E-school  di  Arrigo Amadori

Matematica


Introduzione

 - 01 - Un viaggio appassionante.

           La nascita della matematica probabilmente avviene quando l'umanità passa dalla fase di 
           cacciatore-raccoglitore a quella di agricoltore-allevatore, quando cioè sorsero le esigenze 
           di dividere il territorio, amministrare le risorse, razionalizzare la vita sociale che si stava 
           formando nelle prime città. La matematica nasce con la civiltà e con essa cresce e ne 
           condivide i destini.

           Possiamo riassumere l'intera matematica in alcuni capisaldi fondamentali che corrispondono anche
           grosso modo alla sua evoluzione storica :

                      - geometria euclidea →→

                      - algebra →→

                      - geometria analitica →→

                      - calcolo differenziale →→

                      - spazi astratti  →→

                      - geometrie non euclidee →→

           Naturalmente questa suddivisione schematica della matematica va considerata solo per fini di 
           utilità di studio. In effetti esistono molti altri capitoli e ciascuno di questi si compone poi di molte
           parti. 

           Una menzione particolare va alla logica matematica che studia le regole che stanno alla base 
           della matematica stessa. Sorprendentemente la matematica è addirittura in grado di studiare sé
           stessa, di avere sé stessa come suo capitolo.  

           Tutti questi capitoli, però, sono intimamente collegati fra loro perché l'interrelazionalità interna 
           alla matematica è il riflesso dell'unità del cosmo : tutte le cose sono in relazione fra loro. 

           La matematica, col procedere della civiltà, diventa sempre di più la base di ogni conoscenza.
           Da semplice strumento per scopi pratici, diventa via via lo strumento principale della conoscenza
           della realtà. 

           La mente umana non è in grado di conoscere l' "essenza" delle cose. La mente umana è in grado 
           di conoscere solo le "relazioni" che intercorrono fra i vari costituenti della realtà e la matematica 
           fornisce il modo, la via per giungere alla conoscenza delle leggi del cosmo che esprimono queste 
           relazioni.

           Galileo, nel '600, per primo scopre questo concetto e pone le fondamenta al "metodo scientifico" 
           definendone la natura, gli scopi ed i metodi. Il metodo scientifico si basa appunto sulla misura 
           delle grandezze fisiche che caratterizzano i fenomeni per giungere alle relazioni matematiche che li 
           caratterizzano.

           La conoscenza, quindi, consiste nello scoprire le equazioni matematiche che esprimono come le
           grandezze relative agli oggetti costituenti il cosmo sono  in relazione fra loro, cosmo di cui fa parte
           ogni cosa, compresi noi stessi.

           Tutte le cose che esistono, ogni fenomeno, ogni evento, compresa la vita stessa (anche nelle sue  
           implicazioni sociali),  possono essere studiate ed analizzate. Di ciascun fenomeno si può scoprirne 
           le leggi che vi stanno alla base e queste leggi sono esprimibili in forma matematica.

           La matematica è in definitiva la forma stessa della mente umana, il tramite fra noi ed il cosmo, i nostri
           veri "occhi" che ci permettono di vedere con esattezza cosa è dentro noi e fuori di noi. Non vale la pena 
           allora di affrontare questo viaggio nella conoscenza che appare come il viaggio più bello ed appassionante 
           che si possa fare ? La matematica dovrebbe allora dare un immenso piacere a chi vi si avvicina, ma ...

           La scuola, così come è stato fino ad oggi, ha "insegnato" la matematica in un modo spesso errato
           ottenendo il nefasto risultato di allontanare dal piacere della matematica generazioni intere di 
           giovani. La scuola è colpevole di questo "crimine" culturale perché della matematica spesso ha 
           mostrato solo il lato difficile, arido, frustrante e fuorviante : il calcolo fine a sé stesso.

           La matematica è invece costruzione intellettuale, ardita fantasia. Le strutture matematiche, sia algebriche 
           che geometriche, sono opere di altissima bellezza che possono gareggiare  appieno con i capolavori della 
           letteratura e dell'arte. Le stesse teorie fisiche non sono altro che ricostruzioni mentali, modelli matematici 
           della realtà. Le moderne teorie fisiche, come la teoria della relatività e la meccanica quantistica, sono 
           anche stupende pagine di poesia naturale, vertiginose costruzioni dell'intelletto umano in cui è bello  
           immergersi totalmente e lasciarsi trasportare come nell'ascolto di un coinvolgente brano musicale.

           La cultura deve essere unica, umanistica e scientifica assieme perché l'uomo è un tutt'unico o, meglio,
           l'uomo è un essere che tende dalla complessità all'unità,  all'uno. Niente di meglio della matematica lo
           può aiutare a raggiungere l'unità che egli anela perché la matematica stessa è un processo di unificazione
           che parte dalla apparente complessità di numeri e figure geometriche per poi giungere all'unità rappresentata 
           da strutture semplici ed astratte.

           Le cose appaiono complesse ed il cosmo si manifesta a noi in una incredibile quantità di fenomeni 
           diversi e molteplici. La matematica ci aiuta a capire che la complessità è apparente e che tutte le  
           cose sono riconducibili a pochissimi principi ed entità, forse ad un solo principio, ad una sola forza.

           Passiamo ora in rassegna ai capitoli precedentemente elencati.

 - 02 - Geometria euclidea.

           Euclide visse ad Alessandria d'Egitto nel terzo secolo avanti Cristo. Nei suoi "Elementi", che forse
           costituiscono il più antico trattato di matematica conosciuto, riportò sistematicamente le conoscenze 
           di geometria note ai suoi tempi. 

           Non sappiamo in cosa consistette il suo apporto personale rispetto alle conoscenze della sua epoca, 
           di certo va a lui il merito di avere raccolto e ordinato la vasta materia ponendola in forma di teoria  
           ipotetico-deduttiva con una profetica operazione di estrema modernità. 

           Il merito di Euclide sta appunto nell'avere raccolto in un sistema ipotetico-deduttivo tutto il vasto
           sapere geometrico fino a lui noto. Un sistema ipotetico-deduttivo è basato su un insieme di 
           assiomi (postulati, affermazioni valide a priori di cui non si discute la verità) e di regole logiche e di 
           calcolo in modo tale che ogni teorema (proposizione, affermazione vera basata su certe ipotesi) sia  
           deducibile in dipendenza dagli assiomi e dalle regole logiche di partenza.

           La geometria euclidea è il primo esempio conosciuto di sistema ipotetico-deduttivo ed è così perfetto
           (nel corso della storia vi sono stati apportati solo aggiustamenti non sostanziali) che ancora oggi è
           valido (lo sarà per sempre) e costituisce la base di tutti i corsi scolastici di geometria.

           La geometria euclidea è la geometria che si ricava direttamente dall'esperienza. Essa viene studiata a fondo
           in ogni corso scolastico per cui non ne riporteremo qui i principi e gli sviluppi perché possono essere 
           considerati noti a tutti.

           Riporteremo qui solo alcuni importanti affermazioni della geometria euclidea perché ci serviranno in seguito :
  
                      - il postulato delle rete parallele : per un punto  P  esterno ad una retta   r  passa una ed una sola retta 
                                                                        parallela alla retta  r

                    

                      - il teorema di Pitagora : in un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti eguaglia il
                                                           quadrato costruito sull'ipotenusa, I = C1 + C2

                     

                      - il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo : la somma degli angoli interni di un triangolo
                                                                                                                eguaglia un angolo piatto, a + b + c = 180°

                     

           Il postulato delle rette parallele gioca un ruolo particolarmente importante. Esso rappresentò un enigma per 
           due millenni fino all' '800. Esso sembra così ovvio che per secoli si cercò di dimostrare che non è un assioma, 
           ma è un teorema conseguenza degli altri assiomi. I tentativi in tal senso furono tutti vani, anzi, alla fine, si dimostrò 
           esattamente il contrario : il postulato delle rette parallele non è deducibile dagli altri postulati.

           Se addirittura ci si libera del significato usuale attribuito agli oggetti della geometria (punti, rette ecc.) e li si
           considera oggetti astratti, ovvero definibili a piacere, purché in modo assiomaticamente esatto, si perviene 
           all'incredibile risultato che possono esistere geometrie assiomaticamente corrette per le quali il postulato delle 
           rette parallele non è valido.

           Forse, Euclide aveva già intuito la possibilità dell'esistenza di geometrie non-euclidee e qui, forse, sta la sua
           vera grandezza. Approfondiremo questi concetti nella parte dedicata alle geometrie non euclidee (→→).

           →→ inizio

 - 03 - Algebra.

           L'algebra si occupa dello studio dei numeri, le loro proprietà e le operazioni fra di essi. L'algebra 
           fiorì nel medio evo specialmente grazie agli arabi (algebra stessa è una parola di origine araba  
           così come algoritmo).

           Oggetto dell'algebra sono i numeri e le operazioni fra di essi. Ma non solo. Nel corso dei secoli 
           si passò a sostituire i numeri stessi con le lettere e si scoprirono le regole che stanno alla base 
           delle espressioni e delle equazioni.

           L'algebra è oggetto di studio nei corsi di scuola media inferiore e superiore, mentre l'aritmetica, la
           parte dell'algebra che si occupa espressamente dei numeri, è insegnata a livello di scuola elementare.

           Gli indirizzi moderni dell'algebra vanno verso una astrazione completa, ovvero l'attenzione viene posta 
           sulle regole che stanno alla base delle cosiddette strutture algebriche senza pensare che gli elementi
           di queste strutture possano essere  numeri o altro. Essi (gli elementi) possono essere oggetti di qualunque 
           tipo perché quello che è veramente importante sono le regole e le proprietà a cui questi elementi soddisfano, 
           non gli oggetti stessi che così possono essere anche di natura diversa dai numeri.

           Una struttura algebrica, nel senso moderno, è un insieme di oggetti qualunque (non necessariamente, 
           quindi, solo numeri) dotati di una o più operazioni definite su di essi (una operazione è una relazione fra 
           due oggetti dell'insieme ed un terzo).

           In base a come sono definite le proprietà a cui devono soddisfare le operazioni fra gli oggetti della struttura
           si hanno strutture diverse : gruppi, anelli, corpi, campi ecc.  , solo per nominarne alcuni.

           E' nell' '800 che avviene un completo ripensamento dei concetti che stanno alla base dell'algebra (così come
           dell'intera matematica) e si ricostruisce tutto il pensiero matematico dalle fondamenta per trasformarlo alla luce
           dell'ottica ipotetico-deduttiva. La matematica era cresciuta in modo caotico, spontaneo, quasi da sé. E' così
           che si sentì forte il bisogno di ripensare, analizzare, rifondare tutta la matematica per mettere ordine e soprattutto
           per capire le regole che stanno alla base di essa.

           L'enorme lavoro di ricostruzione e sistemazione della matematica avvenne fin dalle sue fondamenta : il concetto
           di insieme. Sulla teoria degli insiemi viene rifondata tutta la matematica fino ad arrivare all'ardita conclusione  
           che ogni oggetto matematico è un insieme o è un elemento di un insieme. I numeri stessi (a parte i numeri 
           naturali 1 , 2 , 3 ,... che vengono dati come esistenti a priori) sono insiemi, ovvero classi di equivalenza : 
           per esempio il numero intero  -1   è considerato come l'insieme di tutte le coppie ordinate di numeri naturali 
           per cui la differenza è  -1   cioè   -1 = {(1 , 2) , (2 , 3) , ecc. ecc.}.

           La funzione stessa è un insieme, è un insieme di coppie ordinate.  

           Molti matematici parteciparono a questo immenso sforzo. Fra di essi ricordiamo il grande Cantor, a cui si deve 
           quasi per intero la rifondazione assiomatica della teoria degli insiemi.

           Come esempio di struttura algebrica riportiamo qui il gruppo. Un gruppo è un insieme di elementi qualunque su cui
           è definita una operazione, che indichiamo con  * , che gode della proprietà associativa, ovvero (a*b)*c = a*(b*c) .
           Un gruppo deve contenere un elemento neutro, detto unità  u  , tale che  a * u = u * a = a , dove  a  è un elemento
           qualunque del gruppo. Infine, per ogni elemento  a  del gruppo deve esistere un elemento  a¯¹, detto inverso, cioè 
           tale che  a * a¯¹ = a¯¹ * a = u .

           Vediamo alcuni esempi di gruppo :

                      - il gruppo dei numeri interi con l'operazione somma : infatti 

                                      vale la proprietà associativa (es. (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4))

                                      esiste l'unità  0  (es. 2 + 0 = 0 + 2 = 2)  

                                      per ogni numero intero esiste l'inverso additivo (es. 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0) 
                                                                                             

                      - il gruppo delle rotazioni delle figure sul piano con l'operazione * (dove A * B  significa eseguire 
                        la rotazione  B  poi, successivamente, la rotazione A )  : infatti

                                      vale la proprietà associativa (es. (A * B) * C = A * (B * C))

                                      esiste la rotazione unitaria  I , cioè la rotazione di angolo nullo (es. A * I = I * A = A)  

                                      per ogni rotazione esiste la rotazione inversa (es. A * A¯¹ = A¯¹ * A = I) 

           →→ inizio

 - 04 - Geometria analitica.

           Dall'antichità classica fino a tutto il medioevo ed oltre la matematica risultava divisa in due parti apparentemente
           separate ed autonome : la geometria e l'algebra. Da una parte le figure geometriche e le loro proprietà, dall'altra
           i numeri, le espressioni e le equazioni con le loro proprietà.

           Fu nel 1637, con la pubblicazione del libro " La Geométrie", che Cartesio propose la fusione delle due branche 
           in una sola, la geometria analitica. 

           Cartesio (anche accogliendo idee precedenti a lui) propose un sistema algebrico-geometrico basato sul sistema
           di assi ortogonali che da lui prese il nome di assi cartesiani. Ogni punto del piano viene associato ad una coppia 
           di numeri, dette coordinate (ascissa ed ordinata) del punto ed ogni curva del piano viene associata ad una equazione
           che lega la  x  (ascissa, asse orizzontale) con la  y  (ordinata, asse verticale) in modo univoco.

           Nella prima figura che segue è mostrato come si associa ad un punto una coppia ordinata di coordinate. Nella 
           seconda figura viene mostrato come si associa ad una retta una equazione di primo grado che lega la   x  alla   y 
           e tale che ogni punto sulla retta abbia coordinate che soddisfino l'equazione della retta :

                               

           Con la geometria analitica si associa così ad ogni ente geometrico un ente algebrico e viceversa e questa unificazione
           produce vantaggi enormi. L'invenzione di Cartesio fu tale da schiudere di fronte all'umanità un nuovo mondo da
           esplorare ricco di proficue conseguenze.

           Ogni problema di matematica, fisica, economia ecc. può da allora essere espresso, rappresentato in una forma
           altamente significativa, semplice e diretta, visuale, tale da semplificarne addirittura la soluzione.

           La geometria analitica rappresenta l'inizio della matematica moderna e da allora il progresso matematico è continuo
           e costante. Senza la "rivoluzione" cartesiana il progresso scientifico (e quindi tecnologico) sarebbe ancora fermo 
           al medioevo.

           Come ulteriore esempio di come si possa associare ad una curva una equazione, mostriamo come si trova
           l'equazione della circonferenza centrata nell'origine e di raggio  R : 

          

           Ogni punto  P  sulla circonferenza dista  R  dal centro  0 . Essendo  OH = x  e  PH = y , per il teorema di Pitagora
           si ha   x ² + y ² = R ²  che è appunto l'equazione della circonferenza che viene soddisfatta dalle coordinate 
           di ogni punto su di essa.

           Una curva qualunque è rappresentata da una equazione (funzione) che simbolicamente si indica con  y = f(x) . 
           Le coordinate  x  ed  y  dei punti della curva, e non altri, soddisfano l'equazione della curva :

          

           →→ inizio

 - 05 - Calcolo differenziale.

           Il calcolo differenziale (detto anche calcolo infinitesimale) è sicuramente il capitolo più proficuo della matematica
           specialmente per quanto riguarda le applicazioni fisiche.

           Il calcolo differenziale nasce fra '600 e '700 per opera principalmente di Leibnitz e Newton ed è basato sul
           concetto di limite, ovvero il comportamento di una funzione   y = f(x)   al tendere di    x   ad un numero od
           all'infinito.

          

           Nell'esempio, la funzione  f(x)  tende a  b  per  x  tendente ad  a  , tende a  c  per  x  tendente a più 
           infinito, tende a  0  per  x  tendente a  meno infinito, tende a più infinito per  x  tendente a  d  da sinistra,
           tende a meno infinito per   x  tendente a  d  da destra.

           Gli oggetti principali del calcolo differenziale sono la derivata e l'integrale.

           La derivata indica la pendenza di una curva in un punto, ovvero è legata all'angolo che la retta tangente ad
           una curva in un punto forma con l'asse delle ascisse (x).

           Consideriamo una funzione    y = f(x)   ed un punto   P(x0 , f(x0))  sulla curva. Immaginiamo un punto   P'    
           diverso da   P . Successivamente immaginiamo un punto   P''   , un punto   P'''  ecc. ecc. sempre più vicini 
           al punto   P (così come è indicato nella figura sottostante). Costruiamo i rapporti  P'H'/H'P , P''H''/H''P , 
           P'''H'''/H'''P , ecc. ecc. Questi rapporti (che definiscono le pendenze delle rette secanti  PP' , PP'' , ecc.) 
           tendono ad un numero che si chiama derivata della funzione nel punto   x0   e si indica col simbolo   f '(x0) .

          

           Nel processo indicato, le secanti   PP' , PP'' , PP''' ecc. ecc. tenderanno allora a diventare la retta tangente 
           alla curva nel punto P e la derivata esprimerà la pendenza della suddetta retta tangente (vedi la figura sottostante) :

                 

           La derivata di una funzione in un punto ha tali implicazioni da renderla uno strumento di fondamentale
           importanza per tutta la matematica e la fisica. La derivata è fra i principali strumenti di conoscenza della
           realtà.

           Mostriamo qui come la derivata può essere utilizzata nell'approssimazione di una funzione. 

           Nella figura che segue è visualizzato un classico problema di approssimazione : calcolare il valore 
           approssimato della funzione  f = f(x)  nel punto  di ascissa  x0 + h  dati il valore della funzione 
           nel punto di ascissa   x0  ed il valore della derivata della funzione nel punto di ascissa  x0  ovvero f ' (x0).

           Siccome la derivata in  P  è la pendenza della retta tangente alla curva nel punto stesso, si avrà 
           f ' (x0) = QH/HP = QH/h   da cui si ricava  QH = f ' (x0) * h .

          

           QH  + f(x0)  rappresenta un valore approssimato della funzione nel punto di ascissa  x0 + h  tanto più  h 
           è piccolo, ovvero il punto  P'  si avvicina al punto  P . L'errore che commettiamo in questa approssimazione
           è uguale alla misura del segmento  QP'  che diventa sempre più piccola (tende a 0) all'avvicinarsi
           di  Q'  a  P , ovvero al decrescere di  h .

           Essendo  QH  + f(x0) = f ' (x0) * h + f(x0) , abbiamo ottenuto una approssimazione del valore della 
           funzione nel punto di ascissa  x0 + h  conoscendo il valore della funzione e della sua derivata nel punto
           di ascissa  x0 e questa approssimazione è tanto migliore quanto più  h  è piccolo (tendente a 0).

           Il risultato qui trovato è di fondamentale importanza perché in un numero grandissimo di casi concreti  
           non si conosce la funzione e quindi non si può sapere i valori che essa assume in ogni punto. Spesso,
           al contrario, si conosce il valore di una funzione in un punto e la sua pendenza in quel punto.

           Con la derivata si è quindi in grado di conoscere il valore (approssimato) della funzione in un punto
           vicino e quindi se si conoscesse la derivata in ogni punto, iterando il procedimento, si troverebbe il 
           valore della funzione in tutti i punti successivi. In questo modo si potrebbe costruire una funzione
           incognita, di cui non si conosceva inizialmente la forma.

           In fisica quanto abbiamo detto è di fondamentale importanza e lo scopo della fisica stessa è di trovare 
           delle equazioni che leghino le grandezze in esame e le loro derivate. Queste equazioni si chiamano 
           equazioni differenziali e le leggi della fisica sono espresse da equazioni differenziali.

           L'altro importante oggetto del calcolo differenziale è l'integrale. Anche l'integrale è un limite e definisce
           l'area della superficie che una curva forma con l'asse delle  x  fra due punti : 

          

           L'integrale viene definito come un processo al limite immaginando di dividere la superficie in strisce 
           (per esempio rettangoli) sempre più piccole. La somma di infinite strisce di area infinitesima darà il 
           valore della superficie in esame, ovvero l'integrale della funzione  f(x)  da  a  a  b  che si scrive come .
           indicato in figura

           Nelle figure sottostanti descriviamo il processo di definizione dell'integrale :

              

           Aumentando il numero di rettangoli l'area ottenuta dalla loro somma approssima sempre meglio
           l'area cercata ed, al limite, l'approssimazione tende al valore esatto dell'area cercata.

           →→ inizio

 - 06 - Spazi astratti.

           Lo spazio geometrico della nostra esperienza è uno spazio euclideo tridimensionale, ovvero
           è un insieme di punti in cui vale la geometria euclidea. Ogni punto è caratterizzato da una terna
           di numeri  (x , y , z)  rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali tridimensionale :

          

           Nel caso ci si limiti ad un piano, lo spazio diventa bidimensionale, mentre se si considera
           una sola retta, i punti su di essa formano uno spazio monodimensionale.

           A questo punto sorge spontanea una domanda : esistono spazi euclidei a dimensione maggiore 
           di 3 ?

           Ovviamente spazi di tali dimensioni non avrebbero un corrispondente con l'esperienza ma nulla
           vieta di immaginare tali spazi dal punto di vista teorico, astratto.

           E' quindi possibile definire uno spazio euclideo a   n  dimensioni semplicemente considerando 
           che ogni punto abbia una n-upla di coordinate e che valga il teorema di Pitagora per calcolare
           la distanza fra due punti di questo spazio.

           Nel caso di  n = 5 , per esempio, due punti hanno coordinate  P(a1 , a2 , a3 , a4 , a5)  e  
           Q(b1 , b2 , b3 , b4 , b5) e la distanza  PQ  si calcola col teorema di Pitagora :

                      PQ ² = (a1 - b1) ² + (a2 - b2) ² + (a3 - b3) ² + (a4 - b4) ² + (a5 - b5) ² 

           Naturalmente la distanza fra due punti di uno spazio a più di 3 dimensioni non ha riscontro pratico,
           ma concettualmente una simile distanza è valida quanto quella fra punti di spazi a dimensioni minori o
           uguali a 3 (gli spazi della nostra esperienza).

           Il caso di  n = 4  ha una particolare importanza perché rappresenta lo spazio fisico in cui i fenomeni
           fisici si esplicano. Alle tre dimensioni spaziale si aggiunge una quarta dimensione temporale ottenendo
           così lo spazio-tempo quadridimensionale di Einstein (in esso la distanza fra due punti si calcola però
           in modo diverso dallospazio euclideo sopra definito). La fisica, in questo modo, si collega intimamente 
           alla geometria.

           Abbiamo così introdotto la possibilità di creare, inventare spazi astratti e questo si può fare in molti 
           modi diversi, a seconda di quale proprietà si vuole sottolineare. Si possono addirittura creare spazi
           ad infinite dimensioni.

           Negli esempi precedenti gioca un ruolo fondamentale la distanza fra due punti. Tali spazi si chiamano
           spazi metrici. Se l'accento viene posto sulla possibilità di creare intorni di punti (insiemi che contengono
           i punti stessi) si ottiene uno spazio topologico. Esistono poi gli spazi vettoriali, gli spazi di Banach, gli 
           spazi di Hilbert ecc. ecc.

           I processi di astrazione che portano alla creazione di nuovi spazi matematici si basano tutti sul fatto che
           i punti di tali spazi non sono più in generale punti geometrici, così come li intendiamo nella esperienza
           pratica, bensì sono oggetti qualunque.

           Uno spazio astratto è quindi un insieme di oggetti qualunque che si chiamano punti e che soddisfano 
           certe proprietà. La parola "punto", quindi può specificare i punti geometrici veri e propri oppure oggetti
           di altro tipo.

           Uno spazio, per esempio, può essere formato da funzioni. Ogni funzione è un "punto"  di quello spazio.
           Se le proprietà a cui soddisfano i punti (le funzioni) di quello spazio sono applicabili formalmente,
           per esempio, anche ad uno spazio fatto di punti geometrici, si considera che quei due spazi sono
           equivalenti. Sono costituiti da elementi diversi ma hanno le stesse proprietà.

           Se si conoscono tutte le proprietà di un certo spazio esse possono essere applicate "in toto" ad un altro
           spazio equivalente al primo.

           Questo processo è di fondamentale importanza. Consideriamo a questo proposito l'esempio delle funzioni
           d'onda  Ψ  della meccanica quantistica. Una funzione d'onda  Ψ  descrive la probabilità di trovare una
           particella in un certo punto dello spazio. Questa probabilità (in verità si tratta di una densità di probabilità)
           è uguale al quadrato del valore assoluto della funzione d'onda (che è una funzione a valori reali ed immaginari).

           Le funzioni d'onda  Ψ  formano uno spazio funzionale dotato di certe proprietà identiche a quelle degli
           spazi di Hilbert. Tutte le proprietà degli spazi di Hilbert si applicano pienamente anche allo spazio  
           delle funzioni d'onda  Ψ  . Lo spazio delle  Ψ  è quindi uno spazio di Hilbert. A causa di ciò, per 
          
esempio, una certa  Ψ  può essere scomposta rispetto ad un sistema di funzioni d'onda ortogonali   
           di base come se fosse un vettore di uno spazio di Hilbert qualunque :

                     
Ψ  = a1 * Ψ1 +  a2 * Ψ2 +  a3 * Ψ3 

          

           (in verità il numero di dimensioni di questo spazio di Hilbert sarebbe infinito, ma il concetto non
           cambia) 

           Questo risultato ottenuto applicando direttamente allo spazio delle  Ψ  le proprietà specifiche degli
           spazi di Hilbert, è di fondamentale importanza perché, fisicamente, le componenti della  Ψ  così trovate
           rappresentano la probabilità che ha la particella di trovarsi nello stato rappresentato via via dalle 
           funzioni d'onda Ψ1  , Ψ2  , ... (queste probabilità sono rispettivamente  a1 , a2 , ...).    

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 - 07 - Geometrie non euclidee.

           La geometria della nostra esperienza comune è la geometria euclidea. Essa è un sistema ipotetico-deduttivo
           basato su ben determinati assiomi e regole logiche. Tutti i teoremi sono deducibili dai postulati e dalle regole.
           Abbiamo già mostrato in precedenza che possono esistere altri sistemi ipotetici-deduttivi altrettanto validi 
           logicamente. 

           Nell' '800, Bolyai e Lobacewski mostrarono che si potevano creare geometrie non euclidee semplicemente
           rinunciando al postulato delle rette parallele. Naturalmente in queste geometrie i concetti di punto, linea ecc.
           devono essere ridefiniti.

           Mostriamo qui (per grandi linee) il modello di Klein di uno spazio non euclideo cosiddetto iperbolico :

          

           I punti di questo spazio non euclideo sono quelli racchiusi nell'ellisse. Una retta di questo spazio è una corda 
           qualunque dell'ellisse, per esempio la retta  PQ  che è individuata dai punti  A  e  B  . Preso un punto qualunque
           O  dello spazio per esso possono essere prese infinite rette (tutte le corde dell'ellisse passanti per  O). Se 
           definiamo la retta parallela ad una retta data come quella retta che non ha punti in comune con essa, si 
           deduce che in questo spazio, per il punto  O  , passano infinite rette parallele alla retta data  PQ .

           Nella figura, la retta  r1  incontra  PQ  , le rette  r2  ed  r3  non incontrano  PQ , quindi sono parallele ad essa.
           Abbiamo così costruito una geometria non euclidea in quanto qui non vale più il postulato delle rette parallele
           secondo il quale, per un punto passa una ed una sola retta parallela ad una retta data.

           Come altro esempio di geometria non euclidea consideriamo la geometria della superficie sferica. Le rette
           di questa geometria sono i cerchi massimi. Dato un punto  P  sulla superficie sferica ed una retta (circolo
           massimo)   r  che non passi per  P  , non esiste nessuna retta parallela alla retta  r  perché tutte le rette
           che passano per  P  , essendo cerchi massimi, incontrano la retta   r  :

          

           Questa geometria non euclidea ha una interessante proprietà : la somma degli angoli interni di un tringolo
           qualunque (sulla superficie sferica) non è uguale ad un angolo piatto, come succede sempre nella 
           geometri euclidea. Consideriamo il tringolo disegnato in figura :

          

           esso ha 3 angoli retti, per cui la somma degli angoli è diversa da un angolo piatto (due angoli retti).

           A questo punto sorgono spontanee alcune domande : la geometria dello spazio che costituisce l'universo è 
           ovunque euclidea ? Siamo certi che lo sia nella piccola scala della nostra esperienza quotidiana, ma lo è 
           anche per distanze maggiori ? Potrebbe essere che la geometria in grande scala dell'universo sia non 
           euclidea ma che lo diventi con grande approssimazione localmente,  in piccola scala ?

           A queste domande si può rispondere solo con l'osservazione astronomica e con teorie che descrivono
           l'universo in grande scala. La teoria della relatività generale di Einstein si occupa appunto di questo 
           fondamentale problema.

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 08 - Indirizzi moderni.

           Il processo di assiomatizzazione, l'iscrizione di una teoria matematica dentro una struttura logica formata da 
           assiomi e regole, assieme al processo di astrazione, passaggio dal concreto all'astratto, sono processi di 
           fondamentale importanza in matematica e caratterizzano la matematica moderna rispetto alla matematica del 
           passato. Sicuramente sono la vera peculiarità della matematica moderna.

           Questi processi (assiomatizzazione ed astrazione) sono l'essenza della matematica moderna. Attraverso 
           ciò si perviene a teorie la cui "verità" è in sé, non dipendente dalla natura degli oggetti di cui si occupa 
           la teoria stessa. Questo è molto importante perché se una teoria matematica è dimostrata essere vera
           a livello astratto lo sarà anche a livello concreto, ovvero la si potrà applicare a casi concreti particolari.

           Tutte le proprietà di un sistema ipotetico-deduttivo possono essere applicate volta per volta ad oggetti 
           particolari che si è verificato avere le stesse proprietà del sistema stesso. Per esempio, le proprietà di 
           un campo sono applicabili ai numeri reali così come ai numeri complessi. Le proprietà di un gruppo  
           si possono applicare ai numeri interi così come alle rotazioni (come già mostrato sopra).

           Sorge a questo punto l'esigenza di determinare se un sistema ipotetico-deduttivo è completo e se è
           coerente. Per completezza si intende il fatto che ogni proposizione (teorema) all'interno del sistema 
           sia una conseguenza dei postulati del sistema. Per coerenza si intende il fatto che ogni proposizione 
           all'interno del sistema sia corretta e non porti a contraddizioni od antinomie.

           Intuitivamente si è portati a pensare che ogni sistema ipotetico-deduttivo possa essere esteso 
           opportunamente in modo da renderlo completo e non contraddittorio. Le ricerche in questa
           direzione, invece, portarono ad un risultato inaspettato dalle conseguenze profonde.

           Nel 1931 Gödel enunciò il suo rivoluzionario teorema : 

                      un sistema ipotetico-deduttivo o è incompleto o è cotradditorio.

           Questo significa che, per esempio, già nell'aritmetica esistono proposizioni che non sono 
           dimostrabili usando gli assiomi dell'aritmetica stessa e che, se altri assiomi venissero aggiunti
           allo scopo, si troverebbero poi altre proposizioni non dimostrabili. Viceversa se si aggiungessero 
           tutti gli assiomi necessari a rendere il sistema completo, allora l'aritmetica diverrebbe 
           contraddittoria.

           In altre parole, non è possibile dimostrare la verità di una teoria matematica restando al suo 
           interno. 

           Il teorema di Gödel ha profonde implicazioni e dopo la sua pubblicazione il panorama
           del pensiero matematico è mutato profondamente. Alla fine dell' '800 sembrava che la 
           matematica fosse sul punto di essere "terminata" e compiuta : nulla di più errato, la "creazione"
           matematica sarà senza fine.

Fine. 

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