E-school  di  Arrigo Amadori

Fisica

Meccanica classica (equazioni del moto)


01 - Punti materiali. Coordinate generalizzate. Traiettorie.

Se le dimensioni di un corpo sono trascurabili (nella descrizione del suo moto), esso può essere 
considerato come un punto materiale senza dimensioni (si dirà anche semplicemente punto o 
particella). Naturalmente, se un corpo possa essere considerato tale, dipende dal grado di 
approssimazione che si desidera. Nello studio del moto di rivoluzione dei pianeti attorno al sole, 
per esempio, considerarli punti materiali è accettabile e conveniente, non così nello studio del loro 
moto di rotazione su se stessi.

La posizione nello spazio di un punto materiale rispetto ad un sistema di coordinate cartesiane 
tridimensionali ortogonali è data dal suo raggio vettore  r  le cui componenti sono  (x,y,z) . 
Scriviamo perciò :

        r = (x,y,z) .

Graficamente :

       

La derivata prima rispetto al tempo  t  del raggio vettore  r  è la velocità del punto :

        .

La derivata seconda del raggio vettore rispetto al tempo (ovvero la derivata prima della velocità) è 
l'accelerazione del punto :

        .

Se abbiamo un sistema di  N  punti materiali, la loro posizione nello spazio è determinata da  N  
raggi vettori, cioè da  3N  coordinate. Per esempio, per  3  particelle :

       

In generale, il numero minimo di grandezze indipendenti che si possono dare per determinare 
univocamente la posizione di un sistema (in base alle condizioni del problema considerato) si 
chiama numero di gradi di libertà del sistema. Nel caso di  N  particelle definite dai loro raggi 
vettori, il numero di gradi di libertà è  3N .

In generale, le grandezze che determinano univocamente la posizione spaziale di un sistema possono 
essere altre, e non necessariamente le coordinate cartesiane. Per esempio, nello studio del moto di 
rotazione di una ruota attorno al suo asse (considerato fisso), è sufficiente definire un angolo, per cui 
questo sistema ha un solo grado di libertà :

       

Se il numero di gradi di libertà di un sistema è  s  , indichiamo con    le sue coordinate 
(in generale non necessariamente cartesiane) che chiamiamo coordinate generalizzate del sistema.
Di conseguenza, chiamiamo velocità generalizzate le derivate  . 

Per motivi di comodità, quando necessario, indicheremo semplicemente con    l'insieme delle 
coordinate generalizzate di un sistema e con    l'insieme delle sue velocità generalizzate.

La descrizione completa di un sistema di punti materiali in meccanica classica si ottiene supponendo 
che i punti descrivano traiettorie continue. Queste traiettorie sono definite dalle funzioni :

         

che devono quindi essere continue assieme alle loro derivate di ogni ordine rispetto al tempo.

Tali funzioni sono le soluzioni di certe equazioni differenziali, le cosiddette equazioni del moto (o leggi 
del moto), la cui caratteristica principale è quella di essere del secondo ordine

Il perché si tratta di equazioni del second'ordine deriva dall'esperienza (Newton).

La generica equazione del moto è allora :

       

che, per essere risolta, necessita della conoscenza delle condizioni iniziali :

        ; .

Diremo quindi che lo stato meccanico di un sistema è definito interamente dalle sue coordinate e 
dalle sue velocità (assieme alle equazioni del moto) perché grazie alla conoscenza di esse in un dato 
istante iniziale  è possibile conoscere quali sono le coordinate del sistema in un istante successivo  
, e quindi in ogni altro istante. 

Per comprendere questo basta considerare lo sviluppo in serie di Taylor di    e di    
troncati al termine di primo grado :

       

        .

Con queste due espressioni, conoscendo le equazioni del moto, è possibile costruire "punto per punto" 
la traiettoria del sistema. 

Vediamo ora come si può definire la forma delle equazioni del moto di un sistema.

02 - Principio di minima azione. Lagrangiana. Equazione di Lagrange.

Per definire la forma delle equazioni del moto di un sistema meccanico ci si può riferire ad una legge 
generale di natura che va sotto il nome di principio di minima azione (Hamilton). 

Questa legge esprime il fatto intuitivo che la natura "sceglie" sempre la via più "economica", quella 
corrispondente al minimo "sforzo".

Un sistema meccanico, secondo questo principio, è rappresentato da una funzione delle coordinate,
delle velocità e del tempo 

       

o più sinteticamente :

       

che si chiama funzione di Lagrange o lagrangiana del sistema. 

La lagrangiana di un sistema non contiene derivate di ordine superiore a causa di quanto sopra affermato 
circa il fatto che coordinate e velocità descrivono completamente un sistema meccanico.

Orbene, il principio di minima azione afferma che il sistema evolve dalla posizione    all'istante  , 
alla posizione  all'istante  , in modo che l'integrale :

        ,

detto azione, sia minimo (od almeno abbia un estremo).

Si noti che il principio di minima azione è definito rispetto ad un sistema di coordinate generalizzate. 

Le condizioni per cui l'azione  S  è minima forniranno le equazioni del moto del sistema. 

Si tratta di un problema di calcolo variazionale classico che va sotto il nome di problema di Eulero
e che si esprime nel seguente modo :

       

dove il simbolo    indica la variazione.

Il perché si pone    lo si capisce considerando il caso analogo del differenziale di una funzione  
. Esso è identicamente nullo in un estremo relativo della funzione stessa, cioè  .

Limitiamoci per il momento al caso unidimensionale e supponiamo che    sia la funzione che soddisfa 
il problema, cioè per la quale  S  abbia un minimo (od almeno un estremo). 

Prendiamo ora una funzione "piccola"    che abbia la proprietà di essere nulla in    ed in  e 
consideriamo la funzione :

        .

Essa rappresenta una traiettoria che rende l'azione  S  maggiore del valore minimo corrispondente 
a  , qualunque sia  (sempre con le condizioni che sia nulla agli estremi). Graficamente :

       

La variazione si esprime allora come :

        .

Sviluppando in serie di Taylor il primo integrando e fermandoci ai termini di primo grado, si ottiene :

          .

Osservando che    ed integrando per parti il secondo termine, si ottiene :

        .

Essendo    nullo agli estremi, si ha :

        .

Dovendo l'integrale essere nullo per qualunque  , deve essere :

        .

Questo è il risultato cercato. Queste sono le equazioni che, se è nota la lagrangiana, determinano le 
equazioni del moto di un sistema meccanico. Esse si chiamano equazioni di Lagrange

Per un sistema a  s  gradi di libertà, l'equazione di Lagrange risulta : 

          con  i = 1, 2, ..., s .

Si tratta di un sistema di  s  equazioni differenziali del secondo ordine con  s  funzioni incognite  . 
Per risolverle occorrono  2s  condizioni iniziali, cioè  s  posizioni ed  s  velocità iniziali (come già noto).

Vediamo alcune proprietà della lagrangiana alla luce dell'equazione di Lagrange.

        - 1 -    La lagrangiana di due sistemi isolati, cioè che non interagiscono fra loro, è la somma 
                   delle lagrangiane dei due sistemi (considerati isolati). Ciò dipende dalla linearità della
                   equazione di Lagrange.

        - 2 -    Le equazioni del moto di un sistema non cambiano se la lagrangiana del sistema viene 
                   moltiplicata per una costante. Ciò dipende dalla linearità della equazione di Lagrange.

        - 3 -    Se si somma ad una lagrangiana  L  una derivata totale rispetto al tempo di una funzione 
                   qualunque delle coordinate e del tempo, la nuova lagrangiana che si ottiene, L' , è "equivalente" 
                   alla precedente, cioè è atta a descrivere il sistema allo stesso modo, ovvero l'equazione di 
                   Lagrange è risolta dalle stesse traiettorie  . Cioè, se :

                           

                   la lagrangiana  L'  descrive ugualmente il sistema descritto da  L . Possiamo perciò affermare 
                   che una lagrangiana è sempre definita a meno di una derivata totale rispetto al tempo di una 
                   funzione arbitraria delle coordinate e del tempo. Ciò deriva direttamente dal fatto che la 
                   variazione dell'azione  S'  prodotta dalla lagrangiana  L'  è uguale alla variazione di  S  
                   prodotta da  L .

Il problema, a questo punto, è di conoscere la lagrangiana di un sistema. Nota essa, le traiettorie del 
sistema si ricavano direttamente risolvendo le equazioni di Lagrange. Da essa si deducono tutte le 
proprietà meccaniche del sistema.

Nei paragrafi che seguono vedremo come si definisce la lagrangiana di un sistema.

03 - Sistemi di riferimento inerziali (SRI). Principio d'inerzia. Principio di relatività di Galileo.
       Trasformazioni di Galileo.

Per definire le proprietà di un sistema meccanico, per studiarlo, occorrono un sistema di riferimento 
spaziale ed un orologio. Le equazioni del moto hanno in generale forme diverse rispetto ai diversi
sistemi di riferimento. Le equazioni del moto di sistemi meccanici molto "semplici" possono avere in 
certi sistemi di riferimento forme anche molto complesse. 

Ecco quindi la necessità di "scegliere" un sistema di riferimento rispetto al quale le leggi della meccanica
abbiano la forma più semplice possibile.

L'esperienza (entro i limiti di precisione desiderati) mostra che esistono sistemi di riferimento cartesiani 
tridimensionali ortogonali, detti sistemi di riferimento inerziali (SRI), rispetto ai quali le leggi del moto 
sono le più semplici possibili. In particolare, un corpo libero, non soggetto cioè ad interazioni esterne, si 
muove rispetto ad un tale sistema di riferimenti con velocità costante (in intensità, direzione e verso). 

Quanto affermato va sotto il nome di principio d'inerzia (Galileo).

I SRI godono di una fondamentale proprietà : rispetto ad essi lo spazio è omogeneo ed isotropo ed 
il tempo è omogeneo. Ciò significa che, dal punto di vista meccanico, i vari punti dello spazio sono 
equivalenti, così come le sue varie direzioni ed i vari istanti di tempo. Se trasliamo o ruotiamo un SRI, 
o se spostiamo l'origine dei tempi del suo orologio, la descrizione del moto di un corpo libero non cambia. 
Questo vale anche se si considera un sistema isolato di punti materiali (un sistema cioè formato da punti 
materiali interagenti fra loro ma non con l'esterno). Le proprietà meccaniche di un tale sistema, ovvero 
le sue equazioni del moto, non variano se si trasla o ruota il SRI a cui il sistema meccanico è riferito 
o se si cambia l'origine dei tempi del suo orologio.

Possiamo utilizzare quanto sopra affermato per trovare una prima forma matematica della lagrangiana 
di una particella libera. A causa delle suddette proprietà dello spazio e del tempo rispetto ad un 
SRI, la lagrangiana di una particella libera non può contenere esplicitamente le coordinate ed il 
tempo. Inoltre, essa non può contenere neppure la direzione della velocità. Si ha cioè che la 
lagrangiana in questo caso deve essere funzione solo di  , per cui :

         

(a meno di un termine additivo che sia la derivata totale di una funzione arbitraria delle coordinate e 
del tempo).

Applicando le equazioni di Lagrange a questa lagrangiana, si ottiene :

       

(la derivata di uno scalare rispetto ad un vettore è un vettore che ha per componenti le derivate dello 
scalare rispetto alle corrispondenti componenti del vettore) da cui si ricava direttamente  , 
come deve essere.

Se consideriamo un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale ortogonale in moto rettilineo 
uniforme rispetto ad un SRI dato, otteniamo un altro SRI. I SRI sono quindi infiniti e sono in moto 
rettilineo uniforme uno rispetto all'altro.

Dall'esperienza si deduce che tutti i SRI sono meccanicamente equivalenti, ciò le leggi del moto sono 
in essi identiche. In tutti i SRI le proprietà dello spazio e del tempo sono identiche ed identiche sono 
le leggi della meccanica. In altre parole, non è possibile distinguere un SRI da un altro.

Queste affermazioni vanno sotto il nome di principio di relatività di Galileo.

E' chiaro quindi che, ove possibile, nel descrivere un sistema meccanico, è sempre preferibile scegliere
un SRI e, d'ora in poi, se non diversamente specificato, considereremo sempre di riferirci, nelle nostre 
considerazioni, ad uno di essi.

I SRI sono quindi equivalenti. Ciò implica che non esiste un SRI privilegiato, meccanicamente diverso 
dagli altri, assoluto

Consideriamo due SRI , K  e  K' , in moto rettilineo uniforme relativo con velocità  .  

Graficamente :

       

Le coordinate ed i tempi di un punto  P  rispetto ai due SRI sono legate dalle seguenti relazioni :

         

(all'istante  t = 0  i due SRI coincidono nell'origine).

Si noti che in meccanica classica lo spazio è relativo al RSI considerato mentre il tempo è assoluto
ovvero esso scorre allo stesso modo nei due SRI. Ciò non è più vero nella  teoria della relatività 
ristretta (TR).

Le suddette equazioni sono dette trasformazioni di Galileo.

Alla luce di queste equazioni, il principio di relatività galileiana può essere espresso nel seguente modo :

        le leggi del moto devono essere invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo.

04 - Lagrangiana di un punto materiale libero. Massa.

Determiniamo ora la forma della lagrangiana di un punto materiale libero avvalendoci del principio di 
relatività di Galileo.

Consideriamo due RSI , K  e  K' , in moto relativo l'uno rispetto all'altro con velocità infinitesima  . 
Dalle trasformazioni di Galileo, derivando, si ricava :

        .

La lagrangiana  L  della particella in  K  è , come già sappiamo :

       

e, a causa del fatto che i SRI sono equivalenti (in particolare nelle loro proprietà di omogeneità ed 
isotropia dello spazio e di omogeneità del tempo), anche la lagrangiana  L'  in  K'  è :

         

(entrambe a meno di termini additivi che siano derivate totali di funzioni arbitrarie delle coordinate e 
del tempo).

Sostituendo la formula che lega le velocità, otteniamo :

         

che, sviluppata in serie di Taylor rispetto a  troncando al termine di primo grado, dà :

         

che rappresenta la lagrangiana della particella rispetto a  K '.

Se il secondo termine del secondo membro fosse una derivata totale di una funzione qualsiasi delle 
coordinate e del tempo, le lagrangiane    e    sarebbero equivalenti, cioè 
condurrebbero alle stesse equazioni del moto (nella stessa forma). Ciò accade solo se il temine    
non dipende dalla velocità. Si deduce allora che la forma della lagrangiana di una particella libera, 
ritornando a  K , è :

       

dove  a  è una costante che viene indicata con   per cui, in definitiva, si ha :

        .

Siccome la forma della lagrangiana appena trovata soddisfa il principio di relatività di Galileo per SRI 
con velocità relative infinitesime, essa lo soddisferà anche per velocità relative finite.

La costante  m  si chiama massa del punto materiale.

Se abbiamo  N  punti materiali non interagenti fra loro, la lagrangiana di questo sistema sarà :

        .

Possiamo infine affermare che la massa è una grandezza non negativa. Ciò deriva direttamente 
dal principio di minima azione. 

05 - Lagrangiana di un sistema di punti materiali.

Consideriamo un sistema isolato, cioè un sistema di punti materiali interagenti fra loro ma isolati 
dall'esterno. 

La lagrangiana di un tale sistema può essere costruita, nel modo più semplice possibile, aggiungendo
alla lagrangiana del sistema come se fosse costituito da punti non interagenti, un termine che descrive
l'interazione fra i punti, termine che è funzione delle sole coordinate dei punti (in realtà, delle loro mutue 
distanze). Si ha cioè :

         

dove  N  indica il numero di punti materiali ed    il raggio vettore della a-esima particella. Il perché 
vi sia il segno meno davanti ad  U  sarà chiaro più avanti.

Si noti subito che la funzione  U  non contiene le velocità ed il tempo. Ciò significa che in meccanica 
classica si considerano le interazioni dipendenti solo dalle posizioni (oltre che da inessenziali costanti),
ovvero esse sono supposte propagarsi istantaneamente, a velocità infinita. Se avviene un cambiamento
delle posizioni delle particelle, esso si "ripercuote" istantaneamente sulle altre. Ciò non è più vero nella 
teoria della relatività (TR), dove le interazioni sono considerate "viaggiare" a velocità finite.

Il fatto che il termine  U  che descrive l'interazione fra le particelle contenga solo le coordinate, cosa che 
implica l'infinità delle velocità delle interazioni, è l'unica possibilità permessa dal principio di relatività 
galileiana. Infatti, se le interazioni viaggiassero a velocità finite, queste velocità verrebbero sommate, nel 
passaggio da un SRI ad un altro, alla velocità relativa fra i SRI. Ciò implicherebbe il fatto che le leggi 
del moto non sarebbero le stesse in tutti i SRI, contro il principio di relatività galileiana stesso.

Il primo termine della lagrangiana si chiama energia cinetica del sistema e si indica con :

       

mentre la funzione  U  si chiama energia potenziale del sistema.

La lagrangiana di un sistema isolato si può allora scrive sinteticamente come :

        .

Fino ad ora abbiamo parlato della sola omogeneità del tempo. In effetti, osservando la forma delle 
equazioni di Lagrange e la forma della lagrangiana di un sistema isolato, possiamo affermare che il 
tempo è anche isotropo.

Cambiando  t  in  -t  , la lagrangiana non cambia e quindi, di conseguenza, le equazioni del moto 
rimangono le stesse. Questo significa che in meccanica classica i fenomeni sono sempre reversibili :
un sistema meccanico che passa dallo stato (insieme delle coordinate e delle velocità)  A  allo stato  
B , può ugualmente passare da  B  ad  A  nell'ordine inverso.

Ricaviamo ora le equazioni del moto di un sistema isolato. Le equazioni di Lagrange sono per esso :

       

(dove  a  è l'indice delle particelle). Da esse, sostituendovi la lagrangiana, si ottiene :

         

cioè :

        .

Queste sono le equazioni del moto di un sistema meccanico isolato e sono dette equazioni di Newton
Esse sono le equazioni fondamentali della meccanica. Il vettore    si chiama forza agente sulla 
particella  a-esima, per cui :

          .

Le equazioni di Newton si riducono allora a : 

           

cioè :

         

(il simbolo  a  usato per l'accelerazione e l'indice  a  che individua le particelle non creano ambiguità).

Si noti l'importantissimo risultato che nelle equazioni del moto di un sistema isolato le accelerazioni
dei punti sono funzioni solo dalle coordinate.

E' immediato notare che l'energia potenziale è definita a meno di una costante additiva. E' convenzione
universalmente accettata, di scegliere tali costanti in modo che l'energia potenziale tenda a zero al tendere
all'infinito delle distanze fra le particelle. 

Consideriamo ora il caso di due sistemi, A  e  B , interagenti fra loro ma in modo che  B  "influenzi"  A
ma che  A  non influenzi  B . In questo caso, le equazioni del moto delle particelle del sistema  B  sono
date e non dipendono dall'influenza esercitata su loro (che è supposta nulla) dalle particelle del sistema  A .
Il sistema complessivo  A + B , formato da  A  e  B , è supposto isolato.

       

In questo caso si dice che il sistema  A  è immerso nel campo esterno generato dal sistema  B . 

La lagrangiana del sistema  A + B  è allora :

       

dove  ,   indicano le coordinate e le velocità delle particelle del sistema  A , mentre , , 
quelle del sistema  B . 

Poiché le  , sono date e dipendono dal tempo, il termine    è una derivata totale 
di una funzione del tempo, quindi può essere ignorato. Si ha allora :

        .

Si vede bene che la lagrangiana di un sistema in un campo esterno è del solito tipo ma con la
differenza che l'energia potenziale dipende anche esplicitamente dal tempo.

Per una particella in un campo esterno si ha :

        .

Quando una particella immersa in un campo risente di una forza costante, si dice che il campo è
uniforme. In questo caso l'energia potenziale della particella è :

        .

Terminiamo con una considerazione generale sui sistemi meccanici che si incontrano nella "realtà".
In essi normalmente sono presenti dei vincoli, che introducono nei sistemi delle limitazioni alle
posizioni dei punti materiali. Tali vincoli in pratica vengono realizzati nei modi più svariati : fili,
perni, cerniere ecc.

L'interazione dei punti materiali con i vincoli si manifesta normalmente tramite attriti e con la produzione 
di calore. Si esulerebbe perciò dai limiti della meccanica "pura" per entrare nelle problematiche della 
fisica statistica (ed in particolare della termodinamica).

In linea di principio, quando ciò è possibile, si deve fare in modo di escludere dalle lagrangiane le masse 
dei corpi che costituiscono i vincoli e si deve rendere gli attriti minimi in modo che divengano trascurabili.

In queste condizioni l'effetto dei vincoli su di un sistema meccanico si riduce ad una semplice riduzione
del numero dei gradi di libertà.

Fine. 

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