Fisica
Meccanica classica (leggi di conservazione)
Le soluzioni delle equazioni del moto di un sistema a s gradi di libertà contengono 2s costanti
arbitrarie.
Se il sistema è isolato ed è riferito ad un sistema di riferimento inerziale (SRI), grazie alle proprietà
di omogeneità ed isotropia dello spazio e del tempo, possiamo sempre prendere l'origine dei tempi
e l'origine del sistema di riferimento in modo che per una arbitraria coordinata generalizzata si
abbia :
.
In questo modo il numero delle costanti arbitrarie si riduce a 2s - 1 per cui le soluzioni delle
equazioni e le loro derivate diventano :
dove i = 1, 2, ..., s .
Eliminando il tempo t si ottiene :
dove i = 1, 2, ..., 2s - 1 .
In questo modo abbiamo dimostrato che, nonostante le funzioni
e 
varino
nel tempo, vi
sono delle loro funzioni che rimangono costanti al variare del tempo. Tali funzioni sono dette
integrali del moto.
Gli integrali del moto di un sistema isolato a s gradi di libertà sono perciò 2s - 1.
Fra gli integrali del moto di un sistema isolato ve ne sono alcuni che rivestono un ruolo di fondamentale
importanza perché sono intimamente legati alle proprietà di omogeneità ed isotropia dello spazio
e del tempo.
Essi sono l'energia, la quantità di moto ed il momento della quantità di moto.
01 - Energia.
Consideriamo un sistema meccanico isolato rispetto ad un SRI. A causa dell'omogeneità del tempo,
la lagrangiana di un tale sistema non contiene esplicitamente il tempo.
La derivata totale della lagrangiana rispetto al tempo è allora :
.
Sostituendo, in base alle equazioni di Lagrange,
con 
si ottiene :
da cui :
e quindi la grandezza :
è costante nel tempo. Questa grandezza si chiama energia del sistema ed è quindi un integrale del
moto.
Dalla proprietà di linearità rispetto ad L della definizione di E , si deduce che l'energia di un sistema
isolato composto da due parti fra loro non interagenti è uguale alla somma delle energie delle due parti
(essendo la lagrangiana complessiva la somma delle lagrangiane delle due parti). L'energia, quindi, è
una grandezza additiva.
Siccome la costanza di E è stata dedotta dalla non presenza esplicita del tempo nella funzione di
Lagrange del sistema, possiamo per questo affermare che anche in sistemi immersi in un campo
esterno non dipendente dal tempo l'energia si conserva.
La legge di costanza dell'energia vale allora per i sistemi isolati e per i sistemi immersi in un campo
esterno costante nel tempo. Tali sistemi si dicono conservativi.
Vediamo ora come si esprime l'energia.
La lagrangiana di un sistema isolato è (in coordinate cartesiane) :
(dove N è il numero di particelle).
In coordinate generalizzate tale lagrangiana diventa :
dove q indica l'insieme di tutte le coordinate generallizzate e T è una funzione quadratica delle
velocità generalizzate.
Sostituendo la lagrangiana così definita in
ed applicando il teorema di Eulero per le
funzioni omogenee (*) si ottiene :
da cui :
ed in coordinate cartesiane :
.
Questa è la forma dell'energia per un sistema conservativo in coordinate cartesiane. Essa si può
sintetizzare in :
ovvero l'energia di un sistema conservativo è data dalla somma dell'energia cinetica e dell'energia
potenziale.
02 - Quantità di moto.
A causa dell'omogeneità dello spazio, le proprietà meccaniche di un sistema isolato (considerato
rispetto ad un SRI) non cambiano se si effettua una traslazione parallela del sistema in blocco.
Si ha una traslazione parallela quando tutti i raggi vettore del sistema vengono incrementati di uno
stesso vettore costante.
Consideriamo in un sistema di riferimento cartesiano una traslazione infinitesima
di
tutti i raggi
vettore del sistema e supponiamo che in questa traslazione la lagrangiana non cambi.
Ciò è verosimile perché della lagrangiana :
( N è il numero di particelle) solo l'energia potenziale U risentirebbe della traslazione (l'energia
cinetica non cambia perché la derivata di
rispetto al tempo è nulla), ma,
essendo tale termine
dipendente in realtà dalle mutue distanze fra le particelle, in definitiva anche U non cambia.
Eseguiamo allora la traslazione parallela :
per ogni particella del sistema. La variazione della lagrangiana risulta :
.
Dovendo essere
ed essendo
arbitrario, si ottiene :
da cui, a causa delle equazioni di Lagrange :
.
Siamo allora giunti alla conclusione che il vettore :
resta costante nel tempo. Il vettore
si chiama quantità di moto o impulso del sistema ed esso si
conserva in un sistema meccanico isolato.
La legge della conservazione della quantità di moto trovata con una traslazione infinitesima varrà
naturalmente anche per una traslazione finita qualunque.
Sostituendo la lagrangiana si ottiene :
.
L'impulso è quindi una grandezza additiva e, a differenza di ciò che avviene per l'energia, esso è
uguale alla somma degli impulsi delle singole particelle :
indipendentemente dalle interazione fra di esse.
La legge di conservazione dell'impulso vale solo per un sistema isolato. In presenza di un campo
esterno, in generale, l'impulso del sistema non si conserva. Se però l'energia potenziale, in presenza
di un campo, non contiene una qualche coordinata cartesiana, allora, una traslazione del sistema
lungo quella coordinata non cambia il sistema. In questo caso, la componente dell'impulso lungo
quella coordinata si conserva.
Questo è il caso di una particella in un campo uniforme (per esempio il campo gravitazionale in
prossimità della superficie terrestre) :
per cui l'energia potenziale è :
(dove F è una costante). In questo caso si conservano le componenti
e 
dell'impulso.
Ritorniamo ora alla formula :
.
Essa porta ad una importante considerazione. Poiché
si ha che :
.
Questo risultato esprime il fatto che in un sistema isolato, la somma delle forze è nulla. Nel caso di
due sole particelle, questo fatto va sotto il nome legge dell'uguaglianza di azione e reazione.
Se il sistema è rappresentato da coordinate generalizzate, le grandezze :
si chiamano impulsi generalizzati e le grandezze :
,
forze generalizzate. Le equazioni di Lagrange si scrivono allora :
.
03 - Centro di massa.
Consideriamo un sistema isolato riferito a due SRI K e K' in moto relativo con velocità
(costante).
L'impulso del sistema avrà valori diversi rispetto ai due sistemi di riferimento. Sia
l'impulso
rispetto a K e
quello rispetto a K' . Siccome le velocità delle particelle nei due
sistemi di
riferimento sono legate fra loro dalla relazione :
si avrà per l'impulso totale :
cioè :
.
Se il sistema di riferimento K' è tale per cui l'impulso
è nullo si ha :
.
Questa formula definisce la velocità
che deve avere il sistema di riferimento K' rispetto a
K
affinché in K' l'impulso del sistema meccanico sia nullo. Si noti che una tale velocità è definibile per
ogni sistema meccanico isolato.
Questo fatto conduce ad una considerazione fisica di importanza fondamentale. Se l'impulso totale
di un sistema meccanico è nullo rispetto ad un particolare SRI ( K' ), si dice che il sistema meccanico
è in quiete rispetto a quel sistema di riferimento. Di conseguenza, la velocità
precedentemente
definita, rappresenta la velocità del sistema meccanico considerato "in blocco" rispetto all'altro
sistema di riferimento ( K ).
In questo modo si perviene ad una naturale definizione di quiete e di moto di un sistema meccanico
isolato considerato come un "tutt'uno", definizione che rappresenta una generalizzazione di quella
di un punto materiale.
Se poniamo :
otteniamo (sempre nel caso di
) :
dalle quali possiamo dedurre che un sistema meccanico può essere considerato come un singolo
punto materiale di massa uguale alla somma delle masse dei singoli punti materiali (additività
della massa) dotato della velocità
definita come derivata rispetto al tempo del vettore :
che perciò è detto centro di massa del sistema.
Un sistema meccanico isolato è rappresentabile quindi da un punto materiale (coincidente con il
centro di massa) in cui vi è concentrata tutta la massa e dotato di velocità costante. Questa
affermazione rappresenta l'estensione del principio d'inerzia ad un sistema isolato.
Per questi motivi, nello studio di un sistema meccanico isolato, è sempre preferibile scegliere un
sistema di riferimento rispetto al quale il sistema meccanico in blocco è in quiete. Rispetto ad un
tale sistema di riferimento il centro di massa del sistema meccanico è in quiete e l'energia del
sistema è detta energia interna
. Essa è, come si sa, uguale alla somma delle energie
cinetiche delle particelle e dell'energia potenziale delle interazioni fra di esse.
Per un sistema meccanico isolato in moto in blocco con velocità
(del centro di massa) è
semplice dimostrare (basta considerare come si trasforma l'energia nel passaggio da K a K' )
che :
.
In generale, l'energia di un sistema meccanico isolato si trasforma nel passaggio da un SRI ad
un altro in modo che (dimostrazione immediata) :
.
Se si considera il centro di massa in quiete rispetto a K' (cioè
), si ottiene la
formula
precedente.
04 - Momento della quantità di moto.
A causa dell'isotropia dello spazio, le proprietà meccaniche di un sistema isolato (considerato
rispetto ad un SRI) non cambiano se si effettua una rotazione del sistema in blocco attorno ad un
asse prefissato.
Consideriamo in un sistema di riferimento cartesiano una rotazione infinitesima di tutti i raggi vettore
del sistema e supponiamo che in questa rotazione la lagrangiana non cambi.
Per caratterizzare una rotazione di una angolo
attorno ad un asse si definisce il vettore della
rotazione
che
ha intensità uguale all'angolo di rotazione
, direzione coincidente con
l'asse di rotazione e verso definito in base alla regola della vita (destrorsa).
In una tale rotazione, i raggi vettore del sistema subiscono tutti una variazione
che
vale :
dove il simbolo
indica il prodotto vettoriale.
Graficamente :
(il punto 0 coincide con l'origine del sistema di riferimento).
In una rotazione attorno ad un asse anche i vettori velocità delle particelle cambiano e lo fanno
allo stesso modo dei raggi vettore per cui si ha :
.
Consideriamo ora la variazione della lagrangiana rispetto alle coordinate ed alle velocità in
corrispondenza della rotazione infinitesima
ed imponiamo che essa sia nulla :
.
Poiché, come è noto, si ha
, 
, sostituendo
si ottiene :
dove abbiamo espresso le variazioni di posizione e velocità in base alle formule di rotazione
precedentemente ottenute.
Utilizzando le proprietà del prodotto scalare e vettoriale si ottiene (omettiamo i passaggi) :
.
Poiché la rotazione infinitesima
è arbitraria, si deduce che :
ovvero che il vettore :
,
nel moto di un sistema isolato, si conserva. Il vettore
è detto momento della quantità di
moto (o momento angolare o momento rotazionale o semplicemente momento) del sistema.
La legge della conservazione del momento angolare trovata con una rotazione infinitesima varrà
naturalmente anche per una rotazione finita qualunque.
L'additività del momento angolare è evidente e, come nel caso della quantità di moto, si ha che
esso (il momento angolare) è indipendente dall'interazione fra le particelle.
Vediamo ora alcune proprietà del momento angolare.
Consideriamo la seguente trasformazione di coordinate :
che corrisponde ad una diversa scelta dell'origine del sistema di riferimento :
Applicando la definizione di momento si ottiene :
ovvero :
.
Da questa formula si deduce che se il sistema è in quiete in blocco (
) allora il momento
angolare non dipende dalla scelta delle coordinate.
Consideriamo ora due SRI K e K' di cui il secondo si muove rispetto al primo con velocità
costante
. Consideriamo un dato istante in cui le origini dei due sistemi
coincidono. In questo
caso i raggi vettore delle particelle coincidono e le velocità sono legate dalla relazione :
.
Sostituendo, otteniamo :
.
Considerando che il penultimo termine è il momento angolare
nel sistema K' ed introducendo
il raggio vettore del centro di massa
, otteniamo :
.
Questa formula esprime come varia il momento angolare di un sistema meccanico isolato nel passaggio
da un SRI ad un altro.
Se il sistema di riferimento K' è tale per cui il sistema meccanico è in quiete in blocco rispetto ad
esso, la velocità
è la velocità del centro di massa del sistema meccanico (rispetto a K )
e 
è il suo impulso totale
(rispetto a K ). Si può scrivere allora :
da cui si deduce che il momento angolare
di un sistema meccanico isolato è dato dalla somma
del suo "momento angolare intrinseco" rispetto al sistema di riferimento nel quale esso è in quiete
più il momento relativo al moto del sistema in blocco.
Il momento angolare di un sistema isolato riferito ad un SRI si conserva. Se un sistema meccanico è
immerso in un campo esterno, in generale il momento angolare non si conserva.Vi sono, però, dei
casi in cui una qualche componente del momento angolare di un sistema immerso in un campo esterno
si conserva. E' il caso di un campo simmetrico rispetto ad un asse. In questo caso la proiezione del
momento angolare su quell'asse si conserva perché le proprietà meccaniche del sistema non variano
se il medesimo viene ruotato di un certo angolo rispetto a quell'asse (è sottointeso che il momento
angolare debba essere riferito ad un punto, origine delle coordinate, giacente sull'asse) .
Il caso più importante che rientra in quanto sopra affermato è quello di un campo a simmetria centrale.
In un tale campo l'energia potenziale è funzione della distanza rispetto ad un punto fisso, il centro del
campo. La proiezione del momento angolare su un qualsiasi asse passante per il centro, allora, si
conserva.
Ne consegue che in questo caso il momento angolare
si conserva, ma solo se riferito al centro
del campo.
Un altro caso importante è un campo uniforme, per esempio, diretto lungo l'asse z . In questo caso la
componente
del
momento angolare si conserva.
Fine.
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(*) Teorema di Eulero per le funzioni omogenee :
sia la funzione
omogenea di grado k nelle sue variabili. Allora si ha :
.