  è il vettore normale di norma unitaria alla superficie in  .

Graficamente :

       

I vettori :

       

come è noto sono tangenti alle rispettive coordinate curvilinee in  (per semplicità non visualizzate nel grafico) e costituiscono una base del piano tangente    inteso come sottospazio bidimensionale di  .

Il vettore    è quindi esprimibile nella base    nel seguente modo :

         .

02 - La dinamica.

Il punto materiale, nel suo moto sulla superficie, risente della forza esterna ed il suo moto è determinato da essa. 

La forza esterna sia il vettore (espresso in coordinate locali) :

       

Poiché il punto materiale non può lasciare la superficie, la sua equazione del moto sarà :

       

dove :

        = vettore proiezione ortogonale di    sul piano tangente   

        = vettore proiezione ortogonale di    sul piano tangente   

essendo    il vettore accelerazione del punto materiale ovvero :

        .

Graficamente :

       

La soluzione dell'equazione del moto    è subordinata alla determinazione delle proiezioni ortogonali   ,   sul piano tangente  .

03 - La proiezione ortogonale su  .

Il vettore    (vettore proiezione ortogonale di    sul piano  ) espresso rispetto alla base    vale :

       

dove, ovviamente, ,   sono le componenti del vettore    rispetto alla suddetta base.

Ricaviamo  ,   .

Per fare questo basta porre :

         

cioè :

       

dove  indica il prodotto interno (o scalare).

Sviluppando i semplici calcoli otteniamo :

       

dove :

       

(la notazione classica gaussiana è con le lettere latine maiuscole  . Qui usiamo le corrispondenti lettere greche minuscole    perché con    indichiamo la forza).

Si noti che    è il gramiano dei vettori  .

Introducendo il tensore metrico covariante della varietà (riemanniana)   (d'ora in poi useremo indifferentemente le parole "superficie" o "varietà") corrispondente alla superficie  , la cui rappresentazione matriciale è:

        ,

le componenti di    diventano :

         

dove con    indichiamo il determinante della matrice  .

Per determinare il vettore    potremmo procedere allo stesso modo di    ma, essendo    un campo vettoriale tangente (alla varietà), possiamo utilizzare il concetto di derivata covariante.

La derivata covariante di un campo vettoriale tangente (lungo una curva della varietà) è il vettore proiezione ortogonale del vettore derivata del campo (lungo la medesima curva) sul piano tangente alla varietà. 

Per definizione abbiamo quindi :

       

dove con    indichiamo la derivata covariante.

04 - Le equazioni del moto.

L'equazione del moto diventa allora :

       

(abbiamo invertito i membri).

E' interessante notare subito che, se  , la curva    è una geodetica della superficie in quanto, per definizione, una geodetica è appunto una curva per cui la derivata covariante della tangente è identicamente nulla. 

Dal punto di vista fisico questo è esattamente ciò che ci aspettiamo : 

        se non vi è forza (tangente), il punto materiale si deve muovere lungo geodetiche per rispettare il generale principio di minima azione.

Esplicitiamo ora le componenti della derivata covariante rispetto alla base  . Per questo usiamo una nota formula della geometria differenziale (che non dimostreremo qui). 

Abbiamo :

        

dove le funzioni    sono i simboli di Christoffel definiti da :

       

essendo    il tensore metrico controvariante (matrice inversa di  ) ed essendo   (si tenga presente che gli indici, qui, non sono esponenti, ma indici controvarianti !!). 

Le equazioni del moto diventano allora :

       

da cui si ricava, separando le derivate seconde ed esplicitando le componenti della forza :

        .

Questo sistema di equazioni differenziali del secondo ordine fornisce le equazioni orarie del moto che corrispondono alla curva  . Ricavare poi  è conseguente.

Si noti che, in assenza di forza, le equazioni del moto sono le equazioni delle geodetiche della varietà.

Si noti anche la somiglianza di queste formule con l'apparato concettuale e formale della teoria della relatività generale.

Naturalmente, una soluzione analitica del sistema non è possibile (fino a prova contraria) per cui noi ci limiteremo ad una sua soluzione numerica approssimata al computer step by step.

05 - Esempi numerici.

Mostriamo qui alcuni esempi numerici elaborati con il programma :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/DinamicaSuSuperficie/dinamicasusuperficie.htm .

In questo paragrafo gli assi cartesiani di    sono indicati con le lettere  .  

        - a -    il piano inclinato

                            equazione parametrica della superficie :

                           

                            componenti della forza :

                           

                            condizioni iniziali :

                            ,   

                            grafico :

       

        - b -    il pendolo sferico in un campo gravitazionale uniforme 

                            equazione parametrica della superficie :

                              ;  

                            componenti della forza :

                           

                            condizioni iniziali :

                            ,   

                            grafico :

       

                            qui la situazione è come sopra, ma con velocità iniziale non nulla :

                            :

       

                            qui, oltre al campo uniforme, è presente la forza dissipativa di attrito proporzionale alla velocità ed opposta ad essa :

                           

                            per cui :

                           

                            le condizioni iniziali per la velocità sono :

                           

                            grafico :

       

                            Si noti la "caduta" spiraleggiante verso il fondo della sfera.

Fine.

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