Analisi I
Insiemi finiti ed infiniti
01 - Introduzione.
In questo capitolo affrontiamo il problema della definizione assiomatica di infinito. Vedremo che è
possibile definire esattamente cosa si intende per insieme finito od infinito abbandonando così i
vaghi concetti empirico-intuitivi a riguardo che hanno attraversato la storia della matematica fino
alla sua rifondazione in termini assiomatici che ha avuto luogo fra ‘800 e ‘900 per merito
principalmente del grande Georg Cantor.
02 – Potenza di un insieme.
Due insiemi non vuoti A e B si dicono equipotenti o che hanno la stessa potenza se fra di loro
esiste una applicazione 1-1 su (biunivoca) da uno sull’altro :
Indicheremo che A e B sono equipotenti con la scrittura A ~ B.
Consideriamo un insieme non vuoto di insiemi. Su un tale insieme la relazione di equipotenza ~
costituisce una relazione di equivalenza.
Definiamo l’importante insieme :
Nn = {1, 2, …, n}
che rappresenta l’insieme di riferimento per stabilire se un insieme qualsiasi è finito od infinito.
Si può facilmente dimostrare che un insieme Nn non è equipotente a nessun suo sottoinsieme
proprio.
Un insieme che sia equipotente ad Nn per un particolare n naturale si dice finito e si dice
che l’insieme in oggetto ha numero cardinale n o che ha cardinalità n . L’insieme vuoto
si considera finito con cardinalità 0.
Evidentemente nessun insieme finito non vuoto è equipotente ad un suo sottoinsieme proprio.
Il fatto che un insieme finito non possiede sottoinsiemi propri ad esso equipotenti permette di
distinguere tutti gli insiemi in due categorie. Quelli appunto che soddisfano la suddetta proprietà
(gli insiemi finiti) e quelli che non la soddisfano. Quelli che non la soddisfano sono detti insiemi
infiniti.
Un insieme infinito è, quindi, un insieme che possiede un sottoinsieme proprio ad esso equipotente.
Ecco quindi che la definizione di infinito acquista un valore preciso, non più basato su vaghi concetti
esclusivamente intuitivi. Con questa definizione è possibile stabilire in modo esatto se ogni insieme
è finito od infinito.
L’insieme dei numeri naturali N è un insieme infinito perché, per esempio, il suo sottoinsieme
proprio dei numeri pari è equipotente ad N stesso. Basta considerare la funzione 1-1 su f : n à 2n
che lega biunivocamente ogni numero naturale con un numero pari.
Se l’insieme A è equipotente all’insieme B e se A è finito o infinito, allora B è finito o
infinito (nell’ordine).
Un insieme equipotente ad N si dice numerabile o che ha la potenza del numerabile o che
ha numero cardinale (o cardinalità)
(alef zero).
L’insieme prodotto cartesiano N x N è un insieme numerabile perché le sue coppie ordinate
possono essere messe in relazione biunivoca di equipotenza con N (contate) nel seguente modo :
(1,1), (1,2), (2,1) , (1,3), (2,2), (3,1), …
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
L’insieme dei numeri razionali Q è numerabile perché le frazioni possono essere “contate” nel
seguente modo :
1/1 2/1 3/1 4/1 …
1/2 3/2 …
1/3 2/3 4/3 …
……………………
(limitatamente alle frazioni positive e considerando che l'unione di un insieme numerabile di insiemi
disgiunti numerabili è numerabile).
Consideriamo l’insieme :
Esso è un insieme infinito ma non è un insieme numerabile (omettiamo la dimostrazione). Esso si
dice che ha la potenza del continuo o che ha cardinalità c .
Ogni insieme equipotente ad E si dice che ha la potenza del continuo.
L’insieme dei numero reali R positivi o nulli ha la potenza del continuo perché è equipotente ad E.
Una funzione biunivoca che ne esprime l’equipotenza potrebbe essere, per esempio la funzione :
il cui grafico è :
Se R+ U {0} (i numeri reali positivi o nulli) ha la potenza del continuo anche R avrà la potenza
del continuo.
L’insieme dei numeri irrazionali R – Q ha la potenza del continuo.
Concludiamo con alcune considerazioni sulla cardinalità riportando quelle già conosciute nella tabella :