E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

L'arcobaleno

01 - L'arcobaleno.

Anche i fenomeni naturali più "suggestivi" e "romantici" non sfuggono all'occhio "indagatore" e "razionale" della scienza !!! E per questo sicuramente non perdono il loro fascino !!!

Questo è anche il caso dell'arcobaleno, fenomeno che può essere spiegato con "semplici" considerazioni di ottica. Essenzialmente, i fenomeni ottici interessati sono riflessione, rifrazione e dispersione.

Ricordiamo brevemente :

        -    riflessione : il raggio di luce colpisce un corpo e devia la propria direzione in modo che raggio incidente e raggio riflesso giacciono sullo stesso piano e l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione,cioè :

                     

        -    rifrazione : un raggio di luce, passando da un mezzo ad un altro, subisce una deviazione in modo che :

                      

              dove   n  è l'indice di rifrazione fra i due mezzi che per aria - acqua vale circa  1,33

        -    dispersione : fenomeno per cui un raggio di luce bianco viene scomposto nei suoi colori componenti.

Inizialmente non consideriamo la dispersione e prendiamo in considerazione un singolo raggio di luce bianca.

Consideriamo una goccia d'acqua che viene colpita da un raggio di luce bianca proveniente dal sole. 

Il raggio colpisce la goccia nel punto  A  , in parte si riflette ed in parte subisce una rifrazione entrando nella goccia stessa. Il raggio riflesso non lo consideriamo.

Il raggio dentro la goccia, nel punto  B , in parte subisce una riflessione ed in parte viene rifratto all'esterno. Il raggio rifratto non lo consideriamo.

Nel punto  C , il raggio proveniente da  B  in parte viene riflesso ed in parte viene rifratto uscendo all'esterno della goccia. Il raggio riflesso non lo consideriamo.

Il raggio uscente da  C  colpirà l'occhio dell'osservatore secondo un certo angolo

Graficamente :

 

       


Escludendo i raggi che non ci interessano, il grafico diviene :

        

I vari fenomeni di riflessione e rifrazione che abbiamo preso in considerazione sono tali per cui l'intensità iniziale del raggio di luce incidente viene via via ridotta. Il raggio finale è quindi evidentemente meno intenso di quello iniziale. In generale, quando l'angolo di incidenza (rispetto alla normale) è grande, si ha più riflessione che rifrazione. Quando l'angolo di incidenza è minore, si ha maggiore rifrazione che riflessione. Non entriamo in maggiori dettagli su queste problematiche.  

Ci proponiamo ora di calcolare l'angolo con cui il raggio uscente da  C  colpisce l'osservatore con riferimento alla linea dell'orizzonte. Tale angolo è quello rispetto al quale l'osservatore vede l'arcobaleno.

La costruzione e l'analisi dei vari angoli in gioco è rappresentata dal seguente grafico :

       

La determinazione dei suddetti angoli è evidente e si rifà a semplici teoremi della geometria euclidea.

L'angolo in rosso, che indicheremo con    , sarà allora :

        .

Siccome    possiamo ricavare    in funzione di  . Abbiamo cioè :

       

da cui si ricava :

       

dove    ("arco il cui seno è ...") indica la funzione inversa del seno, ovvero dato il seno dell'arco (angolo), si ricava l'angolo.

L'angolo    risulta allora :

          .

A questo punto introduciamo la variabile "parametro d'urto"  k  , ovvero quanto il raggio incidente dista dalla retta orizzontale passante per il centro della goccia : 

        

Se il raggio della goccia è  R  allora il parametro d'urto vale :

         

da cui si ricava :

       

e :

        .

L'angolo    in funzione del parametro d'urto risulta allora .

        .

Questa funzione esprime come varia l'angolo che il raggio uscente dalla goccia compie con la linea dell'orizzonte in funzione del parametro d'urto con cui il raggio incidente (orizzontale) entra nella goccia.

Il grafico di questa funzione, disegnato la computer in corrispondenza di un indice di rifrazione  n = 1,33 , è il seguente :

       

Osservando il grafico si nota che i raggi incidenti con un parametro d'urto appartenente ad un intervallo abbastanza largo, a circa tre quarti di  R , escono tutti praticamente a circa  40°  , ovvero quasi paralleli. Non avviene la stessa cosa per raggi con parametro d'urto inferiore o superiore. Essi sono in "numero" molto minore.

Graficamente :

       

Questo fatto fa sì che l'osservatore veda una maggiore concentrazione di raggi provenirgli a circa  45°  rispetto all'orizzonte. Non considerando la dispersione della luce, a quell'angolazione, l'osservatore dovrebbe verificare una maggiore intensità luminosa.

Prendiamo ora in considerazione la dispersione della luce. 

All'interno della goccia i vari colori di cui è composta la luce bianca vengono dispersi ed i relativi raggi procedono di conseguenza con direzioni lievemente diverse. Il risultato finale è che la luce, uscendo dalla goccia, colpisce l'osservatore scomposta nei suoi colori e con angoli lievemente diversi

Graficamente (in modo qualitativo) : 

       

Il rosso, deviato durante la rifrazione da aria ad acqua in misura minore, appare nell'arcobaleno in alto ed il violetto, deviato di più, appare in basso.

Dal seguente grafico si comprende meglio perché il rosso appare più in alto ed il violetto più in basso :

       

Esattamente, rifacendoci alla formula che definisce l'angolo    di uscita del raggio, considerando diversi indici di rifrazione (il rosso ha indice di rifrazione minore, il violetto, maggiore), si ha :

       

(il valore di  1,33  corrisponde al valore medio dei vari indici di rifrazione dei colori che compongono il bianco. I valori  1,43  ed  1,23  sono stati scelti a caso per "enfatizzare" la differenza di angolazione e quindi non corrispondono ai reali indici di rifrazione del rosso e del violetto)

Osservando il grafico si vede appunto che il rosso, con indice di rifrazione minore, corrisponde ad un angolo di uscita maggiore, mentre il violetto, con indice di rifrazione maggiore, ad un angolo minore.

Vi è poi un secondo arcobaleno, più tenue del primo, dovuto ai raggi che entrano nella goccia dalla sua parte inferiore. In questo caso si hanno due riflessioni interne. Con calcoli analoghi a quelli sopra eseguiti si trova che questo secondo arcobaleno viene visto più in alto del precedente, a circa  50° . Non entriamo nei particolari lasciando al lettore la comprensione di questo ulteriore fenomeno.

L'arcobaleno, essendo un fenomeno così complesso, ha inoltre altre proprietà, quali per esempio la cosiddetta banda oscura di Alessandro posta fra i due arcobaleni, che non prendiamo in considerazione.

Per finire, giusto un suggerimento ... al prossimo arcobaleno che vedremo, pur godendone la bellezza, proviamo a verificare almeno qualitativamente quanto sopra affermato !!!

Fine.

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