E-school  di  Arrigo Amadori

Fisica

Meccanica classica (equazioni canoniche)


La descrizione di un sistema meccanico in termini di lagrangiana è solo uno dei possibili modi equivalenti
di descrivere il sistema.

Faremo cenno (una descrizione approfondita esula dallo scopo di questi semplici scritti introduttivi) 
in questo capitolo al metodo di descrizione di un sistema meccanico in termini di hamiltoniana.

Mentre la lagrangiana è una funzione delle coordinate, delle velocità e del tempo, l'hamiltoniana è una
funzione delle coordinate, degli impulsi e del tempo.

Le equazioni di Lagrange sono equazioni del second'ordine mentre quelle di Hamilton sono del primo
ordine. 

01 - Equazioni di Hamilton.

Consideriamo un sistema meccanico a  s  gradi di libertà. Il differenziale della lagrangiana di un tale 
sistema, considerata come funzione delle coordinate e delle velocità, è :

        .

Essa, ricordando che  ,  , diventa :

        .

L'ultimo termine può essere scritto come :

         

per cui, sostituendo nella precedente che fornisce  dL , possiamo scrivere :

        .

La grandezza sotto il segno di differenziale è, come si sa, l'energia del sistema che, espressa in 
funzione delle coordinate e degli impulsi, prende il nome di funzione di Hamilton o hamiltoniana 
del sistema :

          .

Possiamo allora scrivere :

       

da cui si deduce che :

          .

Queste sono le equazioni di Hamilton che, per la loro semplicità, sono dette anche equazioni 
canoniche. Si tratta di  2s  equazioni differenziali del primo ordine per le  2s  funzioni incognite
q(t)  e  p(t) .

Se calcoliamo la derivata totale di  H  rispetto al tempo otteniamo :

         

da cui, sostituendovi le equazioni canoniche, ricaviamo :

          .

Questa espressione indica che, in mancanza esplicita del tempo nell'hamiltoniana, la sua derivata totale 
rispetto al tempo è nulla, cioè l'energia del sistema si conserva. Otteniamo così una riformulazione della
legge di conservazione dell'energia. 

Fine. 

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