E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

La dinamica dei gravi in ... 100 metri di atmosfera

L' "ambiente" dove si svolge la nostra vita quotidiana ed in cui ci siamo evoluti, dove i nostri sensi si sono affinati assieme alla nostra "intelligenza" intuitiva della realtà fisica, è un campo gravitazionale uniforme in presenza di una atmosfera gassosa abbastanza rarefatta.

Quali leggi fisiche, relativamente alla dinamica dei gravi (corpi solidi che risentono dell'attrazione gravitazionale) che si muovono in questo campo, regolano questo ambiente ?

In questa pagina ci proponiamo di ricavare le leggi del moto dei gravi immersi in tale campo.

01 - Impostazioni e limitazioni.

La forza gravitazionale con cui il pianeta Terra attrae un grave è data dalla arcinota legge di Newton :

        

dove    è la costante di gravitazione universale,   è la massa della Terra,    è la massa del grave ed    è la distanza del grave dal centro della Terra

Tale forza dipende da    per cui il campo non può dirsi uniforme. Entro certi limiti, però, esso può dirsi uniforme.

Valutiamo l'errore che si compie considerando uniforme il campo nel range di    metri (ecco il perché del titolo ...)

Calcoliamo l'accelerazione di gravità alla distanza    dal centro della Terra ed alla distanza  , dove    è una cera quota.

Abbiamo :

       

dove    è l'accelerazione di gravità alla distanza    e    è l'accelerazione di gravità alla distanza  .

Sviluppiamo    in serie di Taylor rispetto ad   con punto iniziale in  :

        .

Siccome :

       

otteniamo :

        .

A meno di un fattore dell'ordine di  , il campo, nel range di    metri, può dirsi quindi uniforme.

Per quanto riguardo l'atmosfera in cui i gravi si muovono, occorre imporre che essa sia in quiete e di densità omogenea.

Occorre infine fare un'altra importante approssimazione. 

La Terra è una sfera in rotazione. Per questo motivo ogni sistema di riferimento ad essa vincolato non può essere inerziale. Questo ingenera grosse problematiche per cui, qui, ci limiteremo ad immaginare la Terra immobile. Rimandiamo ad una apposita pagina la trattazione di ciò che accade considerando, come in effetti è giusto fare, la Terra come un sistema rotante.

Ci limitiamo qui ad affermare che, a causa della rotazione della Terra, i gravi, cadendo, in realtà deviano verso est e valutiamo sommariamente l'entità di questa deviazione.

La velocità di rotazione della terra alla quota    è (all'equatore) :

       

mentre, alla quota    è (sempre all'equatore) :

        .

La differenza delle due velocità è :

       

che produce una deviazione verso est di circa :

       

dove    è il tempo di caduta del grave.

Cadendo da una quota  , un grave impiega un tempo esprimibile dalla formula :

       

che fornisce :

          .

Nel nostro caso,  , abbiamo :

         ,

cioè circa    centimetri che costituisce una deviazione assolutamente non trascurabile !!!

02 - Le forze in gioco.

Limitiamoci, senza perdita di generalità, al caso del moto su un piano ed osserviamo il grafico :

       

Un grave sferico di densità omogenea, di raggio    e massa   è soggetto alle seguenti forze :

          = forza di gravità =

        = forza di Archimede =  

        = forza di attrito del mezzo (aria) = =

        (i vettori sono indicati in grassetto e le loro componenti fra parentesi, cioè  ).

Con    indichiamo la densità dell'aria (che in condizioni normali vale circa  ) e con    indichiamo la velocità del grave (il punto indica la derivata prima rispetto al tempo).

Il coefficiente positivo    è il coefficiente di attrito del mezzo e dipende dalle dimensioni del grave, dal materiale di cui è costituito e dalle caratteristiche fisiche dell'aria ecc. (non entriamo in ulteriori dettagli).

Inoltre, per esigenze di semplicità, anche se commettiamo un errore non trascurabile, non prendiamo qui in considerazione dipendenze dell'attrito del mezzo dalle potenze maggiori di uno del modulo della velocità

Siamo ora in grado di scrivere l'equazione del moto del grave.

03 - Le equazioni del moto.

Possiamo scrivere :

       

dove    è il vettore accelerazione del grave.

Sostituendo, otteniamo :

       

da cui si ricavano le equazioni del moto :

       

avendo posto :

        .

Le due equazioni differenziali che costituiscono le equazioni del moto del grave sono facilmente risolubili.

La prima fornisce immediatamente :

        .

La seconda :

       

dove    è un integrale particolare che può essere cercato nella forma :

        .

A conti fatti, riassumendo, otteniamo :

         

dove le costanti  dipendono dalle condizioni iniziali.

Queste sono le equazioni orarie del moto del grave da cui, eliminando il parametro  , si ricava formalmente (senza porre condizioni sull'esistenza dei termini in gioco) l'equazione della traiettoria :

        .

Mostriamo ora alcuni esempi avvalendoci delle usuali tecniche di calcolo numerico.

04 - Il lancio di un grave.

Consideriamo il seguente grafico :

       

Il grave viene lanciato dall'origine al tempo  con la velocità iniziale :

        .

Le condizioni iniziali sono allora :

       

e :

        .

La prima condizione fornisce :

         

ovvero :

       

e la seconda condizione fornisce :

       

ovvero :

        .

Abbiamo così determinato le costanti    in questo caso particolare.

Assegniamo anche i seguenti valori numerici :

        .

Il coefficiente di attrito    conviene lasciarlo indicato come un parametro per potere ricavare così la traiettoria del grave in funzione di esso.

Dai precedenti valori si ricava :

        .

Le costanti    varranno allora :

        .

L'equazione della traiettoria, in dipendenza del parametro     (coefficiente d'attrito), sarà allora :

        .

Graficamente, per alcuni valori di    a partire da  (assenza di attrito) :

       

Si noti che, per  (caso limite corrispondente all'assenza di attrito del mezzo), la traiettoria è una parabola come è ben noto. Al crescere di    la gittata si abbrevia progressivamente (a parità di velocità iniziale). La forma della traiettoria tende di conseguenza a deviare divenendo "spiovente".

05 - La caduta di un grave.

Consideriamo ora un grave che cade da una quota    con velocità iniziale nulla :

       

Le condizioni iniziali sono :

       

e :

         

da cui si ricavano le costanti :

        .

Le conseguenti equazioni orarie sono :

       

e :

        .

Ponendoci nella situazione dell'esempio precedente :

       

ed aggiungendo :

       

otteniamo l'equazione oraria per lo spazio :

         

in dipendenza dal parametro .

Graficamente :

       

Si vede bene che in assenza di attrito del mezzo ( ) il grave cade con una legge oraria parabolica come è ben noto. In presenza di attrito del mezzo, invece, la legge oraria è asintotica, cioè, dopo un certo tempo, il grave di muove praticamente di moto rettilineo uniforme con velocità :

        .

Questa importante particolarità va sotto il nome di legge di Stokes

06 - Conclusione.

Abbiamo preso in esame solo due casi specifici. Le formule generali ricavate descrivono però una grande quantità di casi compreso il moto di un "pallone" aerostatico (più leggero dell'aria) !!!

Si ricorda infine ancora una volta che non è stata considerata qui la questione della "non inerzialità" del sistema di riferimento che comporterebbe una deviazione verso est dei gravi.

Fine.

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