E-school  di  Arrigo Amadori

Analisi I

Limiti di funzioni reali

01 – Introduzione.

Abbiamo già introdotto il concetto di limite per quanto riguarda le successioni. Estenderemo in 
questo capitolo il concetto di limite alle funzioni numeriche reali.

I limiti sono di fondamentale importanza in tutta l’analisi matematica. Derivate ed integrali sono 
essi stessi dei limiti.

02 – Funzioni numeriche reali.

Preso un sottoinsieme   A   di   R  ogni    f : A à R    è detta funzione numerica reale di dominio   
A . Il dominio può essere anche   R  stesso.

Una funzione (d’ora in poi ometteremo per semplicità il termine “numerica reale”) può essere 
indicata anche con   y = f(x)  .

Due funzioni su un dominio dato possono essere sommate, sottratte, moltiplicate e divise (il 
denominatore deve essere diverso da 0 per ogni punto del dominio) ottenendo così una nuova 
funzione sullo stesso dominio. Una funzione può essere moltiplicata per una costante e di una 
funzione si può determinare il valore assoluto.

Date due funzioni sullo stesso dominio, se una è maggiore od uguale dell’altra (per ogni punto 
del dominio) essa si chiamerà maggiorante della prima, se è minore, minorante.

L’insieme di tutte le funzioni numeriche reali definite sul dominio   A  si indica col simbolo :

        

03 – Limite di una funzione in un punto.

Sia   f  appartenente ad   FA  ed   x0  appartenente a   D(A)  . Per x che tende ad   x0  possono 
aversi tre casi :

        - limite finito in   x0  . La funzione converge a    l   o ha limite   l   per x che tende a    x0  se :

               

                Si scriverà allora :

                


        - limite infinito positivo in   x0  . La funzione diverge positivamente o ha limite  +∞ 
          per x che tende a  x0  se :

                

                Si scriverà allora :

                

        - limite infinito negativo in   x0  . La funzione diverge negativamente o ha limite  -∞ 
          per x che tende a  x0 se :

                

                Si scriverà allora :

                

Graficamente, nell’ordine (semplici casi emblematici) :

       

Il limite in un punto può essere anche considerato tendendo ad esso da destra (per valori 
maggiori) o da sinistra (per valori minori). I limiti così definiti si chiamano limite destro e 
limite sinistro e si indicano con :

        

Se in un punto il limite destro coincide col limite sinistro, allora in quel punto la funzione ha limite 
(coincidente con i limite destro e sinistro).

In un punto, infine, può non esistere il limite ma possono esistere il limite destro ed il limite sinistro 
(diversi). Oppure solo il limite destro o solo il limite sinistro, o nessuno dei due.

Diamo un esempio di grafici di alcune funzioni in cui i limiti destri e sinistri in un punto sono diversi :

       

04 – Limite di una funzione all’infinito.

Sia   f  appartenente ad   FA  ed il dominio di   f  sia illimitato a destra . Per x che tende 
all’infinito  possono aversi tre casi :

        - limite finito. La funzione converge a    l   o ha limite   l   per x che tende a    +∞  se :

                

                Si scriverà allora :

                

        - limite infinito positivo. La funzione diverge positivamente o ha limite  +∞ per x che 
          tende a    +∞  se :

                

                Si scriverà allora :

                

        - limite infinito negativo. La funzione diverge negativamente o ha limite  -∞ per x che 
          tende a    +∞   se :

                

                Si scriverà allora :

                

Graficamente, nell’ordine (semplici casi emblematici) :

       

Casi analoghi si hanno per   x  tendente a   -∞.  

05 – Calcolo dei limiti.

Il limite in un punto o all’infinito può non esistere, però, se esiste, esso è unico.

Così come per le successioni, anche per le funzioni non esistono metodi generali per il calcolo 
dei limiti con la sola importante eccezione delle funzioni continue (vedi apposito capito) per 
le quali il limite in un punto è uguale al valore della funzione in quel punto. Siccome le funzioni 
continue costituiscono la classe di funzioni che si incontra più spesso, calcolare un limite quindi 
è spesso una operazione di routine.

Il calcolo dei limiti può risultare invece problematico dove la funzione non è continua, nei punti 
dove diverge, agli infiniti e nei casi delle forme indeterminate (vedi di seguito).

In ogni caso, ipotizzato il valore di un limite, è sempre possibile verificarne l’esattezza applicando 
ad esso la definizione. Rimandiamo al capitolo sulle successioni l’esempio di verifica di un limite.

Per il calcolo dei limiti risultano importanti i seguenti teoremi (di cui ometteremo le dimostrazioni).

Date due funzioni   f  e   g   sul dominio   A   che convergono nel punto   x0  ai  limiti finiti 
rispettivamente  a  e   b   si ha :

        f + g à a + b    per   x  tendente a   x0

        f – g à a – b     per   x  tendente a   x0

        f * g à a * b     per   x  tendente a   x0

        c * f à c * a      per   x  tendente a   x0, dove   c  è un numero reale

        |f|     à |a|           per   x  tendente a   x0

Se inoltre   b  è diverso da   0  e   g  è diversa da zero per ogni punto di   A   si ha :

        f / g à a / b       per   x  tendente a   x0

Se invece una delle due funzioni diverge per   x   tendente ad   x0   (o tende a 0 in certi casi 
particolari) si ha la seguente tabella :

dove per intorno di   x0  si intende un opportuno intorno circolare meno il punto   x0   stesso 
intersecato con   A  . La limitatezza è ovviamente riferita al codominio della funzione.

Non si può affermare nulla, invece, nei seguenti casi che per questo vengono chiamati 
indeterminati :

e tutti gli altri casi che si ottengono combinando i segni dell’infinito.

Analoghi teoremi valgono anche per   x   tendente all’infinito positivo e negativo.

Il calcolo dei limiti indeterminati può essere arduo. Vedremo in seguito (nel capitolo relativo 
alle derivate) alcuni importanti teoremi utili ad eliminare l’indeterminatezza.

Vale anche il seguente teorema fondamentale di Cauchy (di cui omettiamo la dimostrazione) :

        condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione numerica reale converga in un 
        punto appartenente al derivato del dominio è che :

       

06 – Funzioni monotone.

Una funzione numerica reale   f   può essere crescente, non decrescente, decrescente e 
non crescente se per ogni coppia di punti  del dominio   x’  e   x’’ , con   x’ < x’’  , si ha 
nell’ordine :

        f(x’) < f(x’’) ,  crescente

        f(x’) ≤ f(x’’) ,  non decrescente

        f(x’) > f(x’’) ,  decrescente

        f(x’) ≥ f(x’’) ,  non crescente

In ognuno di questi casi la funzione si dice monotona.

Le funzioni monotone possiedono importanti proprietà anche riguardo ai limiti. Omettiamo di 
esporle perché si tratta di proprietà evidenti.

07 – Limiti inferiori e superiori.

Se una funzione oscilla nel tendere ad un punto o all’infinito, può essere utile definire il limite 
superiore od inferiore. Non ci addentreremo nell’analisi di questi tipi di limite che illustreremo 
con il seguente esempio :

       

Questa funzione diverge oscillando per   x   che tende all’infinito positivo. Oscilla fra   –1   e   
+1   per   x  che tende all’infinito negativo. Per   x  che tende a  0+  essa tende a   0, per   
x  che tende a   0-  , essa oscilla fra   -1  e  +1.

I limiti sono :

        lim sup f(x) = 1      per x à -∞

        lim sup f(x) = 1      per x à 0 –

        lim inf f(x) = -1      per x à -∞

        lim inf f(x) = -1      per x à 0 –

        lim f(x) = 0             per x à 0+

        lim sup f(x) = +∞   per x à +∞

        lim inf f(x) = -∞     per x à +∞

Se in un punto o agli infiniti il limite superiore è uguale al limite inferiore, allora essi coincidono 
con il limite.

Fine.

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